Nombres Poligonals
Els
nombres Poligonals
L’aritmo – geometria pitagòrica es deixava per sí mateixa a una representació geomètrica de les magnituds. Els pitagòrics acostumaven a representar els números fent servir punts en un pergamí o pedretes en la sorra i els classificaven segons la forma poligonal d’aquestes distribucions de punts. L’associació del número amb la forma geomètrica va permetre als pitagòrics la representació visual dels números a l’unir les dos essències implicades en la matemàtica. Van atribuir als números propietats i relacions entre ells que són completament independents de tot simbolisme introduit per representar-los, i els van otorgar d’aquesta manera un caràcter universal i inmutable.
Els números poligonals van aparèixer en les rodalies de l’escola pitagòrica com un element essencial del seu misticisme numèric : “ No només les coses són en essència números sinó que els números són coneguts com a coses ”, de manera que les expressions números triangulars o números quadrats no són meres metàfores sinó que aquests números són, efectivament, davant l’esperit i davant els ulls, triangles i quadrats.
Un número figurat és una combinació geomètrica regular de punts igualment espaiats. Quan la combinació forma un poligon regular, el número s’anomena número poligonal.
Els números poligonals es van formant com una suma dels terminis de certes sèries :
· Els números triaungular es formen a partir dels números de la sèrie natural :
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, ...
1 3 6 10 15
· Els números quadrats es formen a partir dels números de la sèrie imparella :
1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, 1 + 3 + 5 + 7 + 9, ...
1 4 9 16 25
· Els números pentagonals es formen a partir de la sèrie :
1, 4, 7, 10, 13 ...
1, 1 + 4, 1 + 4 + 7, 1 + 4 + 7 + 10, 1 + 4 + 7 + 10 + 13, ...
1 5 12 22 35
· Els números hexagonals es formen a partir de la sèrie :
1, 5, 9, 13, 17 ...
1, 1 + 5, 1 + 5 + 9, 1 + 5 + 9 + 13, 1 + 5 + 9 + 13 + 17, ...
1 6 15 28 45
Així consecutivament es van formant els succesius números poligonals, la qual la representació gràfica la situem en la següent taula :
|
o m b r e s
P o l i g o n a l s
|
T
i p u s |
O
r d r e |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
Triangulars |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
||
|
Quadrats |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
||
|
Pentàgons,
Hexàgons ...
|
||||||
Representació
dels números triangulars, quadrats, pentagonals i hexagonals.
· Per a cada ordre, la succesió de números poligonals del mateix tipus formen una progressió aritmètica, i la seva diferència és el número triangular d’ordre previ :
· 3, 4, 5, 6, ... progressió aritmètica de diferència 1.
· 6, 9, 12, 15, ... progressió aritmètica de diferència 3.
· 10, 16, 22, 28, ... progressió aritmètica de diferència 6.
· ...
Els números poligonals es van formant amb la suma dels termes de progressions aritmètiques. Els seu primer terme és 1, i les diferències successives són 1, 2, 3, 4, ... de manera que fàcilment es poden trobar les lleis de formació. Anomenant Pr(n) al n-èsim número r-gonal ( r ≥ 3 ), el n-èsim número de la sèrie ( recordem que el terme n-èsim d’una progressió aritmètica és an = a1 + ( n – 1 ) · d i que la suma dels n primers termes és Sn = a1 + an · n ), que fa que sigui 1 + ( n – 1 ) · ( r – 2 ), de manera que : 2
Pr ( n ) = 1 + [ 1 + ( n – 1 ) · ( r – 2 ) ] · n = 2 + ( n – 1 ) · ( r – 2 ) · n
2 2
2 2
|
Triangulars |
Quadrats |
||
|
n
( n – 1 ) 2 |
1,
3, 6, 10 |
n2 |
1,
4, 9, 16 |
A partir de les distribucions geomètriques de punts que van fer els pitagòrics amb els números poligonals, apareixien, , numeroses propietats dels números enters, doncs es considerava la relació entre ordres consecutius de números d'un determinat tipus i relacions entre números poligonals de tipus diferents. Totes aquestes propietats resulten de simples comprovacions aritmètiques.
|
|
Així per exemple, T(n) és el n-èsim número triangular, que la seva llei de formació és :
T
( n ) = n · ( n + 1 )
2
La propia percepció de les figures indica que :
T ( n ) = T ( n – 1 ) + n, T ( 1 ) = 1, que dóna una definició recursiva de números triangulars que permet l’obtenció de cadascun d’ells en termes dels d’ordre inferior.
