Principis bàsics:

• Angles d'un triangle:
  • Els tres angles d'un triangle sumen 180º
  • Triangles isósceles: principi de simetria
    
• Angles inscrits en una circumferència:
  • L'angle inscrit que abraça un diàmetre és de 90º.
    Aplicació: construcció d'un triangle rectangle coneguda la hipotenusa.
    
  • L'angle inscrit en una circumferència és la meitat de l'angle central corresponent.
    
  • Arc Capaç: Construcció del lloc geomètric dels punts que veuen un segment sota un angle donat (aplicació del principi anterior. Veure el problema 9).

Més coses:

• La recta d'Euler d'un Triangle
• Comparació de les tres mitjanes
• Construcció d'una paràbola
• Construcció d'una elipse

Llista de problemes per resoldre amb Cabri (del curs de Xavier Vall):

• 1) Donat un triangle equilàter es considera un punt interior i des d'aquest les tres perpendiculars als costats. Quan val la suma d'aquests tres segments?
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 2) Donat un quadrilàter qualsevol, es considera el quadrilàter que té per vèrtexs els punts mitjos dels costats del quadrilàter original. Podries caracteritzar els quadrilàters així obtinguts? per què?
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 3) En el pati d'una escola hi ha dos arbres i una paret. Els nens utilitzen el següent joc: surten d'un dels arbres per anar a tocar la paret i després a l'altra arbre en el mínim temps possible. Quina seria la trajectoria guanyadora? [PUIG ADAM, P. - REY PASTOR, J. Elementos de Geometria. pàg 82]
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 4) En un triangle, inscriviu un quadrat que tingui dos vèrtex sobre un costat i els altres dos sobre cada un dels altres dos costats. [POLYA, G. Cómo plantear i resolver problemas. pàg 41]
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 5) Donades tres rectes paral·leles, construiu un triangle equilàter de manera que tingui un vèrtex sobre cada una de les rectes.
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 6) Donades dues circumferències traceu les seves tangents comunes.
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 7) Donat un cercle, construiu tres cercles interiors iguals que siguin mútuament tangents i tangents a l'inicial. Feu el mateix amb 4 i 6 cercles interiors.
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 8) Donades dues circumferències concèntriques construir un quadrat inscrit en les dues, és a dir, que tingui dos vèrtex en una circumferència i els altres dos en l'altra. [Proposat per en David Barva]
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 9) Un vaixell divisa tres punts A, B i C de la costa que té situats sobre un plànol, i mesura l'angle entre les visuals de A i B, i entre les de B i C. De quina manera pot trobar la seva situació en el plànol? [PUIG ADAM, P. Curso de geometria métrica. Pàg 86 Problema del plànol (Potenot)]
  Solució
  
  
• 10) Donat un triangle qualsevol sobre cada un dels costats es construeix un triangle equilàter. Què pots dir del triangle format pels centres dels tres triangle equilàters? Pots justificar-ho? [problema de Napoleon]
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 11) Donat un triangle qualsevol es consideren triangles equilàters externs sobre cada un dels costats. Ara unim cada vèrtex extern dels triangles equilàters amb el vèrtex oposat al costat sobre el que està construït. Els tres segments són concurrents i a més formen 6 angles de 60o.[punt de Fermat]
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 12) Donada una circumferència es consideren dues cordes AB i BC (on BC és més gran que AB). Sigui M el punt mig de l'arc ABC i F el peu de la perpendicular de M a la corda BC. Proveu que F és el punt mig del segment AC en el supòsit que rectifiquéssim les dues cordes. [problema de la corda trencada d'Arquímedes]
  Exploració del problema amb Cabri. Solució
  
  
• 13) Donat un paral.lelogram es construeixen sobre cada un dels costats quadrats. Què pots dir del quadrilàter format pels centres dels quatre quadrats? Pots justificar-ho?
  Solució
  
  
• 14) Donat un quadrilàter qualsevol es consideren les diagonals del quadrilàter que té per vèrtexs els centres dels quadrats construïts sobre cada un dels costats. Què observes? Pots justificar-ho?
  
  
• 15) Un jugador de futbol amb la pilota segueix una trajectòria recta i té la porteria buida, en quin punt de la seva trajectòria ha de xutar a porta per tenir el màxim de garanties de marcar?
  Solució enviada per Ricard Peiró el 10 de novembre de 2003.
  
  
• 16) Construir un triangle donats dos costats, sabent que les medianes d'aquests costats són perpendiculars.
  En Ricard Peiró ens ha enviat la solució, el 7 de juny de 2004
  
  
• 17) Donat un triangle construir dues circumferències iguals mútuament tangents i que siguin tangents a dos costats.
  
  
• 18) Construir un triangle rectangle del que coneixem un catet i la projecció de l'altre catet sobre la hipotenusa. (És meu i no el sé fer)
  En Ricard Peiró ens ha enviat la solució, el 15 d'octubre del 2003
  Segona solució enviada per Ricard Peiró el 24 d'octubre de 2003
  

• 19) Donat un triangle i un punt trobar una recta que passi pel punt i divideixi el triangle en dues parts equivalents. (proposat per la Victòria)
  Aproximacions al problema amb GeoGebra
  
  
• 20) En un billar circular hi ha dues boles. Trobar quina trajectòria ha de seguir una de les boles per tal de topar amb la segona bola després d'haver fet dues bandes. (Tampoc el sé fer)

PROBLEMES AFEGITS A PARTIR DE MAIG DEL 2005

• 21) Sobre el costat d'un quadrat dibuixem un triangle equilàter interior al quadrat i d'igual costat. Sobre un costat consecutiu de l'anterior dibuixem un altre triangle equilàter de costat igual, però aquest cop exterior al quadrat. Unim els dos vèrtex dels dos triangles que no són vèrtex del quadrat inicial. Demostreu que la recta que els conté passa pel vèrtex del quadrat que no és vèrtex de cap dels dos triangles equilàters. (de la web del programa GeoGeobra - maig 2005)
  Solució amb Geogebra
  
  
• 22) Donat un triangle ABC, considerem per cada punt M del segment AB un punt N de la semirrecta BC, exterior al segment BC i tal que la les distàncies CN i BM siguin iguals. Què es pot afirmar de les mediatrius dels segments MN?
  (problema del Wiki de GeoGebra - maig 2005)
  Ricardo Barroso Campos ens ha enviat una solució amb Cabri, el 9 de juny de 2005.
  
• 23) Dues rectes es tallen perpendicularment en un punt interior a una circumferència, determinant quatre triangles rectangles amb les hipotenuses inscrites en la circumferència. Demostreu que l'altura sobre la hipotenusa de cada trinangle és una mediana del triangle oposat pel vètex (UPC - Examen parcial de Geometria - novembre 2004).
  Dibuix i esboç de solució amb GeoGebra
  
• 24) Fixant un collaret en un un punt P dibuixem triangles isòsceles amb els costats desiguals paral·lels. Quin és el lloc geomètric dels extrems dels costats desiguals? (Claudi Alsina, novembre 2006)
  Solució amb Geogebra
  
• 25) Donats dos segments a i b, construir un triangle rectangle de manera que la bisectriu d'un dels angles aguts talli el catet oposat formant dos segments de longituds a i b. (gener 2007 - del llibre de dibuix de 1r de batx.)
  Explorant el problema
  Solució falsa 1
  Solució falsa 2
  Observacions Pili
  Solució Pili
  Observancions Viki
  Solució Viki
  Solució Xavier Valls
  Observacions Xavier i dues noves propostes de problemes