Com podem trobar les solucions d'un sistema gràficament?
Resoldre un sistema vol dir trobar totes les solucions possibles del sistema. Això
es pot fer de diferents maneres, fins i tot anar provant, és a dir per
tempteig. Però ara ens concentrarem en el mètode gràfic.
Hem vist abans que la representació gràfica d'una equació lineal amb dues incógnites és una recta en el pla de coordenades. Això significa que
cada punt sobre la recta és una solució de l'equació.
Ara tenim un
sistema de dues equacions lineals i volem trobar punts que siguin solució a la
vegada de cada equació del sistema, és a dir punts que pertanyen a la
vegada a les dues rectes.
Primer de tot representarem gràficament cada equació en uns mateixos
eixos de coordenades
On són els punts-solució? Qualsevol sistema té solució? Quantes solucions pot tenir un sistema d'equacions lineal amb dues incògnites?
Els punts-solució són els punts comuns a les dues rectes, és a dir els punts de tall de les dues rectes.
a) Si les gràfiques de les equacions són rectes secants, tindrem un únic punt de tall i per tant tindrem una única solució del sistema que expressarem com una parella (x,y) o com dos valors, un valor per a cada incògnita, però serà una única solució. Direm que és un sistema compatible determinat.
b) Si les gràfiques de les equacions són rectes paral·leles, no tindrem cap punt de tall. Això vol dir que el sistema d'equacions no té solució. Direm que és tracta d'un sistema incompatible.
c) Si les gràfiques són dues rectes coïncidents (una sobre l'altra, iguals), qualsevol punt d'aquesta única recta serà una solució del sistema. El sistema en realitat equival a una sola equació. En aquest cas té infinites solucions, com ja hem vist per a les equacions lineals amb dues incògnites. En aquest cas direm que tenim un sistema compatible indeterminat.
Resoleu gràficament quatre sistemes d'equacions
Utilitzeu la finestra interactiva següent per obtenir quatre sistemes d'equacions diferents.
Moveu els punts lliscants a, b i c per canviar l'equació de color vermell i els punts lliscants a2, b2 i c2 per canviar l'equació de color blau.
Copieu a la vostra llibreta els quatre sistemes d'equacions, cada un amb la seva gràfica i les seves taules de valors. Indiqueu en cada cas quina és la solució del sistema, si té solució.
Com podem trobar les solucions d'un sistema gràficament?
Resoleu gràficament quatre sistemes d'equacions