22)Dado un triángulo ABC, consideremos para cada punto M del segmento AB un punto N de la semirrecta BC, exterior al segmento BC y tal que las distancias CN y BM sean iguales. ¿Qué podemos afirmar de las mediatrices de los segmentos MN?

Solución de Ricardo Barroso Campos.

Departamento de Didáctica de las Matemáticas.

Universidad de Sevilla.

Sea ABC el triángulo. Consideremos los dos casos extremos, cuando M=B (N=C=B*) y cuando M=A (N sobre la semirrecta BC tal que CN=BA, N=A*).

Las mediatrices de AA* y de BB* se cortan en un punto T.

Consideremos las circunferencias de centro T y radios TB y TA.

Giremos el triángulo ABC con centro T y amplitud BTB*.

BA->B*A*, por tener igual longitud y estar ByB*, Ay A* en cireunferencias de centro el centro de giro.

Obtenemos el triángulo A*B*C* donde B*=C, A* está sobre la semirrecta BC y la circunferencia de centro T y radio TA, y C* sobre la circunferencia de centro T y radio TB.

Es decir, tenemos que <TBC= <TCB=<TB*C*, por ser BC=B*C*, por lo que <BTC=180º-2TBC=<A*B*C*=<ABC,

Consideremos ahora un punto N y su transformado M, según el enunciado:

Los triángulos TBM y TCN están girados en el giro de cantro t y amplitud BTB*, por lo que TN=TM, y T es un punto de la mediatriz de [MN].

Así, la solución del problema es que todas las mediatrices tienen un punto T en común, que es el centro de las circunferencias que pasan por BB* y AA*, o sea, por los originales y tranformados según el enunciado de B y A.

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