|
- Cap
a l'any 332 aC, Alexandre el Gran va fundar la ciutat d'Alexandria,
la qual després de la creació de la gran Biblioteca, es
va convertir en el centre mundial de la cultura. Un dels molts
erudits atrets per aquesta ciutat fou un tal Euclides.
Se sap molt poc sobre ell, encara que sembla ser cert que es va
educar a la Acadèmia amb els deixebles de Plató i
es va dedicar a l'ensenyament de les matemàtiques a Alexandria,
on va fundar una escola. En qualsevol cas, però, la seva
influència ha estat decisiva a través del seu tractat Els
Elements, que ha estat segle darrera segle una mena de bíblia
de les matemàtiques, fent-lo servir fins i tot com a llibre
de text; per la seva enorme difusió (a la vora de les 2000 edicions)
podria rivalitzar fins i tot amb obres clau de la literatura universal,
com ara la Bíblia, la Divina Comèdia,
el Quijote, etc.; el fet que contingui un estil de vegades
poc coherent ha fer pensar alguns que Euclides podria ser
més un grup de matemàtics que una sola persona.
|
|
-
Els Elements és un tractat de 13 llibres que habitualment
s'associen a la geometria, però en realitat inclou 465
proposicions, o teoremes, sobre geometria plana, sòlids i teoria
de nombres.
- En
els llibres I, II, III i IV, Euclides va agrupar les proposicions
fonamentals relatives a les figures planes més simples:
segments, angles, rectes paral·leles, triangles, paral·lelograms,
quadrats i cercles. Darrera de 23 definicions (punt, línia,
línia recta, etc.) Euclides dóna una llista
de 5 postulats, o axiomes, que considera evidents por si mateixos
i independents, és a dir, que cap dels cinc es pot deduir
lògicament dels altres quatre. Molt aviat els matemàtics
no van veure clara la acceptació sense demostració del cinquè
postulat (al que van anomenar postulat
de les paral·leles) i durant segles van ser molts
els que el van intentar demostrar; sembla que ni tan sol el mateix
Euclides es trobava a gust amb el seu cinquè
postulat, ja que en les seves demostracions intenta no utilitzar-lo,
com ho demostra el fet que no l'utilitza fins a la proposició
nombre 28.
- Els
llibres V i VI es dediquen a la semblança i en ells
s'estudien les raons i les proporcions, i els llibres VII, VIII
i IX són coneguts com a "llibres aritmètics",
perquè en ells s'estudia teoria de nombres enters.
- El
llibre X, potser el més perfecte de tots, es dedica a l'estudi
dels nombres irracionals més simples.
- Els
llibres XI, XII i XIII es dediquen a geometria espacial; l'últim
d'ells tracta concretament sobre la inscripció dins d'una esfera
dels cinc políedres regulars: tetràedre, cub,
octàedre, dodecàedre i icosàedre.
- Els
Elements, ni pel seu contingut, ni per la seva orientació,
són deguts exclusivament a Euclides: El seu contingut
procedeix en gran part dels pitagòrics i d'Eudoxe
(astrònom i matemàtic grec que va fer importants
aportacions en geometria i va exposar la primera explicació sistemàtica
dels moviments del Sol, la Lluna i els planetes); i pel que fa
a la seva orientació, estan influïts per Plató
(de qui Euclides va prendre el gust per la ciència
independentment de la seva finalitat pràctica) i per Aristòtil,
de qui va prendre el rigorós mètode deductiu, la
separació entre principis i teoremes i la distinció
de els principis entre definicions i axiomes (enunciats
que s'accepten sense demostració)
- La
genialitat d'Euclides no va estar, doncs, en crear matemàtiques
noves (s'accepta que només uns pocs dels teoremes que apareixen
en Els Elements son originals d'Euclides) sinó
en presentar d'una manera clara, organitzada i lògica,
la geometria i l'aritmètica conegudes fins llavors. Aquesta
forma de presentació -conceptes, axiomes, enunciats, demostracions-
s'ha mantingut fins ara. Com a prova de l'elegància de
les seves demostracions, us donem la del teorema
d'infinitud del conjunt dels nombres primers (nombres, més
grans que 1, que només són divisibles per 1 i per
si mateixos)
|
|
Ý |
|
Si
una recta talla altres dues i forma dos angles interns que
sumen menys que dos angles rectes, en cas de prolongar aquestes
indefinidament es tallaran del costat en què la suma
dels angles interns sigui menor que dos angles rectes.
|
|
| És
a dir, les línies rectes de la figura a la dreta es tallen del
costat dret de la recta r. |
|
Altres enunciats equivalents
a l'anterior.
