UNA MANERA DE TREBALLAR LA GEOMETRIA PLANA
AMB L’ORDINADOR

1. Elaboració de la proposta

L'IES Vilatzara de Vilassar de Mar inicià la implantació de la reforma en el curs 1994/95. En el curs 96/97 es va donar la incorporació del primer curs d'ESO; actualment comptem amb un total d'un miler d'alumnes, atesos per uns vuitanta professors. L'ESO ja està completa. El Departament de Matemàtiques va anar procedint a la revisió successiva del currículum: detectàrem una minsa presència de la Geometria en el segon cicle. Aquest dèficit dels nostres alumnes anava en dos sentits: en primer lloc, la seva formació matemàtica bàsica, que els ha de permetre comprendre el món amb ulls matemàtics, no quedava prou completa; en segon lloc, la comprensió d'aquesta part de les matemàtiques quedava per sota del que necessiten els que segueixen estudiant el batxillerat. Per aquest motiu ens vam plantejar incrementar la presència de la Geometria al segon cicle de l'ESO, i ho vam fer tenint en compte les següents condicions:

- l'increment prendria la forma d'un crèdit variable

- la temàtica no havia de ser la mateixa del primer cicle, sinó una ampliació d'aquesta en el sentit de fer de pont amb la geometria posterior

- les activitats haurien de ser força actives, és a dir, s'hauria de primar l'activitat de l'alumne pel damunt de la del professor

- les activitats haurien de basar-se en aspectes de la realitat susceptibles de ser matematitzats, modelitzats amb alguna eina atractiva, fugint de l'ús exclusiu de llapis i paper, escaire...

- les activitats haurien de promoure que els alumnes es plantegessin preguntes, i poguessin disposar d'eines que els acostin a les solucions (Currículum ESO, 1993)

- en el crèdit hauria d'haver espais per a la descripció escrita i oral de les estratègies i solucions que els propis alumnes haguessin trobat, al marge de l'encert o l'error d'aquestes, que incitessin al debat

- l'avaluació hauria de ser contínua, aplicada a cada activitat, i no hauria d'interferir en el desenvolupament de les sessions de treball

Per tant, el repte estava en trobar un contingut i una metodologia que fos motivadora, activa i d'alt nivell. I l'eina per a treballar-ho. Coneixíem el programa informàtic anomenat Cabri que servia per "fer geometria". Cabri és un programa interactiu, senzill de fer funcionar en els seus aspectes més bàsics. Presenta algunes característiques que el fan especialment indicat per a treballar la Geometria en la línia que marca la Reforma: serveix per a explorar (Capponi, 1995). És a dir, l'usuari pot preparar una construcció geomètrica, li venen al cap un grapat de preguntes sobre aspectes de la construcció, formula algunes hipòtesis i algunes possibles respostes a les seves mateixes preguntes. Immediatament pot experimentar per comprovar la validesa de les seves hipòtesis. Coincidíem en que es tracta d'un veritable somni fet realitat: la geometria en moviment, animada, les transformacions en temps real... Però ens faltava una didàctica, una manera de treballar amb alumnes adolescents: no volíem fer "geometria assistida", amb pautes tan completes i estrictes que l'alumne només mogués el ratolí, sense pensar. Però, com fer-ho? Remenant bibliografia, començàrem a trobar coses interessants: el llibret del mateix programa, és clar, però també propostes del PIE, reculls d'activitats Cabri, situacions d'aprenentatge i coneixement geomètric de Fortuny i Giménez, una WEB ubicada a l'illa Reunió, la tesi doctoral d'una professora de la Universitat de Grenoble, les ponències de l'Edumac 95, comunicacions a diferents Trobades i Congressos sobre noves tecnologies a l'ensenyament... Una vegada acordat que el crèdit es basaria principalment en la utilització del programa Cabri, començàrem a preparar-lo. Ara, amb perspectiva, reconeixem tres fases:

- els primers materials que vam generar foren veritables pautes de treball, enfocant un treball extremadament guiat, amb poca autonomia de l'alumne i amb un gran pes dels continguts. Aquells materials inicials demostren, en la nostra opinió, la por que teníem de no aconseguir la conceptualització, el formalisme.

