6. Les expressions analítiques

 

6.1 La circumferència

Els punts P d'una circumferència són equidistants del centre C. Per tant,

d(P,C) = R .

Si P=(x,y) i C=(a,b), desenvolupant l'expressió anterior obtenim

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 ,

d'on

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

que és l'equació analítica de la circumferència.

En el cas particular que el centre estigui a l'origen, l'anterior equació es redueix a

x2 + y2 = R2 .

 

6.2 L'el·lipse

Els punts P d'una el·lipse verifiquen que la suma de les distàncies respectives a dos punts F i F' és sempre la mateixa (i més gran que la distància entre focus). Per tant,

d(P,F) + d(P,F') = 2k .

(s'ha adoptat 2k per a la constant per obtenir una expressió final més simple)

Si P=(x,y), F=(a,b) i F'=(c,d), desenvolupant l'expressió anterior obtenim

[ (x – a)2 + (y – b)2 ]1/2 + [ (x – c)2 + (y – d)2 ]1/2 = 2k .

Desenvolupant aquesta igualtat i reagrupant termes, arribem (no de forma immediata) a:

4[(a – c)2 – 4k2] x2 + 4[(b – d)2 – 4k2] y2 + 8(a – c)(b – d) xy + 4(a – c)( – a2 – b2+c2+d2) x
+ 4(b – d)( – a2 – b2+c2+d2) y + 16k4 – 8k2(a2+b2+c2+d2) + (a2+b2 – c2 – d2)2 = 0 ,

que és l'equació analítica de l'el·lipse.

En el cas particular que els focus estiguin sobre l'eix x i centrats (és a dir, a=f, b=d=0 i c= – f), l'anterior equació es redueix a

x2 / k2 + y2 / (k2 – f2) = 1.

(interpretem ara el significat de k i de k² – f²?)

 

6.3 La paràbola

Els punts P d'una paràbola equidisten d'un punt F i d'una recta r. Per tant,

d(P,F) = d(P,r) .

Si P=(x,y), F=(a,b) i r: Ax+By+C=0, desenvolupant l'expressió anterior obtenim

[(x – a)2 + (y – b)2]1/2 = |Ax+By+C| .

Els coeficients de la recta han sigut normalitzats, és a dir, hem escollit aquells que A2+B2=1. Desenvolupant els quadrats i reagrupant termes arribem a

B2 x2 + A2 y2 – 2AB xy – 2(AC+a) x – 2(BC+b) y + a2 + b2 – C2 = 0 ,

que és l'equació analítica de la paràbola.

En el cas particular que la recta sigui horitzontal (és a dir, A=0 i B=1) i el focus F estigui sobre l'eix y (és a dir, a=0), l'anterior equació es redueix a

y = x2 / 2(b+C) + (b – C)/2.

 

6.4 La hipèrbola

Els punts P d'una hipèrbola verifiquen que la diferència de les distàncies respectives a dos punts F i F' és sempre la mateixa (i més petita que la distància entre focus). Per tant,

|d(P,F) – d(P,F')| = 2k .

(igial que en el cas de l'el·lipse, s'ha adoptat 2k per a la constant per obtenir una expressió final més simple)

Si P=(x,y), F=(a,b) i F'=(c,d), desenvolupant l'expressió anterior obtenim la mateixa expressió formal que en el cas de l'el·lipse

4[(a – c)2 – 4k2] x2 + 4[(b – d)2 – 4k2] y2 + 8(a – c)(b – d) xy + 4(a – c)( – a2 – b2+c2+d2) x
+ 4(b – d)( – a2 – b2+c2+d2) y + 16k4 – 8k2(a2+b2+c2+d2) + (a2+b2 – c2 – d2)2 = 0 ,

que és l'equació analítica de la hipèrbola.

En el cas particular que els focus estiguin sobre l'eix x i centrats (és a dir, a=f, b=d=0 i c= – f), l'anterior equació es redueix a

x2 / k2 – y2 / (f2 – k2) = 1.

(interpretem ara el significat de k i de k² – f²?)

 

 

 

 

 

Les imatges de les seccions còniques s'han creat amb el programa POVRAY. Les altres s'han creat amb el programa gnuplot.

 

 

Copyright © Jaume Serra Nogués, 2006.
Teniu permís per a copiar, distribuir i/o modificar aquest document en les condicions de la Llicència de Documentació Lliure del GNU, versió 1.1 o qualsevol versió posterior publicada per la Fundació per al Programari Lliure (Free Software Foundation), http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html.