L'espiral d'Arquímedes, el va permetre donar dos solucions a diferents problemes geomètrics. L'espiral d'Arquímedes es defineix com el lloc geomètric d'un punt del pla que, partin de l'extrem d'una semirrecta es mou uniformement sobre aquesta, mentres que la semirrecta qira a la vegada unifromement al voltan del seu extrem.així mateix lequació d'aquest espiral en coordenades polars es de forma r=aO:

La matemàtica grega es caracteritza per ser esencialment estàtica i amb escassa atenció a la idea de variablitat, però Arquímedes en el seu estudi de l'espiral, sembla haver determinat la tangenta la corva per mitjà de consideracions que recorden el càlcul diferencial.

L'estudi que va dur a Arquímedes sobre l'espiral, corva que ell mateix atribueix al seu amic Conon d'Alexandria, formava part indudablement de la búsqueda general de les solucions als tres problemes famosos per part dels grecs. Aquesta corva es presta també a les multisseccions d'un angle que va poder inventar Conon amb aquest objecte, però també pasava el mateix amb la quadratiu, també pot servir per a quadrar el cercle, tal com va demostrar Arquímedes. Es traça un punt P de l'espiral OPR la tangent PQ, i Q el punt d'interssecció d'aquesta tangent amb la recta OQ perpendicular al radi vector OP. Llavors Arquímedes demostra que el segment OQ (subtangent polar del pun P) es igual a la longitud de l'arc PS de la circumferencia de centre O i radi OP:

Interceptat per la semirrecta inicial (eix polar) i la semirrecta OP del radi vector. Aquest teorema, que demostra Arquímedes per mitjà d'un típic raonament de doble reductio ad absurdum, el comprobar qualsevol estudiant de càlcul infinitessimal teint en compte que:

on r=f (O) es l'equació de la corva en coordenades polars.

Per altra banda es té que tenir en compte que aquesta àrea ès igual a:

Per la sencilla fòrmula recursiva tal com demostra Arquímedes:

Presentació     Introducció     Tales     Pitàgores     Euclides     Arquímedes     Altres