És més, la propia llei de formació que permet la computació directa ( no recursiva ) dels números triangulars pot obtenir-se de consideracions geomètriques sobre números O ( n ) = n · ( n + 1 ).
T ( n ) + T ( n ) = n · ( n + 1 ), d’on resulta la propia fòrmula pel càlcul de T ( n ).
Més interessant és encara la formació dels números quadrats i la seva relació amb els numeros triangulars
|
|
|
|
|
|
El pas d’una figura a la següent es realitza sempre de la mateixa manera, agafant la figura immediatament anterior mitjançant una linia trencada en forma d’agle recte ( gnomon, paraula que en grec significa escaire de carpinter¸i que també denominava al antic rellotge de sol babilònic ). Aristòtiles definia el gnomon com “figura que la seva juxtaposició amb una altre genera una figura semblant a la inicial”.El concepte de gran aplicació a les estructures abstractes o naturals que en el seu creixement mantenen la forma, va ser molt utilitzat en les construccions pitagòriques. En el cas dels números quadrats el gnomon està format pels punts situats en la vora d’un número imparell que augmenten de dos en dos en cada pas.
D’aquesta
forma visual s’estableix la llei de recurrencia per la formació dels números
quadrats C ( n ) = n2
1 + 3 = 22,
1 + 3 + 5 = 22 + 5 = 32,
1 + 3 + 5 + 7 = 32 + 7 = 42,
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 42 + 9 = 52
i en general : C ( n ) = C ( n – 1 ) + ( 2n –1 ), C ( 1 ) = 1, és a dir, n2 = ( n – 1 )2 + ( 2n – 1 ), que, a més, posa de manifest la relació entre els números quadrats i els imparells.
Podem comprovar que per als pitagòrics el poder de la visualització fa evident la comprovació empírica de certes relacions entre construccions numèriques. La relació que hi ha entre els números poligonals i triangulars de tipus superior és :
Tot número quadrat és la suma d’un número triangular del mateix ordre i d’altre ordre previ :
C ( n ) = T ( n ) + T ( n – 1 ) ( Teorema de Teó d’Esmirna )
C
( n ) = n · ( n + 1 ) +
( n – 1 ) · n
= n2
2 2 2
Tot número pentagonal es compon d’un número triangular de la mateixa manera més uns altres dos d’ordre previ :
P ( n ) = T ( n ) + 2 T ( n – 1 )
P
( n ) = n · ( n + 1 ) +
2 ( n – 1 ) · n
= n · ( 3n
– 1 )
2 2 2
Tot número hexagonal es compon d’un número triangular del mateix ordre i uns altres tres d’ordre previ :
H ( n ) = T ( n ) + 3 T ( n – 1 )
H ( n ) = n · ( + 1 ) + 3 ( n – 1 ) · n = · ( 2n – 1 )
2 2
Els números poligonals del mateix tipus i ordres succesius corresponen a creixements gnomònics ( homotètics ) de figures geomètriques. Els resultats es sumen en la taula :
|
Número
Poligonal |
Gnomon |
Llei
de recurrencia |
Descomposició
triangular |
|
T
( n ) C
( n ) P
( n ) H
( n ) ... Pr
( n ) |
n 2n
–1 3n
– 2 4n
– 3 ... (
r – 2 )( n – 1 )+ 1 |
T
( n ) = T ( n – 1 ) + n C
( n ) = C ( n – 1 ) + ( 2n – 1 ) P
( n ) = P ( n – 1 ) + ( 3n – 2 ) H
( n ) = H ( n – 1 ) + ( 4n – 3 ) ... Pr(n)
= Pr (n-1) + (r-2) (n-1) + 1 |
C(n)=
T(n) + T(n – 1) P(n)=
T(n)+ 2T(n–1) H(n)=T(n)+
3T(n–1) ... Pr(n)=T(n)+(r-3)T(n-1) |
Els números poligonals formen part de les arreles històriques de la teoria de números, apareixent en numerosos àmbits. Per exemple, els números triangulars apareixen en el triangle de Pascal ( i per tant, també els hexagonals que s’obtenen alternadament de la llista de triangulars ), com podem observar a la figura.
També, d’alguna forma, els números quadrats formen part del triangle de Pascal, ja que la suma de dos números triangulars consucutius dóna un número quadrat.
Veiem
la figura :
|
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
Els números poligonals, juguen també un paper molt important , intervenen en el binomi de Newton i en el càlcul de probabilitats .
En l’actualitat, l’estudi dels números poligonals ha arribat a tenir un valor pràctic en una incipient aplicació criptogràfica a la seguretat en les comunicacions.
Presentació Introducció Tales Pitàgores Euclides Arquímedes Altres