Exercicis
 
 

1. Obriu la figura LLOC3, que representa un triangle inscrit en una circumferència i que té els vèrtexs B i C fixats.
Descriviu el lloc geomètric dels quatre punts notables (baricentre, ortocentre, circumcentre, incentre) del triangle ABC quan A es mou sobre la circumferència. Feu-ho amb tot el detall possible.
Utilitzeu les macroconstruccions de geometria del triangle.
Deseu les figures com XXXX_M71, XXXX_M72 i XXXX_M73, i la descripció en el fitxer de text XXXX_M7.
 

2. Sabeu que la mediatriu d’un segment es pot definir com el lloc geomètric dels punts que equidisten dels extrems. Prepareu una figura que realitzi aquesta definició.
Deseu la figura com XXXX_M74.FIG.
 

3. Investigueu a la bibliografia al vostre abast o bé fent ús de la geometria analítica quins són els resultats d’emprar, anàlogament a la suma i la resta en les definicions de l’el·lipse i la hipèrbola, les altres dues operacions: la multiplicació i la divisió. Poseu els vostres resultats al fitxer de text XXXX_M7.
 

4. Sigui C una circumferència, A un punt d'ella i B un punt interior a C. Feu el lloc geomètric de les mediatrius d'AB quan A es desplaça sobre C. Feu-ho també quan B és exterior a C, i quan C és una recta en lloc d'una circumferència.
Veureu que en cada cas les rectes envolten una figura coneguda. Anoteu quina és al fitxer XXXX_M7 i envieu les tres figures XXXX_M75, XXXX_M76 i XXXX_M77.
 

5. Fa temps que no feu cap macroconstrucció (si heu oblidat com es fan mireu la pràctica 2 del mòdul 2). Prepareu-ne, doncs, una que produeixi la hipèrbola equilàtera determinada per 4 punts (amb les asímptotes en verd, que quedarà millor) i deseu-la com XXXX_HIP_EQUI.MAC
 

6. Si ABC és un triangle i O el seu circumcentre, els quatre punts A, B, C i O determinen una hipèrbola equilàtera. Aquesta hipèrbola passa per un altre punt notable del triangle. Quin? (la resposta a XXXX_M7).

Facultatiu:  Recupereu la macro ISOGONAL del mòdul 3 i construïu amb ella una altra macro PUNT ISOGONAL que per a cada P dóna el punt on es tallen les isogonals de les cevianes de P. Feu la recta d'Euler del triangle (mòdul 3, pràctica 2) i un punt sobre ella. i apliqueu la nova macro PUNT ISOGONAL a punts arbitraris de la recta d'Euler. Observeu.

Aquesta és l'anomenada hipèrbola de Jerabek del triangle.
 

7. Com que 2 punts determinen una recta i 3 no, quan 3 punts decideixen posar-se en una recta és qüestió de celebrar-ho (i si són més encara millor). De la mateixa manera és encantador trobar 4 punts en una circumferència (mòdul 3, pràctica 5) i 5 punts en una hipèrbola equilàtera (ho acabeu de veure).
I 6 punts en una el·lipse? Dibuixeu un triangle ABC i els simètrics d'A, B i C respecte el baricentre: 6 punts. Dibuixeu els punts mitjans dels costats i els seus simètrics respecte el baricentre: 6 punts. No necessiteu res més que la vostra intuïció per acabar la figura XXXX_M78 que mostra les anomenades el·lipses de Steiner del triangle.
 

8. Traceu la càustica d'una circumferència quan el punt C és a l'infinit, és a dir, quan els raigs CX són paral·lels (podeu fer que X es desplaci sobre una recta). La corba que s'obté s'anomena la nefroide.
Deseu-la com XXXX_M79.
 

9. Feu l'ortotòmica d'una circumferència respecte d'un punt i deseu-la com XXXX_M7A.

.