Costa molt fer col·leccions?
Simulacions. Probabilitat

És una creença bastant comuna entre els ensenyants, que els temes referents a la probabilitat són massa complexos per poder tractar-los amb alumnes de primer cicle de secundària, i que, per tant, és millor deixar-los per al segon cicle o per al batxillerat.

Això pot ser degut al costum d'iniciar la probabilitat amb la regla de Laplace, ja que es necessita un cert nivell d'abstracció per detectar la equiprobabilitat dels esdeveniments elementals. També sorgeixen dificultats de recompte per calcular els casos possibles i els casos favorables, en el moment que superem les experiències aleatòries més elementals, com són tirar un dau o una moneda.

Per altra banda, sembla que unànimement s'accepta que no hi ha cap inconvenient per introduir l'estadística al primer cicle de secundària, o inclòs abans a primària. El fet d'introduir l'estadística i la probabilitat per separat comporta diversos inconvenients, ja que l'alumnat s'acostuma a veure l'estadística i la probabilitat com dos blocs diferenciats i, posteriorment, si aquest lligam no és refà, serà difícil que els alumnes s'adonin del suport matemàtic que dóna el càlcul de probabilitats a les tècniques de l'estadística inferencial. Per altra banda es perd una oportunitat que alumnes d'aquestes edats utilitzin activitats manuals per familiaritzar-se amb l'indeterminisme i les regles de l'atzar, que no resulten tant motivadores quan els alumnes es fan més grans.

Per tant, nosaltres apostem per iniciar el càlcul de probabilitats en els mateixos nivells que s'inicia l'estadística, i un bon moment per fer-ho és el primer cicle de la ESO. La opció que creiem més convenient per començar és la de fer emergir a l'aula situacions en què un alumne en la seva experiència quotidiana s'enfronta amb l'indeterminisme, és a dir, situacions on es poden donar un ventall de respostes, com per exemple:

- Per al dia 13 d'Abril vam planificar una excursió, però va ploure tot el dia.

-A un examen tipus test, s'havia de marcar una resposta d'entre cinc. No sabem el resultat però en vam escollir una i era la correcta.

- El Barcelona va guanyar la lliga.

- Al meu veí li va tocar la loteria, va guanyar 15 milions.

En tots aquests fets i en d'altres que ens podríem imaginar no podíem preveure el resultat, encara què sabíem les diferents opcions que podien ocórrer, és a dir els resultats possibles.

Un cop identificades les situacions d'incertesa, i saber-les contraposar a situacions deterministes, és pot treballar amb el llenguatge associat a aquestes situacions. Paraules com probable, impossible, bastant probable, quasi segur, segur... formen part del vocabulari dels alumnes i les utilitzen per graduar les possibilitats que un resultat lligat a aquestes situacions es pugui produir. Seria bo, finalment, que arribessin a quantificar aquestes possibilitats en una escala de 0 a 1, o tant sols fer-ne com a mínim una valoració ordinal.

Més endavant, quan ja s'ha treballat l'estadística descriptiva, és poden aplicar les tècniques de recompte, taules i gràfics als resultats que es produeixin en realitzar repetides vegades un fenomen aleatori, com pot ser el llançament d'un dau, d'una xinxeta o d'una moneda. Així, es manté d'entrada un lligam entre estadística i probabilitat i es pot definir aquesta, d'una manera natural, com el valor on s'estabilitzen les freqüències relatives. (llei empírica de l'atzar). En produir llistes de resultats es pot aprofitar, si es creu convenient, per veure com es comporta l'atzar i intentar eliminar creences errònies, i supersticions creades al voltant d'aquests fenòmens.

Posteriorment, és pot introduir la regla de Laplace per casos senzills, alguns dels quals es poden haver treballat anteriorment amb la llei empírica de l'atzar. Més que fer molts exercicis, s'ha d'intentar que l'alumnat entengui en quines situacions es pot aplicar aquesta regla i en quines no. Pot ser molt útil contraposar el cas de la moneda amb el de la xinxeta. Després, caldria aturar-se si hom no es vol embrancar en càlcul combinatori, a menys que utilitzem l'eina que presentarem en aquest taller: les simulacions.

Les simulacions

Una simulació és un model d'una situació real. De la mateixa que es prova una maqueta d'un vaixell a un canal d'oratge, per veure la resistència del seu casc, la simulacions són un model matemàtic per provar que pot passar a situacions mèdiques o socials, a les quals l'experimentació amb persones podria resultar poc ètica o massa llarga. Aquestes situacions podrien ser per exemple:

- Un estudi sobre la difusió d'una malaltia entre una població humana, animal o vegetal, o la difusió d'un rumor.