- Donades
dues rectes paral·leles, si una recta talla una d'elles,
llavors talla també l'altra (axioma de
Proclo).
- Dues rectes
paral·leles són sempre equidistants.
- Per un punt
exterior a una recta donada només passa una paral·lela
a aquella. (axioma de Playfair).
- La suma
dels tres angles d'un triangle val 180º.
|
|
|
El cinquè postulat
va fer cua.
Al llarg de la història de les matemàtiques,
potser sigui el cinquè postulat l'enunciat més
controvertit. El problema no sorgeix perquè algú
dubti de la veritat del seu contingut; realment, sempre es
va acceptar que era una necessitat lògica. El que sempre
es va discutir, però, fou el seu caràcter de
postulat; ja l'escriptor clàssic Proclo advertia
que semblava més un teorema y, per tant, hauria
de ser demostrat a partir dels altres quatre.
Fins el segle XIX, innumerables matemàtics
el van intentar demostrar, però mai no ho van aconseguir,
i malgrat que es van trobar amb molt enunciats equivalents
a l'original, la cerca d'una demostració va continuar, fins
i tot en molts dels casos només amb l'interès
d'aconseguir fama eterna. Ja en el segle XIX, tres matemàtics,
Gauss, Bolyai i Lobachevski, independentment,
arribaren a la conclusió que es podia obtenir una nova geometria,
de tota consistència lògica, sense acceptar
el postulat de les paral·leles; més exactament,
una geometria, igual en tot a la d'Euclides, però
en la qual els angles d'un triangle sumessin menys de 180º.
Va ser aquest el primer invent de geometria no euclídea;
alguns anys després, altre matemàtic, Riemann,
va crear altra geometria no euclídea suposant rectes no infinites,
i en la qual resultava que la suma dels angles d'un triangle
superava els 180º.
|
 Ý |
|
Existeix
una infinitat de nombres primers.
|
| Per
demostrar el teorema, Euclides va fer servir algunes
proposicions que ja havia demostrat abans, com ara les dues
següents: |
|
|
- Si un nombre és
divisor d'altres dos, també ho és de la diferència
dels dos nombres.
|
|
A partir d'això, es va preguntar què
ocorreria si hi hagués només uns quants nombres
primers; per exemple, si hi hagués només
3 nombres primers a, b, c. Ell va pensar així:
Si això fos veritat, llavors amb el nombre N=a·b·c+1
només podria passar una d'aquestes dos coses:
-
Que
N fos també un nombre primer. Això és
impossible, ja que llavors no hauria només tres
primers, sinó al menys quatre.
- Que
N no fos primer, sinó compost.
Llavors, N tindria algun divisor primer, d. No és
possible, va pensar, que d i a siguin iguals,
ja que llavors, de la igualtat N-a·b·c = 1 resultaria
que a és divisor d' 1, cosa impossible donat
que 1 no te divisors. Anàlogament, d no pot
ser ni b, ni c; per tant, d és un primer
diferent d'a, de b i de c. Ja no hauria només
3 primers, sinó com a mínim quatre.
En resum,
què passa? Estem a un carrer sense sortida? En absolut;
l'únic que passa és que és impossible
que hi hagi només 3 nombres primers, ja que si
suposem que hi ha només tres, sempre podrem trobar-ne
un més. A la mateixa conclusió s'hauria arribat
si haguéssim suposat que només hi ha quatre,
o cinc, o qualsevol nombre finit de primers: Per molts que
n'agafem, sempre arribarem a la conclusió que hi ha algun
més, és a dir, només val dir que hi
ha infinits primers.
|
 |
|
La demostració anterior
és completament il·lustrativa del conegut
mètode de raonament indirecte, o de reducció
a l'absurd: consisteix a suposar cert el contrari d'un
enunciat i arribar a un impossible raonant pels camins de
la lògica; llavors, només podrà ser veritat
la possibilitat que l'esmentat contrari no sigui cert i,
per tant, que l'enunciat inicial sigui el vàlid.
Et proposem que resolguis
per aquest mètode la següent endevinalla:
|
- Tres noies, la Núria,
la Sara i la Raquel, tenen els ulls
embenats i un petit barret al cap, el qual pot ser vermell
o negre. Cap de les tres pot veure el seu propi
barret. Se'ls hi diu que, en treure'ls-hi les venes, aixequin
una mà si hi veuen al menys un barret vermell,
i les dues, si arriben a deduir el color del seu barret.
Suposem ara que en realitat els hi hem posat els tres
barrets vermells (elles no ho saben). Com podria una,
per exemple, la Núria, raonar que el seu
barret és vermell?.
|
|
|
|
