Inconmensurabilitat de la Diagonal
La
primera crisis de fundaments en la història de la matemática -->
La importància del teorema de Pitàgores i la màgica bellessa del pentagrama místic van ser els dos cavalls de Troya per a la geometria grega, perquè portaven en el seu interior la profunda crisi de la secta pitagòrica. Els diàlegs de Plató ens informen que la comunitat matemàtica grega es va veure greument alterada per un descobriment que pràcticament ensorrava la base de la fe pitagòrica en els números sencers. Els pitagòrics que, com filòsofs presocràtics, consideraven com a nucli dogmàtic de la seva filosofia que “els números són l’esencia de l’univers”, troben que les conseqüències del teorema apareixien contra fonaments de la seva doctrina, que els havia portat a establir un paral·lelisme entre el concepte numèric i la representació geomètrica.
En
efecte, el quadrat, una de les figures geomètriques més simples, té un
segment, la diagonal, que no és conmensurable amb un costat : no hi ha un
submúltiple de tots dos que no es pugui pendre com a unitat per mesurar
– los.
La
creencia que els números podien mesurar – lo tot era una simple il·lusió.
Quedava axixí eliminada de la geometria la possibilitat de mesurar sempre
amb exactitud. S’havia descobert la magnitud inconmensurable, lo
irracional ( no expressable mitjançant raons ), el alogon, que
provocaria una crisi sense precedents en la història de la matemàtica.
El descobriment de la inconmensurabilitat marca un moment en la història de la geometria, perque no és una cosa empírica, sinó purament teòrica. Va marcar el moment més dramàtic no només de la geometria pitagòrica sinó de tota la geometria grega i va ser amb gran probabilitat el que va imprimir a la matemàtica grega un canvi de romb que la convertiria en l’obra de ingenyeria geométrico – deductiva plasmada en els Elements d’Euclides. En efecte, la impossibilitat de calcular exactament la diagonal del quadrat en funció del costat, és a dir, la impossibilitat empírica i numérica de resoldre el problema de la duplicació del quadrat, implicarà la búsqueda d’alguna cosa diferent.
D’aquesta
manera, la impossibilitat de trobar amb exactitut certes mesures, de la
casi generealitat de les mesures ja que los inconmensurables apareixien en
uns altres molts camps de la geometria ( per exemple, en la relació entre
el costat i l’altura del triangle equilàter o entre la diagonal i el
costat en el pentàgon regular, emblemàtic pels pitagòrics ) va ser així
mateix el naixement de la geometria grega i un dels factors essencials del
milagre grec en matemàtiques.
No
es coneixen les circumstancies concretes que van envoltar el descobriment
dels inconmensurables com la data en que va tenir lloc. Encara que Proclo
ho atribueix al propi Pitàgores, es sol admitir que va ser aproximadament
el 480 a.C. per Hipasos de Metaponto.
Aristòtil
reconeix que va tenir lloc per l’aplicació del teorema de Pitàgores al
triangle rectangles isòsceles de costat unitat al proposar una demostració
aritmètica de la inconmensurabilitat de la diagonal d’un quadrat
respecte al costat, basada entre lo parell i lo imparell.
Veiem
en llenguatje actual una aproximació de lo que van poder ser aquestes
demostracions :
Demostració aritmètica de la inconmensurabilitat de √2
Èssent
p una fracció irreducible tal que ( p )2
= 2
q
q
Llavors
p2 = 2 i p2 = 2q2, de manera que
p2 ( i per tant p ) és un número parell ; és a dir :
q
p
= 2s,
d’on 2q2 = p2 = ( 2s )2 = 4s2
Així
doncs, q2 = 2s2, de manera que q2 ( i per
tant q ) és un número parell ; és a dir q = 2s’.
El
caràcter parell de p i q contradeix la hipòtesi que p/q és una fracció irreductible.
En conseqüència no pot existir cap segment que el seu quadrat sigui 2.
Aquesta
demostració és d’arrel aristotèlica. EL mètode indirecte per reducció
fa improvable que fós la base del descubriment pitagòric original dels
inconmensurables.
Demostració geomètrica de la inconmensurabilitat de √2
Suposant que existeix un segment HK que divideix (que els respectius cocients de HK | AB, HK | BC dónen com a resultat números sencers ) als segments AB ( catet ) i a BC ( hipotenusa ), aixó s’indica matemàticament de la forma :
HK
| AB, HK | BC
De
la geometria de la figura es dedueix que :
AB
= FB ( radis )
FD
= AD ( tangens )
Per
tant FC = BC – AD i per tant HK | FC ( ja que al dividir HK a AB i BC,
també divideix a la seva suma i a la resta ).