- Un estudi sobre la supervivència d'espècies amenaçades d'extinció, com las balenes.

- Estudis sobre cues, a una benzinera, a un peatge, a una consulta mèdica.

Normalment són situacions en què hi intervenen diferents factors aleatoris, però la seva relació es tant complexa que la millor manera d'abordar-los és fer una simulació. No es tracta de plantejar als alumnes de primer cicle d'ESO problemes tant complexos com els descrits anteriorment, el que proposem és utilitzar el mètode de simulacions per resoldre problemes de probabilitat més senzills, que amb un bon coneixement del càlcul combinatori es podrien resoldre però que estant completament fora de l'abast dels alumnes d'ESO. Per exemple podríem fer les següents preguntes:

- Moltes parelles els agrada tenir fills de diferent sexe. Si una parella decideix tenir tres fills, quina és la probabilitat que tingui almenys un nen i una nena?

- Quina és la probabilitat que en una classe de 30 alumnes n'hi hagi dos que han nascut el mateix dia?

- Una marca de detergent ofereix a dintre dels seus paquets cupons numerats de l'1 al 5 i dóna un premi si es presenten els 5 cupons diferents. A un cupó per paquet, quants paquets caldrà comprar, per terme mitjà, per aconseguir un premi

Les dues primeres situacions les podria resoldre un alumne de batxillerat, però la tercera situació potser hi ha molt professorat que no sabria com abordar-la. Ens serviran dons aquestes situacions com exemple que amb les simulacions és possible resoldre problemes fora de l'abast teòric dels alumnes d'una manera senzilla.

Etapes en la realització d'una simulació.

Només assenyalem les més importants:

1. Observació de la situació real i identificació de les variables importants

2. S'ajusta alguna de les característiques a algun model matemàtic o estadístic?

3. Realització repetida de la simulació

4. Contrast de la simulació amb la realitat, sempre que sigui possible

Cal remarcar que dissenyar una simulació pot ajudar a entendre millor la situació real, ja que cal analitzar amb tot detall els factors importants i la seva interacció.

Una vegada dissenyada la simulació, si intervenen factors aleatoris necessitarem algun giny com pot ser una moneda, un dau, o una ruleta, per anar obtenint resultats aleatoris que es traduiran en diferents resultats del factor considerat. De fet, en realitat s'utilitzen ordinadors per obtenir aquests nombres, però creiem que al nivell que estem parlant el més adequat és utilitzar taules de números aleatoris. Aquestes taules són de 10 dígits del 0 al 9, i n'hi ha publicades als llibres d'estadística, o , també, es poden generar fàcilment amb un full de càlcul i després imprimir-les.

Si volem utilitzar taules de números aleatoris, és necessari que els alumnes les coneguin i sàpiguen com es generen. Això, ens obliga a anar una mica enrera a l'apartat de la regla de Laplace. Necessitem ginys que produeixin 10 resultats aleatoris equiprobables. Alguns exemples podrien ser: una ruleta amb deu sectors iguals, un dau icosaèdric en el que agrupem les cares en parelles, o el llançament d'un dau i una moneda (cal eliminar dos resultats). Aquesta necessitat d'entendre com es construeix una taula de números aleatoris, ens serveix per respondre a la qüestió de fins a on hem d'arribar a treballar la regla de Laplace, fins a treballar el llançament simultani d'una moneda i d'un dau, per exemple.

Els primers assaigs amb la taula poden ser la simulació del llançament d'una moneda o d'un dau, fenòmens aleatoris ja coneguts, per passar a treballar després situacions més complexes. Amb alumnes més grans, les situacions plantejades es poden anar complicant, i utilitzar, si es creu convenient, un ordinador.

Com a reflexió final, podem afirmar que les simulacions, que no s'utilitzen ni es mencionen als currículums, permeten als alumnes :

- Familiaritzar-se amb situacions d'incertesa

- Aprofundir amb la llei empírica de l'atzar

- Utilitzar tècniques bàsiques d'estadística descriptiva

- Ajudar a mantenir el lligam entre estadística i probabilitat

- Donar als alumnes una aplicació de la probabilitat.

Dinàmica del taller:

Realització de simulacions

Reflexió entorn de la seva utilitat com a eina d'aprenentatge