Estratègies al voltant de la resolució de problemes

La diversitat de nois i noies que trobem a les aules no ha de ser obstacle per poder crear un context adequat per ensenyar/aprendre matemàtiques. Un context on la curiositat, l'actitud de recerca, les conjectures, l'entusiasme juguin un paper important, més que no pas els càlculs rutinaris o l'aplicació directa d'algorismes memoritzats. Un context on el plantejament i la resolució de problemes provoquin una dinàmica d'utilització i aprenentatge de coneixements matemàtics.

Què és un problema?

Pot arribar a ser difícil diferenciar un problema d'un exercici que requereix l'aplicació d'un seguit d'algorismes de resolució. Depèn de l'actitud que desperti en l'alumne i no tant de la qüestió que es planteja. També depèn, evidentment, dels coneixements de l'alumne, així com de la seva capacitat per reconèixer situacions anàlogues.

La resolució d'un problema és un acte creatiu, on s'avança i es torna enrera, es proven noves estratègies, s'intenta trobar més d'una via de solució, es proven casos concrets, s'intenta generalitzar...

Les dificultats que cal superar per resoldre un problema no es poden valorar d'una manera objectiva i, per tant, provocaran respostes diverses en els diferents nois i noies a qui va dirigit. Tan difícil és que un alumne se'n faci un problema d'una qüestió que no li representa cap dificultat, com que un alumne abordi amb un cert entusiasme la resolució d'un problema sobre el qual entén molt poques coses. En tot cas, el que és evident és que el treball que els cal realitzar a aquests alumnes té característiques ben diferenciades.

Els ensenyants hauríem de ser capaços de plantejar activitats i problemes molt flexibles que s'adaptessin als diferents ritmes dels alumnes, que els estimulessin segons les seves diferents capacitats i que, per tant, contribuïssin clarament en el seu procés d'aprenentatge.

S'hauria d'intentar que els problemes que es proposen als alumnes els suposin un repte que puguin afrontar amb confiança, sinó difícilment despertaran el seu interès.

Per què problemes?

• Una manera d'entendre les matemàtiques

El tipus d'activitat que es proposa als alumnes provocarà una manera de treballar i una manera d'entendre les matemàtiques.

Una característica de l'activitat matemàtica és la de fer preguntes i buscar respostes. I és intentant buscar aquestes respostes quan sovint es fan descobriments, s'estableixen relacions i s'adquireixen nous coneixements.

La resolució d'un problema hauria de donar a l'alumne l'oportunitat de reflexionar sobre els seus coneixements matemàtics, sobre com posar-los en joc, així com d'establir i descobrir relacions entre ells. En aquest sentit, és important proposar problemes que puguin abordar-se des de diferents punt de vista, seguint diferents estratègies.

Treballar el tempteig, la comprovació de casos particulars, la recerca d'un model o les estimacions mostra a l'alumne un tipus de raonament molt diferent del raonament lògic deductiu que sovint es pren com a paradigma de raonament matemàtic. Aquesta associació sovint és tan forta que hi ha alumnes que consideren que si han trobat la solució d'un problema per tempteig-comprovació, de fet no han resolt el problema.

Amb la resolució de problemes hauríem de mostrar als alumnes que la matemàtica és una activitat oberta al raonament, a la discussió i a la recerca.

• Una manera de treballar les matemàtiques

La resolució de problemes és una activitat adequada per realitzar-la en petits grups.

Amb el treball en grup s'afavoreix la discussió, la col·laboració, la posada en comú de coneixements, i, per tant, també s'afavoreix la reflexió, la revisió, la comprovació de conjectures,... El treball en grup dóna l'oportunitat als alumnes de compartir en comptes de competir i de treballar en confiança, seguint el propi ritme de treball en comptes de treballar pressionat,

Els professors hauríem d'estimular els alumnes a seguir els seus propis raonaments, els quals els portaran a resoldre el problema plantejat, o a situacions sense sortida, o a resultats aparentment contradictoris, o a situacions de bloqueig. Raonaments que per altra part poden ser incorrectes o que poden partir d'errors conceptuals. Tractar aquestes situacions i convertir-les en font d'aprenentatge significatiu és el gran repte del professorat, especialment en el context de la resolució de problemes. Per altra banda, segur que aquesta dinàmica ens ajudarà en el difícil procés d'entendre com es poden elaborar conceptes matemàtics.

Quins problemes?

S'ha dit anteriorment que és important proposar problemes que puguin abordar-se des de diferents punt de vista, seguint diferents estratègies. Problemes que es puguin treballar a diferents nivells d'aprofundiment, depenent de les capacitats, dels coneixements i/o dels diferents interessos dels alumnes. Problemes, en definitiva, oberts a diferents tractaments.

Sovint es parla de problemes oberts com a eines que permeten l'aproximació al pensament matemàtic, però també és cert que la capacitat de formular-se noves preguntes fa que moltes situacions concretes i aparentment tancades es converteixin en situacions obertes a nous treballs matemàtics. És important que els alumnes arribin a entendre que, de vegades, les possibilitats de treball divers que ofereix un problema depèn més de l'actitud amb la qual s'aborda que no del seu enunciat.

En la resolució de problemes s'hauria de procurar que l'obtenció de les possibles solucions no es veiés necessàriament com un punt i apart. Un problema s'hauria de veure com una situació oberta, sobre la qual sempre és possible fer-se noves preguntes.

Quan fer problemes?

Plantejar-se el currículum de matemàtiques exclusivament des de la resolució de problemes de matemàtiques és una tasca difícil. Cal tenir present que l’horari estricte i el temps limitat no facilita aquest plantejament i que l’avaluació promocional (administrativa) que ha de fer el professorat de l’alumne planteja dificultats, ja que la resolució de problemes té aspectes que tot sovint ignorem i que són difícils de valorar objectivament (l’actitud de l’alumne, tenir present que la cerca de l’estratègia de resolució pot ser tan o més important que la resposta, la relació en el grup, els aspectes emotius que desperten,...).

Malgrat les seves dificultats, són molts més els avantatges i creiem que la dinàmica i actitud que implica la resolució de problemes ha de d’estar present a tots els crèdits de matemàtiques ja siguin crèdits comuns o crèdits variables, és a dir, creiem que cal que les propostes de treball constitueixin situacions problemàtiques que facin necessari explorar i despertin formes de raonament i processos propis de la resolució de problemes (experimentar, discutir, conjecturar, comprovar, ...).

En aquest sentit pensem que cal entendre la resolució de problemes com a metodologia d’aprenentatge i no tan sols com a vehicle per ensenyar a resoldre certs tipus de problemes o aprendre certes estratègies de resolució.

El Taller

Pretenem amb aquest taller mostrar algunes de les característiques de la metodologia de la resolució de problemes que hem descrit anteriorment.

Lògicament, caldrà que ens posem a resoldre problemes i que posteriorment n'examinem el procés. Plantejarem diferents tipus de problemes atenent a la seva finalitat i analitzarem, des de la pròpia experiència, les característiques del mètode.