Nombres Perfectes i Amics
Nombres Perfectes
En moltes cultures, la relació d’un número amb la suma dels seus divisors propis ha rebut diverses interpretacions místiques. Veritablement els nombres perfectes han estat un dels tòpics més comuns, i no només de la literatura matemàtica, sinó també de la religiosa ; com per exemple, per San Agustí ( La ciutat de Déu ) el número perfecte 6 ( 6 = 1 + 2 + 3 ) té un valor diví perqué Déu va crear el món en 6 dies.
La suma dels termes d’una progressió geomètrica permet obtenir fàcilment la suma dels divisors d’un número. Per exemple, per N = ap · bq · cr , al considerar el polinomi :
( a0 + a1 + ... + ap ) ·
( b0 + b1 + ... + bq ) · ( c0 +
c1 + ... + cr )
els seus monomis són precisament els divisors de N ( inclós N ), de manera que la suma de tots els divisors propis de N, S ( N ), és a dir, de les parts alíquotes de N serán :
S ( N ) = ap + 1– 1
· bq + 1 –
1 ·
cr + 1 – 1
- N
a – 1 b – 1 c – 1
Mitjançant aquestes fórmules, és fàcil comprovar que
els quatre primers nombres perfectes són : 6, 28, 496 y 8128. Per exemple,
per 8128 = 26 · 127 s’obté de :
S ( 8128 ) = 27 – 1
· 1272 -
1 - 8128 = 127 · 128 – 8128 = 8128
2 – 1 127 – 1
Euclides defineix el número perfecte i idea un mètode bastant simple per computar alguns d’ells:
‘
Si diversos números, començant per la unitat, estan en proporció
duplicada ( són potencies de dos ) i el conjunt de tots ells ( la suma )
és un número primer, el producte d’aquest conjunt per l’últim és un
número perfecte ’. És a dir :
Si
1 + 2 + 22 + ... + 2n-1
és un número primer, llavors el número ( 1 + 2 + 22 +
... + 2n-1 ) · 2n-1 és perfecte.
Aplicant
la fórmula de la suma dels termes d’una progressió geomètrica,
resulta :
1
+ 2 + 22 + ... + 2n-1 =
2n – 1; de manera que, el teorema d’Euclides es pot
enunciar més breument : si 2n – 1 és primer, ( 2n –
1 ) · 2n-1 és perfecte.
El teorema d’Euclides és una prescripció aritmètica que permet calcular fàcilment els primers números perfectes, com la taula a continuació :
|
n |
2n-1 |
M(n)=
2n - 1 |
Primer
|
P(n)=
2n-1 · (2n – 1)
|
Número
perfecte
|
|
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2084 4096 |
3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191 |
Si Si No Si No Si No No No No No Si |
2
· 3 4
· 7 16
· 31 64
· 127 4096
· 8191 |
6 28 496 8128 33550336 |
Els primers pitagòrics només coincidien amb els números
perfectes 6 i 28. Nicómac relaciona els quatre primers números perfectes
6, 28, 496 i 8128, i fa observar que finalitzen en 6 i 8 ; això és
agafat per ‘ Jámblico ’, que diu que els números perfectes acaben
alternativament en 6 i en 8, i a més creu que hi ha un número perfecte
en cada un dels intervals 1-10, 10-100, 100-1000, etc., però és fals a
partir del 5é interval.
S’ha de tindre en compte que els números perfectes van
crèixer molt ràpidament.
Observant la taula anterior, veiem la importància que en la investigació de números perfectes tenen els números de la forma M(n) = 2n – 1, anomenats números de Mersenne, sobretot quan són primers ( que obligatoriament n, també és primer ). Si traiem de la taula anterior tots els números corresponents als primers de Mersenne, obtenim la tabla de formació dels primers 5 números perfectes :
|
n |
2n-1 |
M(n)=
2n – 1 Primer
de Marsenne
|
P(n)=
2n-1 · (2n – 1)
Número
perfecte
|
||
|
2 3 5 7 13 |
21 22 24 26 212 |
3 7 31 127 8191 |
22
- 1 23
– 1 25
– 1 27
– 1 213
- 1 |
21
· ( 22 – 1 ) 22
· ( 23 – 1 ) 24
· ( 25 – 1 ) 26
· ( 27 – 1 ) 212
· ( 213 – 1 )
|
6 28 496 8128 33550336 |
Es va demostrar que tot número perfecte parell és del tipus
euclídeo, és a dir, el recíproc del teorema d’Euclides, per això al
teorema que ara s’anuncia ‘ P(n) és un número perfecte parell si i només
si és de la forma P(n) = 2n-1 · (2n – 1) i
M(n)= 2n
– 1 és primer ’. A vegades aquest teorema s’anomena Teorema d’Euclides-Euler.
