Euclides

Per a altres significats vegeu «Euclides (desambiguació)».

Euclides, en un panell de la sèrie "Homes famosos" de Joos van Wassenhove (c. 1474), actualment a la Galleria Nazionale delle Marche (Urbino).

Euclides (en grec:Εὐκλείδης), també conegut com Euclides d'Alexandria (c. 365 – 275 aC) fou un matemàtic grec, conegut en el dia d'avui com "el pare de la geometria". Va néixer a Alexandria (Egipte), visqué en temps de Ptolemeu I Sòter i va estudiar a l'escola d'Alexandria. Fou el fundador de l'escola de matemàtiques de la ciutat.

El seu treball més famós fou els Elements, considerat sovint el llibre de text de més èxit de la Història.^[1][2] S'hi dedueixen les propietats dels objectes geomètrics i dels nombres naturals a partir d'un petit conjunt d'axiomes. També va escriure sobre perspectiva, seccions còniques, geometria esfèrica i teoria de nombres.

Biografia

Es coneixen molt pocs detalls de la seva vida, tret de què va viure a Alexandria (Egipte). Existeixen altres dades, però són poc fiables. Alguns autors àrabs afirmen que era fill de Nàucrates, i es consideren tres hipòtesis:^[3]

1. Euclides fou efectivament el personatge històric que va escriure Els Elements i la resta d'obres atribuïdes a ell.
2. Euclides fou el líder d'un equip de matemàtics que treballaven a Alexandria. Tots ells van contribuir a escriure les obres completes d'Euclides, fins i tot firmant llibres amb el nom d'Euclides en data anterior a la mort d'aquest.
3. Les obres completes d'Euclides foren en realitat escrites per un equip de matemàtics d'Alexandria que van prendre el nom d'Euclides del filòsof Euclides de Megara, que havia viscut uns cent anys abans.

Procle, que fou el darrer gran representant de la filosofia grega, va escriure cap a mitjans del segle V dC -vuit segles després- un seguit de comentaris sobre el llibre I dels Elements. Aquests comentaris han acabat resultant una font d'informació molt valuosa sobre la història de les matemàtiques a l'antiga Grècia. Dels seus comentaris, per exemple, sabem que Euclides va incorporar les aportacions d'Eudoxe en relació a la teoria de la proporció, i de Teedet sobre els políedres regulars.

Els Elements

Article principal: Elements d'Euclides

Un dels fragments originals més antics que es conserven dels Elements, trobat a Oxyrhynchus i que data de c. 100. El diagrama és del llibre II, proposició 5.^[4]

L'objectiu dels Elements d'Euclides fou el de reunir els molts resultats matemàtics que s'havien anat originant, i presentar-los sota una estructura coherent i estructurada. D'aquesta manera, se'n facilitava l'ús i es podia fer servir com a referència. A més, Euclides hi detalla un seguit de proves matemàtiques que serveixen com a model de rigor i construcció de les demostracions matemàtiques durant segles. Per aquest motiu, se'l considera un dels llibres més importants en tota la història de la ciència, i probablement el més important en tota la història de les matemàtiques.

Els Elements d'Euclides és un tractat que es divideix en tretze llibres, la major part dels quals es dediquen a l'estudi de la geometria: els llibres I, III, IV i part del XII són de geometria plana, el XI, XIII i l'altra part del XII de geometria a l'espai. Els llibres II, V, VI i X són d'àlgebra, i els llibres VII, VIII i IX es dediquen a l'estudi de l'aritmètica. Els quatre primers llibres més els VII, VIII, IX son considerats provinents del pitagòrics. Els V, VI i XII a Eudox, el X i el XIII a Teetet i l'XI a l'escola jònica.

A la part dedicada a la geometria, es presenta de manera formal, partint únicament de cinc postulats, l'estudi de les propietats de línies, plans, cercles, esferes, triangles i cons. Els teoremes d'Euclides de geometria sintètica continuen sent els que s'ensenyen a l'escola avui en dia. Entre d'altres, destaquen, per exemple, que "la suma dels tres angles interiors de qualsevol triangle fan 180 °", o que "en un triangle rectangle el quadrat de la hipotenusa és la suma dels quadrats dels catets", el conegut teorema de Pitàgores.

El sistema geomètric descrit als Elements es va considerar durant més de dos mil·lennis l'única geometria possible. No obstant això, avui en dia el considerem un tipus determinat de geometria, la geometria euclidiana, per distingir-lo de les geometries no euclidianes que els matemàtics van descobrir el segle XIX. L'aparició de noves geometries prové de canviar el cinquè axioma de la geometria, que estableix que per un punt exterior a una recta, hi passa únicament una recta paral·lela a aquesta.

