Teorema de Tales

SEMBLANÇA DE TRIANGLES

Tota la geometria mètrica es basa en una sèrie de resultats fonamentals que enunciarem i demostrarem a continuació, essencialment, el teorema de Tales., i com a conseqüència, els teoremes de l'altura, del catet i de Pitàgores.

No és segur que els teoremes de Tales i de Pitàgores pertanyin, en realitat, els matemàtics que els donarem els seus noms respectius, ja que algun resultat similar era emprat anteriorment pel babilonis i els egipcia.

També suposem que el mètode de les semblances emprat per Tales per càlcul de distàncies inaccesibles li fou ensenyat per la civilització babilònica, que va influir enormement en la seva obra matemàtica.

La importància de la teoria de semblances és indubtable, ja que existeix una gran quantitat d'objectes que es representen per figures que el són semblants.

TEOREMA DE TALES. FORMA ELEMENTAL.

Si dues rectes r i s són tallades per una col·lecció de rectes paral·leles que determinen en una de elles, r , segments iguals entre ells, els segments determinats el l'altra recta, s , són també iguals entre ells.

Demostració: - Tracem per cada un dels punts A', B',C' i D' de la recta s paral·leles a la recta r. En els triangles que és formen, observem que: - Tots els seus angles són iguals per que tenen els costats paral·lels. - Els costats aseñalats amb un traç són iguals als segments corresponents de la primera recta r , ja que són costats oposats d'un paral·lelogram. Com que per ipotesis sabem que els segments en que les paral·leles dividiem la primera recta eren iguals també ho seran els aseñalats. Així doncs, tots els triangles són iguals; en deduim, doncs, la igualtat dels segments: A'B' = B'C' = C'D' = D'E'

Segments commensurables

Diem que dos segments són commesurables si existeix un segment que està contingut un nombre exacte de vegades en cada un d'ells.

En el llenguatge de nombres, podem dir que dos segments són cammesurables si el quocient entre les seves longituds és un nombre racional.

TEOREMA DE TALES

Si dues rectes r i s són tallades per una succeció de paral·leles els segments determinats en una de les rectes són de les longituts proporcionals als segments determinats en l'altra.

APLICACIONS DEL TEOREMA DE TALES

Divisió d'un segment AB en n segments iguals

a) Per un dels extrems del segments AB, tracem una semirecta i, amb l'ajuda del compás, hi dibuixem n segments iguals ( de longitut arbitaria ).

b) Unim l'extrem del ultim segment amb el extrem b de segment AB i tracem paral·eles pels punts de separació dels segments auxiliars. Els segments que ens resulten són tot iguals.

Per compovar-ho, només cal recordar que, segons el teorema de Tales, si els segments marcats en una de les rectes són iguals, també o són els traçats a l'altra.