FD
= FC ( ja que el triangle FDC és isòsceles i els àngles dels vèrtexs
D, B i C són iguals )
DC
= AC – AD = AC – FD = AB – FC, després HK | DC.
S’ha
deduït, per tant, que HK | FC, HK | DC.
Aquest
procès es pot reiterar indefinidament, obtenint-se triangles isòsceles
que poden arribar a ser tan petits com es vulgui, en els que el segment
fixe HK divideix simultàniament al catet i a la hipotenusa, el qual és
impossible. Aixó porta a la conclusió que no pot haver una unitat de
longitud que mesuri simultàniament al catet i a la hipotenusa del
triangle, és a dir, que aquests dos segments no són conmensurables.
Hi
ha altres camins geomètrics, pot ser mes en relació amb els usos pitagòrics,
pels quals es va poder arribar a publicar el fenòmen de la
inconmensurabilitat. És provable que la qüestió es suscités amb la
consideració de la secció àurea i del pentagrama místic pitagòric.
La
forma airtmètica seria equivalent a la inconmensurabilitat del número
d’or. Suposem que el nombre d’or és igual a p / q és una fracció
irreductible. L’expressió el nombre d’or al quadrat – el nombre
d’or = 1 que cumpleix el nombre d’or és tradueix en :
(
p / q )1 – ( p / q ) = 1, d’on resulta :. P2 – pq = q2,
és a dir :
p
( p – q ) = q2, de manera que p és un factor de q2,
i al ser p i q primers entre sí, resulta que p és un factor de q, lo que
és manifestament contradictori.
En la matemàtica actual les raons inconmensurables s’expressen mitjançant números irracionals. Els babilonis i els egipcis havien treballat amb aquests números, a base d’aproximacions, encara que sense la conciencia de la falta d’exactitut, és a dir, sense la constancia de la diferència radical entre raons conmensurables i inconmensurables. En canvi pels grecs la paraula número significava número sencer positiu ; una fracció a / b indicaria no un número racional sinó una relació entre els números sencers a i b, la raó entre a i b. En sentit actual seria un parell ordenat de números. Pel pitagòrics, dos raons a/b i c/d es diu que són proporcionls a/b = c/d quan existeixen sencers p, q, m, n que a = mp,, b = mq, c = np, d = nq; per exemple, 12 / 15 = 16 / 20, perque 12 conté quatre de les cinc parts de 15, igual que 16 conté quatre de cinc parts de 20. A partir d’aquesta base es va desenvolupar inicialment la teoria pitagòrica de la proporcionalitat. La visió del número com a tamany es va aplicar a les magnituts geomètriques : longituts, àrees i colums, en la creencia que dos segments eren sempre conmensurables, és a dir que existiria una unitat comú de la que tots dos serien múltiples. D’aquesta forma, la doctrina de raons enteres i proporcions es podia entendre a longituts i àrees de figures simple com segments i rectangles.
Amb
el descubriment dels inconmensurables quedaven afectades i devien ser
reconstruides totes les proves pitagòriques dels teoremes que utilitzaren
proporcions.
Es
evident que l’aparició de magnituts inconmensurables invalida la prova
geomètrica que hi ha en aquesta proposició i en totes les proves pitagòriques
en las que s’hagi de comparar raons de magnituts geomètriques.
S’explica així, doncs el consegüent secretisme dels pitagòrics
sobre la qüestió irracional.
Es
comprén que el descubriment d eles magnituts inconmensurables produisin
un escàndul lògic en tot l’àmbit pitagòric, ja que exigia una revisió
a fons dels fonaments de la seva matemàtica i la seva filosofia. La
tempestat provocada pel descubriment pitagòric dels irracionals va
precipitar la primera crisi de fonaments en la historia de la matemàtica.
Aquesta crisi va portar amb ella un refinament geomètric, però el
desenvolupament de la geometria al marge de l’aritmètica, l’ausencia
d’un àlgebra simbòlica i la conversió de tota la matemàtica en
geometria, amb un estil sintètic d’exposició que ocultava la via del
descubriment, va ser l’efecte més immediat.
Presentació Introducció Tales Pitàgores Euclides Arquímedes Altres