   |
    |
|
|
|
ALGUNES CORBES CLÀSSIQUES
Les corbes obtingudes com a lloc geomètric d’un punt quan un
altre punt d’una configuració es mou sobre una recta o una circumferència
s’anomenen les corbes dinàmiques. Van ser molt estudiades a la geometria
grega però darrerament han caigut en l’oblit. Una mica d’arqueologia
geomètrica, doncs!.
|
||
 |
Activitats
Les còniques són funcions de segon grau. Però també poden obtenir-se com a llocs geomètrics les funcions polinòmiques de grau 3 o superior. La construcció és pràcticament la mateixa per a tots els graus. La podeu veure obrint la figura CUBICA i fent el lloc geomètric de Y quan es desplaça X.
Entreteniu-vos en estudiar la forma de la cúbica y=ax3+bx2+cx+d segons els paràmetres a, b, c i d corresponents als segments a, b, c i d que figuren a la part inferior. Aquest traçador de cúbiques va ser publicat a l'Encyclopèdie
de Diderot (1751) i es podia realitzar físicament com un mecanisme
articulat. Se li va donar el nom de "constructeur universel d'equations".
2. Corbes algebraiques de grau superior A. Les cissoides Obriu la figura CISSOIDES.FIG. Consta d’una circumferència, un
diàmetre, dues rectes perpendiculars al diàmetre, una d'elles
tangent, un punt X que es mou sobre la circumferència, i un punt
P tal que OP = XC.
 B. Les podàries La podària d'una corba respecte d'un punt A és el lloc geomètric de les projeccions del punt A sobre les tangents a la corba. Obriu la figura PODARIA.FIG i feu el lloc de P quan X varia, que serà la podària de la circumferència. En aquest cas s'anomena el cargol de Pascal.
C. Les càustiques La càustica d'una corba respecte d'un punt C és l'envolupant dels raigs reflectits en la corba procedents del punt C. Obriu la figura CAUSTICA.FIG i veureu un raig CX que surt de C i es reflecteix a la circumferència en Y, sortint en forma de semirecta YZ. Poseu les opcions de lloc a 200 objectes i feu el lloc de les semirectes YZ quan X varia.
Quan C és sobre la circumferència la corba s'anomena cardioide. Una variant de la càustica d'una circumferència la construireu
a l'exercici 8.
D. Les ortotòmiques L'ortotòmica d'una corba respecte d'un punt O és
el lloc geomètric del simètric d'O respecte de les tangents
a la corba. Feu-la a l'exercici 9.
3. Els traçadors de rectes Tothom sap que a la geometria euclidiana una recta es fa amb un regle! Però un regle és una eina imperfecta, perquè s'ha de fer amb un altre regle; una circumferència, en canvi, no necessita una altra circumferència per a ser produïda. Per això el problema del traçat d'una recta a partir només d'una circumferència es va plantejar i es va resoldre entre els segles XVIII i XIX. Des d’un punt de vista pràctic, això equival a la conversió d’un moviment circular en rectilini, que era imprescindible per a l’aplicació de les màquines de vapor: per això la primera solució (aproximada) al problema es deu al mateix Watt que va inventar la màquina de vapor. Podeu veure el mecanisme de Watt a la figura WATT.FIG. Manipuleu-la i veureu que P descriu una corba no gaire recta. Potser ajustant les longituds dels segments trobareu una forma millor. El problema no va ser resolt exactament fins a Peaucellier, com a subproducte de la recerca d'un mecanisme que realitzés inversions. El veureu a la figura CELLA.FIG  El mecanisme de Peaucellier consta d’un estel els costats del
qual són dos segments donats, que porta dins un rombe. El punt X
pot girar al voltant d’A. La recta és el lloc geomètric de
P quan X es mou al voltant del punt fix A. Comproveu-ho.
Resum
Comentaris al marge
Una de les corbes més importants i que segurament coneixereu és la cicloide. La cicloide no es pot dibuixar dins de la geometria euclidiana: fer-ho equivaldria a la rectificació de la circumferència i per tant a la quadratura del cercle. Però el seu atractiu és tan gran (se l'ha anomenat l'"Helena de la geometria", en referència al paradigma de bellesa que fou Helena de Troia) que Cabri ha introduït una eina pràcticament només per poder-la fer. És la Transferència de mesures del grup Construccions. Queda completament fora de la geometria euclidiana i del propòsit del curs, però la podeu veure en acció a la figura CICLOIDE.FIG
|
