Ja heu vist que la Wiris treballa amb nombres enters i racionals, opera amb aproximacions decimals dels nombres reals i també ho pot fer conceptualment amb valors exactes d'alguns nombres irracionals; finalment, ja heu vist algunes situacions on apareixen també nombres complexos.

En aquesta pràctica veureu les possibilitats de treball amb nombres complexos: les operacions que hi podem fer, diferents funcions relacionades amb els nombres complexos i les presentacions que se'n poden fer, i, finalment, les possibilitats de representació gràfica que més endavant podreu aprofundir.

La unitat imaginària i que es defineix com l'arrel quadrada de -1, s'introdueix amb la icona del menú o bé amb l'identificador i_ o també amb la combinació de tecles Control + i. D'aquesta manera, s'escriuen els nombres complexos en forma binòmica, la manera habitual amb què la Wiris ens els presentarà.

Veurem de seguida com es poden efectuar les principals operacions: suma, producte, quocient i potències, i també constatarem el fet que es poden resoldre equacions polinòmiques amb coeficients complexos. Unes línies més avall teniu una foto d'una pantalla de treball amb la Wiris que podreu obrir efectivament si cliqueu a la icona de la fletxa.

Us suggerim algunes exercitacions:

• Podeu canviar els valors dels nombres complexos a i b, fer que s'obtinguin els resultats de les operacions indicades i observar.
• Modifiqueu el grau i els coeficients de l'equació i comproveu que una equació polinòmica amb coeficients complexos ens dóna totes les solucions. Fixeu-vos en el senyal d'avís si els coeficients són reals i l'equació no té cap solució real.
• Feu altres proves. Investigueu.
  

Vegeu que la comanda resol que podem obtenir amb la icona de la barra d'eines del menú troba les solucions reals i complexes de l'equació si aquesta té algun coeificent que sigui un nombre complex. Com ja hem dit, les troba totes encara que no ens informa de la seva multiplicitat.

En canvi, si l'equació té coeficients reals, resol no ens dóna per se les solucions en el domini complex. Recordeu que vam veure de passada en la pràctica 3 del mòdul 1 que per trobar les solucions complexes d'una equació polinòmica cal utilitzar la comanda arrels especificant el conjunt . Aquesta comanda sí que ens dóna la multiplicitat, com podreu veure quan treballeu aquest tema molt més a fons en el mòdul següent.

Les funcions més habituals relacionades amb el treball amb nombres complexos estan incorporades a la Wiris i no necessiten gaire explicació:

• part_real, part_imaginària, que es poden abreujar com real i imaginari, respectivament.
• argument, que s'obté en radiants entre -p i p.
• norma, que ens dóna el que també s'anomena mòdul del nombre complex (però que no es pot calcular amb aquesta denominació). Per calcular la norma, podeu utilitzar la comanda norma o bé la icona del menú .
• conjugat.

També tenim elements auxiliars de treball:

• La funció punt(a+bi) transforma el nombre a + bi en el punt de coordenades (a, b).
• El resultat de signe(a+bi) és un nombre complex amb el mateix argument i mòdul la unitat.

Podeu observar-ho si activeu la pantalla següent: practiqueu i investigueu.

Com que la Wiris no té incorporat el dibuix d'un vector amb fletxa, que és el més usual quan es parla de representar gràficament els nombres complexos, se suggereix de representar-los mitjançant un punt que representi el que de vegades se'n diu l'afix i el segment que l'uneix amb l'origen de coordenades.

• La comanda punt(a+bi) defineix l'afix del nombre complex.
• La comanda segment(A) retorna el segment determinat per l'origen de coordenades i el punt A.

A la finestra activa podreu veure la representació d'un nombre complex i el seu conjugat.

Observeu la interactivitat del gràfic. Com que aquesta acció només s'aconsegueix quan es mou un punt, s'ha de començar el codi definint un punt i fer servir el que s'ha explicat més amunt, la manera com a partir d'un punt del pla es defineix un nombre complex i a l'inrevés.

Podeu analitzar amb detall el codi si activeu la finestra següent.

Algunes observacions sobre el codi de la pantalla activa que acabeu de veure:

• Cal insistir en el fet que el signe := és el que permet l'actualització del gràfic?
• En les dues primeres comandes escriu podeu observar l'encadenament d'un text -definit entre "..."- i un valor numèric mitjançant el signe |.
• Noteu també el control que es fa del lloc on s'escriuen les etiquetes d'A i de B, amb la idea de la geometria afí que un punt més un vector dóna un altre punt.

En aquesta part de la pràctica podreu comprovar un fet característic de la Wiris: una mateixa funció, segons els arguments que se li passin, pot servir per fer accions diferents. Observeu-ho en aquest cas, amb la comanda polar, que s'utilitza en el sentit de conversió de binòmica a polar i a l'inrevés.

• La funció polar(a+bi) calcula el mòdul i l'argument de a + bi i retorna el resultat en forma de llista.
• L'angle s'expressa per defecte en radiants. Per introduir un angle en graus s'utilitza la icona del menú , on també trobareu icones per entrar l'angle en graus, minuts i segons. Per passar un angle A de radiants a graus teniu també la comanda convertir(A,º) que, tanmateix, dóna l'angle en graus i decimals de grau. Si ho voleu en graus, minuts i segons haureu de fer unes petites operacions.
• La funció polar(m,A) calcula la forma binòmica del nombre complex de mòdul m i argument A.

Ben segur que ja heu entrat a la finestra activa anterior i heu fet algunes investigacions. La darrera part us pot suggerir idees per un dels exercicis.

• Mitjançant la comanda polar heu pogut investigar les propietats del producte i la potència de nombres complexos en forma polar.
• Us suggerim que canvieu els valors i feu la comprovació tot expressant l'angle en graus.

