Donat un triangle qualsevol es consideren triangles equilàters externs sobre cada un dels costats. Ara unim cada vèrtex extern dels triangles equilàters amb el vèrtex oposat al costat sobre el que està construït. Els tres segments són concurrents i a més formen 6 angles de 60o.[punt de Fermat]

El punt de Fermat soluciona el problema de la xarxa de carreteres mínima entre tres ciutats. Això sempre que el triangle tingui tots els angles inferiors a 120º, en cas contrari, si l'angle A-B-C supera o iguala els 120º, la xarxa mínima és la línia A-B-C

Raonament

Observant amb el Cabri veiem que si el trianglea ABC té algun angle superior o igual a 120º el punt de Fermat construit no està dintre del triangle ABC.

Considerem un triangle A-B-C de manera que l'angle A-B-C sigui superior o igual a 120º. En aquest cas la xarxa mínima és la línia A-B-C. Perquè?

Suposant que l'anterior afirmació és certa, el cas general és fàcil de raonar. Considerem un punt P interior al triangle i l'unim amb A, B, C i F (Fermat). Cal provar que PA+PB+PC>FA+FB+FC
Suposem que PC talla a FC en Q (si no tallaria a FA i seguiriem el raonament canviant el que calgui). Tenim PA+PB+PC=AQ+QP+PB+PC, per la desigualtat triangular, tenim que QP>=QF+FQ i així la suma anterior és més gran o igual que AQ+QF+FP+PB+PC, els dos primers sumands són més grans que FA, per la desigualtat triangular, i els altres tres són més grans que FC+FB, per l'afirmació que suposem certa.

Llista de Problemes