EL MERCAT DELS PROBLEMES

Introducció El grup de problemes de Perímetre portem treballant al llarg de 2 cursos aquest tema en l’àmbit de primària i primer cicle d´ESO. Durant aquest temps hem anat comentant, compartint i experimentant els diferents problemes que treballem normalment a les nostres aules i de quina manera ho fem. Alhora hem anat creant nou material. De totes aquestes trobades han sortit moltes propostes i hem pogut adonar-nos del ventall de problemes que es poden realitzar a classe.

Resolució de problemes

La resolució de problemes es presenta com una part molt important del currículum de matemàtiques. Davant d’un futur canviant, situacions noves, poc previsibles, creiem que hem d´oferir als nostres alumnes eines que els ajudin a tenir una certa estructuració, que els hem d´ensenyar a aprendre i a sortir-se’n davant de situacions problemàtiques.

La resolució de problemes és un terme molt ampli, que abraça una gran quantitat d´aprenentatges. Poden ser un bon organitzador del currículum, integrant les diferents parts de la matemàtica en un tot coherent, del qual van sorgint aprenentatges de geometria, aritmètica, estadística, funcions, etc.

Tipus de problemes

Trobem moltes classes de problemes, cada un dels quals treballa de manera diferent aspectes ben diversos de l´aprenentatge de les matemàtiques:

- hi ha problemes per reforçar coneixements anteriors i n´hi ha que serveixen per a introduir temes nous

- n’hi ha que serveixen per a que el nen posi en marxa diferents maneres d´explicitar el que sap, quan ens mostra de manera argumentada la solució que ha trobat

- n´hi ha amb una història que facilita la comprensió de l´enunciat i d´altres en els que la gràcia està precisament en la dificultat de comprensió de la història

- n´hi ha de numèrics, de geomètrics…

Són propostes de treball de situacions matemàtiques en les que cal investigar, experimentar, raonar, justificar, compartir…

Tot i que sovint ens preguntem què és un bon problema, pensem que hi ha molts factors que hi juguen. De la mateixa manera que per a fer un bon menjar són importants els ingredients que tenim a l´abast, també és molt important qui els cuina, la manera com es presenten, la gana del que menja… Fins i tot el temps que tenim per a assaborir-lo

Recull de problemes

Aquí us oferim un recull dels problemes que hem anat treballant fugint de tota classificació tancada. Serà com un mostrari de tot el gènere que hi ha al nostre mercat, el Mercat dels Problemes. Vosaltres podreu remenar, comentar, discutir… i fins i tot, si és del vostre gust, aplicar-ne a les vostres classes, experimentar amb els vostres alumnes, engrescar-los, i que us sorprenguin, doncs això ho hem pogut comprovar: si afavorim la discussió, segur que entre tots sortirà alguna cosa en la que nosaltres no havíem pensat.

Als panells trobareu referències de cada tipus de problemes, amb imatges:

Panell 1 Panell 2 Panell 3 Panell 4 Panell 5 Panell 6

Problemes visuals:

Pretenem treballar l´estratègia de visualització que ajuda a resoldre alguns problemes, a comprendre´n d´altres i, en darrer terme, a fer-se imatges mentals que ajuden a processar la informació.

Si vull fer 6 torrades, quantes vegades

he de fer servir la torradora?

Si som 4 persones per esmorzar i mengem

2 torrades cada un, quantes torrades he de fer?

Quantes vegades he de fer servir la torradora?

Observa els següents munts de cubs.

Indica el nombre de cubs que hi haurà

en una pila de 8 pisos.

Si menjo una quarta part dels formatgets

de la capsa, quantes porcions em queden?

Si el meu germà se´n menja 1/3 de les que

queden, quantes en menja, ell?

Problemes oberts, d´investigació

Plantegen a l’alumne activitats en que s´ha de posar a investigar, plantejar conjectures, hipòtesis de treball, verificar-les, demostrar-les si pot… Se´l posa a treballar amb les eines que ell mateix tria, en petit grup, discutint el que fan amb els altres…

Escriu el número format per totes les xifres dels núm. de l´1 al 100: 1234567891011121314……99100. Quines 100 xifres hem de treure per tal que el número resultant sigui el més petit possible.

Problemes personalitzats

Elaborem problemes a partir dels números que té el nen (DNI; telèfon, edat, número de sabates……) com a element de motivació.

