Investiguem els romboides

Una investigació curiosa a fer amb els hexamants és la de la construcció dels romboides. La investigació té dues fases:

  1. Eliminar els romboides que no es poden fer amb hexamants
  2. Trobar les solucions dels que són possibles
Tots els romboides tenen una quantitat igual de triangles en cada orientació. Per tant aquesta condició de "possibilitat" de construcció" l'acompleixen.

Per poder eliminar ràpidament els romboides ens convé trobar una manera ràpida de calcular la seva àrea en "triangles" per veure si són múltiples de 6 o no.

Intenta practicar el amb uns quants romboides amb un petit test

 
Quins romboides seran possibles i quins no
Els 12 hexamants junts formen una àrea de 72 triangles (6 triangles de cada peça x 12 peces). El romboide més petit que es pot fer és el de la pròpia peça anomenada romboide. És un romboide d'1x4. Hem vist anteriorment també que el romboide de 2x6, tot i ser teòricament possible a la pràctica no ho és.

Ara només ens preocuparem de mirar si són factibles. Després, si ho són, mirarem quins tenen solució i quins no.

De moment podem començar fent una taula de casos amb les diferents possibilitats a partir de la mesura del costat curt. Per construir la taula tindrem en compte:

  • que l'àrea màxima és 72
  • no considerarem els casos de costat 1 perquè tret de l'1x3 no tenen solució
  • tampoc considerarem els casos de costat 2 perquè dels 12 possibles només el de 2x6 té solució

Amb aquestes consideracions obtenim aquests casos per estudiar:

Costat curt

Romboides
3 3x3   3x4   3x5   3x6   3x7   3x8   3x9   3x10   3x11   3x12  
4 4x4   4x5   4x6   4x7   4x8   4x9
5 5x5   5x6   5x7
6 6x6

 

Fem un petit test per eliminar els casos que segur que no es podran fer perquè l'àrea no és múltiple de 6
Construïm els romboides
Ja tenim una llista dels romboides teòricament possibles. Ara cal arremangar-se i fer-los. Però no t'amoïnis. Si algun no té solució ja t'ho direm. L'únic cas que encara no és del tot segur és del romboide de 3x12. Si té solució encara no s'ha trobat. Més aviat es pensa que no en té, però tampoc s'ha demostrat encara.