Tot i que normalment es dóna la importància en els continguts geomètrics dels Elements, els seus resultats referents a teoria de nombres també són fonamentals. Euclides parla de la connexió entre els nombres perfectes i els primers de Mersenne, dóna una demostració sobre la infinitud dels nombres primers, estudia la divisibilitat, tracta el lema d'Euclides de factorització -que porta al teorema fonamental de l'aritmètica sobre la factorització única en nombres primers-, i dóna l'algorisme d'Euclides per trobar el màxim comú divisor de dos nombres, que és el més ràpid que existeix.

Obres d'Euclides

Euclides tal com l'imagina Rafael en aquest detall de L'escola d'Atenes. No es conserva cap descripció de l'aparença física d'Euclides, de manera que se'l dibuixa en funció d'obres anteriors o de la imaginació de l'artista.

Els llibres atribuïts a Euclides són:

• 1. Στοιχεῖα (Els elements)

• 2. Δεδομένα (La Data) Molt relacionat amb els primers quatre llibres dels Elements. Tracta del tipus d'informació donat en problemes geomètrics, i de la seva naturalesa.

• 3. Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική (Tractat de Música)

• 4. Κατατομὴ Κανόνος (La divisió de l'escala)

• 5. Φαινόμενα (Aparences del cel o Fenomena) Un tractat sobre l'astronomia de posició, que es conserva en grec. És força similar a una obra d'Autòlic, "Sobre la moció de l'esfera".

• 6. Ὀπτικά (Òptica) És el tractat grec que es conserva més antic sobre la perspectiva. En les seves definicions Euclides segueix la tradició platònica, que afirma que la visió és causada per raigs que emanen de l'ull. Euclides descriu la mida aparent d'un objecte en relació a la seva distància de l'ull, i investiga les formes aparents de cilindres i cons quan són vistos des de diferents angles. Pappus va considerar que aquests resultats eren importants en astronomia i va incloure l'Òptica d'Euclides, juntament amb els seus "Fenomens", en un compendi d'obres menors que calia estudiar abans de l'Almagest, de Claudi Ptolemeu.

• 7. Κατοητρικά (Catòptrics) Tracta de la teoria matemàtica dels miralls, en particular de les imatges formades en miralls còncaus plans i esfèrics. La seva atribució a Euclides és dubtosa, el seu autor podria haver estat Teó d'Alexandria.

• 8. Περὶ διαιρέσεων Βιβλίον (Sobre les divisions) Només se'n conserva una part, d'una traducció a l'àrab. S'ocupa de la divisió de figures geomètriques en dues o més parts iguals o en parts de proporcions donades. És similar una obra del segle III dC d'Heró d'Alexandria.

• 9. Κωνικῶν Βιβλία ( Quatre llibres sobre seccions còniques) Actualment perdut. Fou un treball sobre seccions còniques que va ser ampliat per Apol·loni de Perga en un llibre famós sobre aquest mateix tema. És probable que els primers quatre llibres de l'obra d'Apol·loni provinguessin directament d'Euclides. Segons Pappus, "Apol·loni, havent completat els quatre llibres de còniques d'Euclides, i havent-ne afegit quatre més, va deixar vuit volums de còniques". Les còniques d'Apol·loni ràpidament van substituir l'obra original, i a l'època de Pappus, el treball d'Euclides ja s'havia perdut.

• 10. Πορισμάτων Βιβλία (Tres llibres de porismes) Perduts. Podria haver estat una ampliació de la seva feina en les seccions còniques, però no s'acaba de saber del cert el significat del títol.

• 11. Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β´ (Dos llibres sobre els llocs geomètrics) Tractava sobre els llocs geomètrics sobre superfícies o llocs geomètrics que eren ells mateixos superfícies. En una interpretació posterior, es té la hipòtesi que l'obra podria haver tractat de superfícies quàdriques.

• 12. Τόπων πρὸς Ἐπιφάνειαν Βιβλία Β´

• 13. Περὶ Ψευδαρίων (Sobre les fal·làcies) Un text sobre els errors en el raonament.

Les obres que ens han arribat sóc cinc: La Data, Sobre les divisions, Catòptrics, Aparences del cel i Òptica. Per fonts àrabs, se li atribueixen a Euclides diversos tractats sobre mecànica. "Sobre allò pesat i el lleuger" conté, en nou definicions i cinc proposicions, les nocions aristotèliques de moviment dels cossos i el concepte de gravetat específica. "Sobre l'equilibri" tracta la teoria de la palanca també d'una manera axiomàtica, amb una definició, dos axiomes, i quatre proposicions. Un tercer fragment, sobre els cercles descrits pels extrems d'una palanca mòbil, conté quatre proposicions. Aquestes tres obres es complementen de tal manera una amb l'altra que s'ha suggerit que són romanents d'un únic tractat de mecànica escrit per Euclides.

Referències

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Euclides

• Els Elements d'Euclides, en català
• Biografías de matemáticos: Euclides, Centro Virtual de Divulgación de las Matemáticas. (castellà)
• Euclid's Elements Els Elements, en anglès, amb informació complementària. (anglès)
• Biografia d'Euclides, al MacTutor. (anglès)