Funcions

Integrals

1.

(2009-juny-4) 3. Considereu la funció , amb a > 0.

a) Trobeu els punts de tall de la funció f (x) amb l’eix OX.

b) Comproveu que l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f (x) i l’eix

d’abscisses no depèn del valor del paràmetre a.

[0,5 punts per l’apartat a; 1,5 punts per l’apartat b]

Solució

2.

(2009-juny-4) 5. La gràfica de la funció , des de x = 1 fins a x = 4, és la següent:

a) Calculeu l’equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d’abscissa

x = 1 i x = 3.

b) Dibuixeu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangents

que heu calculat.

c) Trobeu els vèrtexs d’aquest recinte.

d) Calculeu la superfície del recinte damunt dit.

[1 punt per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b; 1 punt per l’apartat c; 1,5 punts per l’apartat d ]

Solució

3.

(2009-juny-3) 2. Considereu les corbes y = 4x – x² i y = x² – 6.

a) Trobeu-ne els punts d’intersecció.

b) Representeu les dues corbes en una mateixa gràfica, on es vegi clarament el

recinte que limiten entre elles.

c) Trobeu l’àrea d’aquest recinte limitat per les dues corbes.

[0,5 punts per l’apartat a; 0,5 punts per l’apartat b; 1 punt per l’apartat c]

Solució

4.

(2009-juny-3) 5. Sigui la funció .

a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta 2x + 3y = 14 és tangent a la gràfica

de la funció f (x) en el punt d’abscissa x = 3.

Per a la resta d’apartats, considereu que a = –3 i que b = 4.

b) Trobeu els intervals de creixement i de decreixement de la funció f (x). Trobeu i

classifiqueu els extrems relatius que té la funció.

c) Calculeu els punts de tall de la funció f (x) amb l’eix OX.

d) Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f (x), l’eix OX i les rectes

x = 1 i x = 3.

[1 punt per l’apartat a; 1 punt per l’apartat b; 0,5 punts per l’apartat c; 1,5 punts per l’apartat d ]

Solució

5.

(2010-juny-1) 5. La gràfica de la funció f (x) = x · sin(x) és la següent:

a) Trobeu-ne una primitiva.

b) Aplicant el resultat de l’apartat anterior, calculeu l’àrea del recinte limitat per la

gràfica de la funció f (x) i l’eix d’abscisses des de x = 0 fins a x = .

[1,5 punts per l'apartat a; 0,5 punts per l'apartat b]

Solució

6.

(2010-juny-5) 6. En la figura es mostra la corba y = x(4 – x) i una recta r que passa per l’origen i talla la corba en un punt P d’abscissa k, amb 0 < k < 4.

a) Trobeu l’àrea ombrejada, delimitada per la corba i la recta, en funció de k.

b) Trobeu per a quin valor de k l’àrea de la regió ombrejada és la meitat de l’àrea

del recinte limitat per la corba i l’eix OX.

[1 punt per apartat]

Solució

7.

(2010-setembre-2) 1. Trobeu les asímptotes de la funció .

[2 punts]

8.

(2010-setembre-2) 5. Sigui . Trobeu l’àrea del recinte limitat per la gràfica d’aquesta funció, l’eix OX i les rectes x = 0 i x = 2.

[2 punts]

Solució

9.

(2011-juny-1) 3. Definim les funcions f (x)=a(1 – x²) i , en què a>0.

a) Comproveu que l’àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és:

b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima.

[1 punt per cada apartat]

Solució

10.

(2011-juny-4) 1. Calculeu l’àrea del recinte limitat per les corbes d’equació f(x)=x²−x+2 i g(x)=5−3x.

[2 punts]

Solució
Solució amb el programa WinFun

11.

(2011-setembre-2) 6. Sigui  per a>0.

a) Comproveu que

b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè la funció f (a) tingui un mínim relatiu.

[1 punt per cada apartat]

Solució