- en una segona fase, els materials generats foren diferents, en funció de les primeres valoracions que vam fer en acabar el segon trimestre. Les pautes tan estrictes van deixar pas a la realització d'un informe de cada activitat, del que només es donaven unes senzilles pautes generals.

- ara som en la tercera fase: hem fet balanç del primer curs de treball amb Cabri, hem criticat els materials, els continguts, la metodologia...

2. Aspectes programàtics: què fem

Pretenem que els alumnes, mitjançant les situacions d’ensenyament-aprenentatge que se'ls proposa:

- manipulin la Geometria amb el programa Cabri (però no exclusivament)

- es qüestionin sobre conceptes geomètrics assolits anteriorment, i s'acostin a la correcta definició

- reflexionin sobre conceptes geomètrics nous

- treballin en equips de 2-3 persones, respectant les opinions, traient profit de les diferents aportacions, discutint les objeccions...

- redactin unes conclusions després de cada sessió, emprant la terminologia geomètrica adient, reflectint tot el procés de construcció i de descoberta, incloent les errades comeses i la manera com s'han fet evidents

- exposin oralment les observacions efectuades, davant del grup

- critiquin les observacions dels altres companys, d'una manera gradual i eficaç

- respectin les normes bàsiques establertes sobre sessions, retards, respecte...

Totes aquestes pretensions es basen en dos criteris fonamentals:

1. Fer la Geometria amb Cabri i amb materials: el treball amb un programa informàtic mai no hauria de descartar la utilització d'altres tècniques ni materials, ben al contrari, unes i altres es complementen i potencien: treballem amb el Cabri i amb materials i eines com cordills, xinxetes, tisores, cartolines, triangles de fusta.

2. Facilitar la conceptualització, el pensament deductiu: l'exploració de les figures permet deduir invariants, anar establint les propietats geomètriques, afavoreix el raonament deductiu. El fet de poder desplaçar la construcció realitzada constitueix un test formidable per comprovar l'encert de les propietats assignades a una construcció determinada. Immediatament que es constata l'error, els mateixos alumnes es pregunten què és el que falla. Normalment no cal la intervenció del professor, perquè ells experimenten en funció d'una pregunta i d'una resposta seva.

3. Aspectes didàctics: com ho fem

Els informes de sessió

Són una peça clau en el treball i en l'avaluació. Cada alumne redacta un informe de cada sessió, en el que esperem veure la reflexió sobre els continguts treballats, el grau d'aprofundiment assolit. Però els alumnes tenen poca pràctica en aquest tipus de document. Per això, els primers informes havien de ser molt pautats, amb pocs graus de llibertat i, passades unes setmanes, familiaritzats els alumnes amb aquesta eina, l'informe deixava de ser guiat, tot i que el guió de la sessió sí que ho era. Al final del crèdit, les darreres dues setmanes, els alumnes demostren els seus aprenentatges afrontant la realització de projectes de treball, consistent en una petició sense cap mena de guió. Han de comprendre el que se'ls demana, han de descobrir la seva pròpia estratègia, i han de redactar el seu propi informe.

Ritmes diferents

En el desenvolupament de les sessions de treball, cada grup pren un ritme diferent. Les estratègies desenvolupades han estat dues: d'una banda, introduïm activitats d'aprofundiment amb un caràcter voluntari; de l'altra, fem una revisió de la feina feta in situ, ja que algun grup acabava ràpidament a costa d’oferir una qualitat inacceptable.

Avaluació del progrés i del procés

Considerem que l'avaluació és una part del treball diari, que va associada a totes i cadascuna de les activitats. No podem entendre l'avaluació com un examen, una prova final. La nostra idea d'avaluació inclou avaluar el procés, i no només els resultats, el progrés dels alumnes (Callejo, 1996). El procés per resoldre cada activitat, cada repte que es planteja a l'equip, inclou continguts procedimentals, conceptuals i actitudinals. L'eina fonamental que fem servir per avaluar el procés és el Seguiment Diari Personalitzat. Inclou tres tipus d’anotacions:

1. Diàriament, anotem dades sobre l'assistència, puntualitat, l'interès mostrat, aspectes actitudinals, de cada alumne.

2. Les que es desprenen de cada activitat de cada alumne: companys de grup en la realització, puntualitat en el lliurament de l'informe, observacions d'estil de treball en grup petit, peticions d'ajut o d'aclariment i qualitat de la pregunta...