Esbrina quin és el teu número de sabata.

Escriu-ne un d´unes sabates que t´anirien grans.

Ara un d´unes sabates que t´anirien petites.

Escriu el teu núm de telèfon. Escriu el nombre anterior. Escriu el nombre posterior. Suma totes les xifres. Ara escriu un altre número de telèfon en que la suma tingui el mateix resultat. Amb les xifres del teu núm. de telèfon, escriu el número de telèfon més petit possible. I el més gran possible.

Mesura la llargada i l´amplada de la teva habitació i calcula’n la superfície.

Escriu el núm. de matrícula del teu cotxe. Quants cotxes estan matriculats amb la mateixa lletra per darrera i per davant del teu?

Sabent que els cotxes nous de la província de Girona es matriculen amb les lletres BC, quants cotxes matriculats a Girona tenen el mateix número de matrícula que el teu?

Investiga el pes i la llargada del teu cos en néixer i quan tenies un any. Amb aquestes dades calcula el pes i l´alçada que tindries als vint anys si cada any creixessis com el primer.

Problemes a partir de la realitat

Es segueix el procés de matematitzar una situació real , fixant les variables que decidim entre tots. Resoldre la situació matemàtica i tornar-la a la realitat.

Vull convidar els meus amics a berenar pa amb tomàquet. De cada quilo de pa se´n poden fer, més o menys, dotze llesques. Si vénen 20 nens i nenes a berenar, quants quilos de pa hauré de comprar?

(El Polzet, Ed. Barcanova)

Com podríem fer una comanda de sabates per a una sabateria si pensem que vindran a comprar-se sabates un centenar de nens de la nostra edat?

Volem enrajolar de nou el terra de la classe.

Problemes utilitzant números referencials

Sense parlar explícitament de quantitats els posem davant situacions numèriques que han de resoldre.

Tinc tants caramels com dits tinc en una mà, i me´n donen un parell. Quants caramels tinc?

Veig dues dotzenes de potes. Quantes cadires veig?

Veig un centenar d´orelles de conill. Quants conills veig?

Problemes manipulatius:

La manipulació és una estratègia que normalment es treballa menys a mida que avancen els cursos. Cal reivindicar la importància de la manipulació durant tota la primària i la secundària per tal de relacionar aprenentatges, fixar-los i donar-los alternatives a la manera d´aprendre

Puc posar 6 botons sobre la taula de manera que em queden 6 botons i 5 espais de separació entre ells. Podries posar-los de manera que hi haguessin 6 botons i 6 espais de separació entre ells?

Movent dos escuradents fes que aquest cranc camini en sentit contrari

Un grup de 5 o 6 nois i noies. Amb ajuda de cordill (tant com en necessitin), calcular la mitjana de l´alçada de tots ells. Es pot tornar a plantejar el problema fent servir la quantitat mínima de cordill.

Problemes de lògica

Per a treball d´enunciats, d´estructura, de creació de gràfics i taules…

La persona que tinc a la meva dreta té dues persones a la seva esquerra. Qui sóc jo?

Un nit vaig preguntar a en Carles quin dia feia anys. Em va respondre: "Abans d´ahir tenia 19 anys, i l´any que ve en faré 22.

L´Anna diu que la Berta diu mentides. La Berta diu que la Carla diu mentides. La Carla diu que tant l´Anna com la Berta diuen mentides. Qui diu la veritat?

Problemes a partir de material específic

Hi ha material propi de l`àrea de matemàtiques que ens permet tractar aspectes concrets; Àrees, volums, perímetres, etc.

Construeix totes les figures del tangram a partir de triangles petits. Escriu la relació d´àrees que hi ha entre unes figures i altres.

A partir de 5 quadrats, construeix i dibuixa tots els pentaminos. Calcula´n l´àrea i el perímetre. Què has descobert?

Quins dels pentaminos són desenvolupaments d´una capsa cúbica sense tapa?

Problemes trampa

Hem de parar atenció a l´enunciat perquè hi ha elements que ens fan donar una resposta immediata que sembla òbvia i, en canvi, cal que validem la resposta per adonar-nos que el problema no era tan senzill com semblava.

Una ampolla i un tap valen 120 ptes. Si l’ampolla val 100 ptes. més que el tap, quant val el tap?

