L'agulla de Buffon

Icona iDevice L'agulla de Buffon
Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (Montbard, 7 de setembre de 1707 - París, 16 d'abril de 1788), va ser un naturalista, matemàtic, biòleg, cosmòleg i escriptor francès. Les seues teories han influït dues generacions de naturalistes, entre els que cal destacar Jean-Baptiste Lamarck i Charles Darwin. La localitat de Buffon, en el departament de Côte-d'Or, va ser el senyoriu de la família Leclerc.
 
En matemàtiques, el resultat més cèlebre de Buffon és el que permet determinar experimentalment el valor de amb l'ajuda d'una agulla i un tauler amb línies paral·leles. Cal disposar d'un conjunt de línies paral·leles, separades una longitud D, i d'una agulla de llarg L<D, Pot fer-se servir un tauler amb línies paral·leles. Si es deixa caure l'agulla sobre el tauler, la probabilitat que creui una de les línies és . Repetint l'experiència un gran nombre de vegades, la relació entre el nombre de vegades en què l'agulla creua una línia i el nombre total de llançaments s'acostarà a aquest quocient, i hom pot doncs obtenir un valor aproximat de .
 

Icona iDevice Activitat
En l'aplicació anterior tenim una simulació de l'experiment de Buffon per un tauler de línies paral·lels separades una longitud igual a la llargada de l'agulla.

En aques cas se sap que la probabilitat que una agulla llançada a l'atzar toqui una ratlla és

En tirar una agulla sobre el tauler poden passar dues coses: o toca alguna de les línies o no toca cap línia. L'experiment consisteix en anar tirant agulles sobre el tauler i comptar quantes vegades toquen alguna ratlla. Això s'anomena "èxit" i per tant la freqüència relativa del nombre d'agulles que toquen alguna ratlla serà igual al nombre d'èxits dividit pel nombre d'agulles tirades.

Per la "Llei dels grans nombres" sabem que amb un nombre prou gran de tirades la freqüència relativa s'acostarà a la probabilitat d'èxit.

Per realitzar una simulació amb l'aplicació anterior, primer heu d'entrar el nombre d'agulles que voleu tirar. Quan premeu la tecla "intro" comencen les simulacions i es va comptant el nombre de tirades, el nombre d'èxits i la freqüència relativa d'èxits, en forma de percentatge.

Realitzeu unes quantes simulacions, amb diferents nombres de tirades, i comproveu quin és el valor de la freqüència relativa d'èxits. Apunteu quantes agulles tireu cada vegada i la corresponent freqüència relativa.

Augmenteu el nombre de tirades, si és necessari, fins que la freqüència relativa s'acosti prou a la probabilitat teòrica:

Quantes agulles cal tirar perquè la freqüència relativa s'acosti a la probabilitat amb error menor que una dècima? I quantes perquè l'error sigui menor que una centèsima?

Compareu les vostres respostes amb les dels vostres companys i companyes de classe.


Estimació del valor del nombre amb l'experiment de Buffon
« Anterior | Següent »

Llicenciat sota la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.5 License

Simulacions de l'Atzar