La finestra activa que presentem tot seguit fa visual de manera actualitzable/interactiva la representació en forma polar d'un nombre complex.

En moure un punt del pla s'identifica amb el nombre complex que el té per afix i es dibuixa el mòdul i l'argument, i se'n calculen i es mostren els valors.
Aquesta activitat prepara el camí per a la introducció al concepte de referència polar del pla.

Obriu la pantalla activa, feu l'activitat i observeu les diferències de presentació si hi ha la malla visible o no.

Analitzeu el codi de l'activitat que acabeu de veure. En la línia adoptada de fer servir les diverses pantalles actives que formen part del curs per anar presentant noves idees, hi trobareu alguns aspectes que volem comentar:

• La possibilitat de fer servir lletres gregues, que són accessibles si cliqueu a la pestanya , per donar nom a variables o identificadors.
• El fet que l'argument d'un nombre complex s'obté en radiants; en aquesta ocasió, s'ha transformat en graus a mà sense fer servir convertir.
• La definició d'una circumferència auxiliar (amb la comanda abreujada cfr i donada pel centre i el radi) sobre la que dibuixem l'arc que mostra molt visualment l'argument.
• La definició d'aquest arc amb la sintaxi
       arc(circumferència, angle_inicial, amplitud).
  Aquesta comanda té altres versions que podeu consultar a l'índex alfabètic incorporat al manual del programa.
• El fet que dibuixar un arc amb l'opció auxiliar omplir=cert fa que es pinti tot el sector circular definit per l'arc.
• La possibilitat de passar opcions a la comanda escriu que permeten modificar l'aspecte del text. Vegeu-ne la sintaxi; cal que vegeu que encara que només es passi una opció, ha d'anar entre {...}.

Si ja heu practicat amb aquesta activitat i n'heu mirat el codi, haureu pogut constatar, una vegada més, que una planificació clara i senzilla permet uns resultats excel·lents.

A part d'altres aspectes que ja hem comentat anteriorment, en aquest cas volem fer notar una cosa que ben segur que ja heu experimentat: només hi pot haver una opció de color en cada comanda escriu o dibuixa.

Per trobar totes les arrels complexes d'un nombre real o bé d'un nombre complex, s'utilitza la comanda arrels, que rep dos arguments. Per calcular les arrels n-èsimes de r s'escriu arrels(r,n).

• S'obté el resultat en forma de llista de n nombres complexos en forma binòmica. Ara bé, ja sabeu que la comanda polar(a+bi) transforma les arrels a la forma polar.
  
  
• Atenció!: la comanda arrel obté només les arrels reals.

Tot seguit, es presenta una pantalla de la Wiris que, després d'entrar un nombre complex r i un nombre natural n a la finestra de sessió, es representen les arrels d'índex n del nombre r a la circumferència de centre el punt (0,0) i radi el mòdul de les arrels.

Activeu la finestra Wiris i veureu com es calculen i es mostren les arrels complexes. En primer lloc, us suggerim algunes idees per a petites modificacions.

• Canvieu el nombre complex r i l'índex n de l'arrel. Aquesta és, en aquest exemple, la possible interactivitat (no sobre el tauler gràfic). Ajusteu, si cal, el tauler gràfic per una visualització òptima.
• Feu que aparegui l'angle en radiants i el mòdul en forma decimal, amb una aproximació de dos decimals.

Haureu d'analitzar el codi que en aquest cas presentem comentat i on trobareu un exemple molt interessant de la generació de llistes i el seu ús.

• En primer lloc, recordeu que si voleu veure els resultats a la finestra de treball haureu de treure els ; del final d'alguna línia.
• Constateu que A és una llista formada per les arrels n-simes de r. I llavors, a partir d'aquesta llista, se'n generen d'altres amb l'ús de amb .. en. Ben segur que els procediments són ben entenedors.
• Adoneu-vos de la flexibilitat i la potència d'aquesta possibilitat: A és una llista de nombres complexos en forma binòmica; Po és una llista de llistes, cadascuna de dos elements; G és una llista de nombres; P és una llista de punts; S és una llista de segments. I llavors podem dibuixar globalmentP o S o escriure G.

Tot seguit, presentem una nova activitat didàctica molt elaborada que permet explicar el mètode de càlcul de les arrels complexes d'un nombre complex en forma polar i fer-lo visual amb l'anàlisi de diferents exemples mitjançant la interactivitat dels gràfics de la Wiris.

Es calculen i, sobretot, es presenten gràficament les arrels complexes d'un nombre complex de mòdul la unitat. Des del tauler gràfic s'escull el nombre complex i l'índex de l'arrel.

Incloem aquí l'activitat, perquè creiem que il·lustra de manera excel·lent el tema que estem tractant, però hi ha molts aspectes que caldrà estudiar més a fons en altres mòduls.

• Veureu que l'activitat s'obre a partir d'una petita finestra i apareix automàticament el tauler gràfic sense veure's el codi. Podreu aprendre com desenvolupar aquesta possibilitat en les vostres activitats a l'annex del mòdul 4.
• En el plantejament del codi d'aquesta activitat es fa encara més evident la importància del recurs de la generació de llistes com a auxiliar per a la realització de gràfics. El teniu explicat amb detall en una pràctica del mòdul 4
• Finalment, noteu que s'incorpora la possibilitat de d'escollir un valor numèric interactivament dels del tauler gràfic. En aquest cas, es fa servir per triar l'índex de l'arrel i es fa amb la comanda desplaçador, que s'explica al mòdul 4 i que és una de les novetats de la versió Wiris de 2008.

Ara executeu l'aplicació que presentem. Ben segur que això us motivarà per analitzar el codi quan sigui el moment i us donarà idees per dissenyar les vostres pròpies activitats.