Tinc una corda de 20 m. Quants talls he de fer per tenir trossos de 5 m de corda?

Seqüències lògiques.

Dins molts dels problemes que plantegem a l´escola hi ha una estructura d´estat inicial, transformació i estat final. Treballant aquesta estructura plantegem problemes en què la incògnita està en qualsevol de les tres situacions. Podem plantejar-ho a través de dibuixos o text.

A partir d´objectes d´us comú

Al nostre voltant hi ha molts elements en els que podem basar l´enunciat d´un problema: Els fulls d´ofertes de supermercat són una font de qüestions de preus, mesura i càlcul inesgotable. Amb això connectem al nen amb la realitat i els proporcionem elements de motivació.

Quina magnitud s´ha mesurat a la fotografia?

Quin preu tenen 7 litres de coca-cola?

Si cada llauna té 33 cl, quantes

llaunes hi ha contingudes

a l´ampolla?

Amb 2325 ptes., quantes

ampolles com aquesta

podré comprar?

Problemes d´estratègia

Es planteja una situació en la que cal trobar la manera de "guanyar sempre" o descobrir el truc. No es soluciona fent operacions, sinó amb el mètode d´assaig-error i induint la llei general a partir de casos concrets més senzills. Als que descobreixen el truc sempre se´ls pot complicar el joc canviant les condicions inicials.

NIM:

Material: Deu fitxes o peces de material discontinu

Nombre de jugadors: 2

Es comença col·locant deu fitxes en filera. El primer jugador agafa una o dues fitxes de la filera, i després el segon fa el mateix. Així van agafant fitxes per torns, i qui agafa l´ultima fitxa, perd.

Problemes d´atzar i probabilitat

L´atzar i la probabilitat tenen una part màgica. En presentar-los en forma de joc ens porten a descobrir aquests conceptes tan difosos amb naturalitat. Els nens diuen: "Quasi sempre…", "Mai…", "sempre…", "és més fàcil que…", "És millor que…", "Tens les mateixes possibilitats que…", referint-se al que és més o menys probable.

LA SERP CATALINA. (Joc del Grup Sambori),

Material: Tauler, tres fitxes de diferent color, 3 daus (de 4, 6 i 8 cares)

Tres jugadors.

Els jugadors trien amb quin dau volen jugar. Han de tenir en compte que el qui juga amb el dau de 4 cares avançarà el nombre que li surti més dos; el qui juga amb el dau de 6 cares avançarà el nombre que li marqui el dau; el qui juga amb el dau de 8 cares avançarà el nombre que li surti menys 2.

Guanya qui primer arribi al final de la serp.

A partir del cinema, contes, televisió:

"La jungla de cristal" Bruce Willis

S´hi planteja una situació problemàtica:

Per apagar un foc causat per una bomba s´hi han d´abocar de cop 4 litres d´aigua. Només disposen d´un bidó de 3 l. i un de 5 l., i tanta aigua com els faci falta.

A un episodi de la sèrie de dibuixos animats de "David el Gnomo" exposen que hi havia una vegada una gallina que tenia 9 pollets, però la gallina només sabia comptar fins el 3. Per això demana ajuda al follet. Què creus que li diu el follet? Què li hauries dit tu?

Problemes amb història:

Hi ha problemes que tenen una certa arrel històrica.

Diuen que quan Gauss era petit i anava a l´escola, un dia el mestre els va plantejar que sumessin tots els nombres de l´1 fins el 100. Ell, després de pensar-hi una estona, va escriure la solució a la seva pissarra. Com diries que ho va fer?

El rei va prometre a l´inventor dels escacs que li donaria tot allò que li demanés: joies, diners… El pastor li va respondre que volia un gra d´arròs pel primer quadre del tauler d´escacs, el doble pel segon, el doble del segon pel tercer quadre… i així successivament. Al rei allò li va semblar molt poca cosa i va estar d´acord a donar-li. Podríeu calcular quant arròs va haver de donar-li?

Als panells trobareu imatges i referències de cada tipus de problemes exposats.

Panell 1 Panell 2 Panell 3 Panell 4 Panell 5 Panell 6

Com veiem, tenim molt material al nostre abast i cal aprofitar-lo tant com puguem per oferir situacions d´ensenyament-aprenentatge més riques i diverses. El repte consisteix en crear un entorn que ho propiciï…, i amanir bé el plat.