Resum de les taules
En general podem observar que en tots els casos a partir d'una determinada quantitat es poden fer tots les números amb un salt determinat: cada nombre, cada dos, cada tres...

És convenient fer una taula resum d'aquestes dades.

TAULA 1
TOC BUM A partir de Salt
3 8 14 1
9 15 24 3
5 7 24 1
10 12 40 2
12 15 36 3
10 25 20 5
4 9 24 1
6 8 12 2
14 22 120 2
8 12 8 4
6 9 6 3
5 11 40 1
6 7 30 1

Potser no és mala idea separar els casos en els que el salt és d'un en un (és a dir que es poden fer tots els nombres) dels que tenen un salt diferent.

TAULA 2
Salt d'un en un
TOC BUM A partir de Salt
3 8 14 1
5 7 24 1
4 9 24 1
5 11 40 1
6 7 30 1

 

TAULA 3
Salt més gran
TOC BUM A partir de Salt
9 15 24 3
10 12 40 2
12 15 36 3
10 25 20 5
6 8 12 2
14 22 120 2
8 12 8 4
6 9 6 3

 
Observacions sobre el salt
Si observem la Taula 2 la que conté els casos en els que el salt és d'un en un (3-8, 5-7, 4-9, 5-11, 6-7...) podrem veure que els nombres que fan la parella no tenen divisors comuns, són primers entre si.

En canvi si mirem la Taula 3 podrem observar que el salt coincideix amb el màxim comú divisor dels nombres que fan el TOC i el BUM.

TAULA 3
Salt més gran
TOC BUM Salt mcd (TOC, BUM)
9 15 3 3
10 12 2 2
12 15 3 3
10 25 5 5
6 8 2 2
14 22 2 2
8 12 4 4
6 9 3 3

De fet no hi cap diferència entre les dues taules. Només hem de recordar que el mcd de dos nombres que no tenen divisors comuns és 1.

Per tan la conclusió serà:

Només es poden obtenir aquells nombres que són múltiples del mcd del TOC i el BUM (a partir d'una determinada quantitat)

 

A partir de quan?
Una altra vegada ens convé mirar la taula 2 i la 3 per separat ja que sembla més senzill el cas en els que els nombres són primers entre sí. Si afegim una columna nova podem fer proves de com obtenir el nombre límit.

 

TAULA 2
Salt d'un en un
TOC BUM A partir de Prova
3 8 14 2·7
5 7 24 4·6
4 9 24 3·8
5 11 40 4·10
6 7 30 5·6

Sembla que el nombre límit, en aquests casos es pot calcular amb la següent fórmula:

Límit = (TOC - 1) · (BUM - 1)

Podem provar una cosa semblant amb la taula 3. Si recordem que 1 era el m.c.d quan dos nombres són primers entre sí podem canviar la prova per aquesta fórmula: Límit = (TOC-mcd) · (BUM-mcd)

TAULA 3
Salt més gran
TOC BUM A partir de mcd Proves
9 15 24 3 (9-3)·(15-3)=6·12=72
10 12 40 2 (10-2)·(12-2)=8·10=80
12 15 36 3 9·12=108
10 25 20 5 5·20=100
6 8 12 2 4·6=24
14 22 120 2 12·20=240
8 12 8 4 4·8=32
6 9 6 3 3·6=18

Aquesta vegada no obtenim el mateix nombre. L'hem de "reduir" perquè sempre obtenim un resultat més gran a les nostres proves. Aquesta "reducció" l'aconseguirem, segurament, amb restes o divisions. Per tant ens toca continuar provant una mica més.

Si observem que el nombre que obtenim a les proves sempre és múltiple del límit podem provar per quan s'ha de dividir per obtenir el límit.

TAULA 3
Salt més gran
TOC BUM A partir de mcd Proves
9 15 24 3 72/3 = 24
10 12 40 2 80/2 = 40
12 15 36 3 108/3=36
10 25 20 5 100/5=20
6 8 12 2 24/2=12
14 22 120 2 240/2=120
8 12 8 4 32/4=8
6 9 6 3 18/3=6

Sembla que ja ho tenim: hem de dividir pel mcd (TOC, BUM).

D'aquesta manera obtenim una fórmula general

Tenint en compte que mcm·mcd = a·b és pot transformar aquesta fórmula en una altra d'equivalent:

Límit = mcm (TOC, BUM) + mcd (TOC, BUM) - (TOC+BUM)