3. Les que recollim en el diari de classe que porta el professor

Una altra eina és el debat. Durant el crèdit realitzem diversos debats, normalment en les darreres sessions de les activitats "La Jugada Perfecta", "El Secret del Saló Ovalat" i "Què hi ha algú?". En els debats nosaltres prenem el paper d’observadors externs i els moderem. La preparació prèvia, el nomenament de secretari, el plantejament de dues o tres discussions, han de permetre un desenvolupament més o menys autònom. Les graelles d’observació que hem creat ens ajuden a anotar molts aspectes: des de qui fa les primeres -i, per tant, més difícils- intervencions, fins quantes en fa cadascú, passant per la qualitat de les idees o argumentacions esgrimides.

El progrés de cada alumne s'avalua mitjançant la comparació entre l’avaluació inicial (formada per la prova inicial de preconeixements i el perfil inicial a partir de les observacions de les primeres setmanes) i l’avaluació final, que pot incloure 5 elements:

- els projectes de treball de "sobre tancat" de les dues darreres setmanes

- la 1ª valoració, referida a la valoració subjectiva individual, com a grau d'acord amb afirmacions donades, sobre progressos personals i valors i actituds

- la 2ª valoració, referida a respostes obertes sobre aspectes del propi crèdit (objectius, equips de treball, registres, debats) i del professor i la seva funció

- la prova tradicional, que ens pot servir de referència -relativa- respecte dels resultats que donaria l'alumne davant d'un examen tradicional

- el dossier personal, amb tota la documentació, guies, apunts de classe, informes, etc. de cada alumne.

Hi ha una eina que fem servir per a totes dues classes d'avaluació: la correcció dels informes finals de cada activitat. Analitzem des de si és complet, a l’expressió de les idees, passant per l’estructuració del discurs o, fins i tot, l’ortografia.

Des del punt de vista de l'avaluació del procés, fem un retorn de cada informe d'activitat en gran grup i personalment: crítica d'estil formal, i de contingut matemàtic. L'evolució d'aquests informes al llarg del trimestre donen una idea força clara de la millora que cada alumne està fent gràcies al crèdit i, en aquest sentit, representa també una eina d'avaluació del progrés personal de cada alumne. El conjunt de totes aquestes observacions queda recollit en una fitxa per a cada alumne que dóna una idea molt clara de l'aprofitament del crèdit per part de l'alumne, així com dels seus progressos, i ha estat l'element essencial per a lliurar les qualificacions: amb aquest seguiment individualitzat, la prova final esdevé innecessària.

D'altra banda, totes aquestes eines avaluatives també tenen el seu aspecte d'avaluació del propi crèdit, i dels professors: hem modificat les guies, les pautes i els exercicis, les presentacions del temes. També nosaltres intentem practicar l’avaluació del procés i del progrés del nostre crèdit, de la nostra feina.

Referències Bibliogràfiques:

Callejo, M.L. (1996):Evaluación de procesos i progresos del alumnado. UNO, 8, 53-63

Capponi, B. (1995): Utilizar un programa de ordenador para enseñar geometria. Edumac 95. Actes del Congrés. tom II, 3-17

Currículum ESO, Àrea de Matemàtiques (1993), Primer Nivell de Concreció. Dep. d’Ensenyament, p. 47

Fortuny, J.M., Giménez, J. (1994): Geometria amb el Cabri-Géomètre. PIE. Dep. d’Ensenyament.

Castellsaguer, J. Base de dades Sinera 1996. Programa d'Informàtica Educativa. Dep. d'Ensenyament. Generalitat de Catalunya.

Trgalova, J. (1995): Etude historique et épistémologique del coniques et leur implémentation informatique dans le logiciel Cabri-Géomètre. Laboratoire Leibnitz - IMAG. Grenoble, França.