L’informàtic George Woltman va tenir la idea de
construir una base de dades i un programa gestor de la mateixa per buscar
primers de Mersenne per internet. Així va nèixer en gener de 1996 the
Great Internet Mersenne Prime Search ( GIMPS ), que reuneix la
potencia de milions d’ordinadors conectats entre sí i coordinats per un
servidor central anomenat Primenet, que ha permès explorar l’espai aritmètic,
donant com a fruit, fins ara, l’obtenció dels últims quatre números
perfectes, gracies als esforços de dotzenes d’experts.
No es coneix fins al moment cap número imparell.
|
|
n
en 2n – 1 |
Dígits
en M(n)
|
Dígits
en P(n)
|
Data
|
Descubridor
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 ¿? |
2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279 2203 2281 3217 4253 4423 9689 9941 11213 19937 21701 23209 44497 86243 110503 132049 216091 756839 859433 1257787 1398269 2976221 3021377 6972593 |
1 1 2 3 4 6 6 10 19 27 33 39 157 183 386 664 687 969 1281 1332 2917 2993 3376 6002 9533 6987 13395 25962 33265 39751 65050 227832 258716 378632 420921 895932 909526 2098960 |
1 2 3 4 8 10 12 19 37 54 65 77 314 366 770 1327 1373 1937 2561 2663 5834 5985 6751 12003 13066 13973 26790 51924 65530 79502 130100 455663 517430 757263 841842 1791864 1819050 4197919 |
¿? ¿? c.100 c.100 1456 1603 1603 1750 1873 1911 1914 1876 1952 1952 1952 1952 1952 1957 1961 1961 1963 1963 1963 1971 1978 1979 1979 1982 1988 1983 1985 1992 1994 1996 1996 1997 1998 1999 |
Pitagòrics Pitagòrics Neo
– P Neo
– P Anònim Cataldi Cataldi Euler Pervouchine Powers Powers Lucas Robinson Robinson Robinson Robinson Robinson Riesel Hurwitz Hurwitz Gillies Gillies Gillies Tuckerman Noll
– Nickel Noll Slowinski
– N Slowinski Colquitt
– W Slowinski Slowinski Slowinski
– G Slowinski
– G Slowinski
– G Woltman
Woltman
Woltman
Woltman
|
Nombres amics
Als números amics, que han causat tanta o més fascinació que els números perfectes, literalment hauria que anomenar-los números enamorats. Els grecs només van conèixer el parell 220, 284 :
1
+ 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 ( suma dels divisors de
220 ) = 284
1
+ 2 + 4 + 71 + 142 ( suma dels divisors de 284 ) = 220
“Jámblico”
atribueix el descobriment dels números amics al propi Pitàgores,
afavorint el relat del mateix amb la següent anècdota:
“Éssent
preguntat Pitàgores
-¿
Què és un amic ?,
va
contestar
-Alter
ego.
Va aplicar el terme amics a dos números, que la suma de les
parts alíquotes d’aquests són iguals”.
Podríem
realitzar una incursió històrica sobre els números amics similar a la
realitzada per als números perfectes, però concretem tan sols en alguns
desenvolupaments de Fermat, Descartes i Euler.
Fermat
redescubreix, cap a 1638, una regla (que havia sigut obtinguda per Thabit
Ibn Qurra en el siglo IX) per la obtenció de números amics. Per a que
dos números n y m siguin amics, fa falta que es distribueixin en la forma:
n
= 2p · q · r
q = 3 · 2p-1 - 1
--> d´on q, r,
s són primers de la forma
r = 3 · 2p - 1
m
= 2p · s
s = 9 · 22p-1 - 1
El
primer parell de números amics n= 220 = 22 · 5 · 11, m = 284
= 22 ·71 s´obtè al pendre
p = 2.
Mitjançant
la regla, Fermat obté el segon parell de números amics:
n
= 17296 = 24 · 23 · 47, m = 18416 = 24 · 1151 ( p
= 7 ).
Euler
va fer un gran avanç en cercar números amics, de manera que fins 1750
havia obtingut cinquanta nou parells del tipus pm, pn, on p és primer amb
n i m.
En
l’actualitat, igual que pels números perfectes, les aplicacions informàtiques
han permés obtenir multitud de números amics.
Presentació Introducció Tales Pitàgores Euclides Arquímedes Altres