Enllaços

Demostració.
Demostrar una proposició és mostrar que és tautològica partint de demostracions prèviament demostrades. Les proposicions prèvies són al seu torn deduïdes de proposicions anteriors i així, fent cadena enrera ens trobem que hi ha d’haver unes primeres proposicions que no siguin deduïbles, el que en direm proposicions primeres o primers principis: definicions, postulats i axiomes.

Derivació d’un enunciat, mitjançant l’aplicació d’unes determinades regles lògiques, a partir d’uns altres enunciats, dits premisses de la demostració. Qualsevol cadena de demostracions ha d’arrencar d’un conjunt finit de premisses no demostrables, els axiomes. Aquest conjunt és anomenat el sistema dels axiomes de la teoria deductiva, i els enunciats que són demostrats a partir dels axiomes s’anomenen teoremes.

Definicions:
La definició empírica és una descripció, una explicació (el que hi ha al món). La definició matemàtica és un model, una invenció.

Postulats:
Etimològicament, postular vol dir demanar, implorar, sol·licitar. Els postulats són les proposicions indemostrables que el matemàtic invoca. Els postulats no es poden demostrar: es pressuposen, s’acorden. Així, Èuclides, per demostrar una proposició, demana que es vulgui acceptar que per un punt fora d’una recta en un pla, només s’hi pot traçar una paral·lela.

S’havia cregut que els postulats eren constants de l’experiència fins que l’aparició de les geometries no euclidianes va mostrar que no era així. En la geometria no euclidiana per un punt exterior a una recta es poden traçar moltes paral·leles.

Els postulats, doncs, són regles operatòries, esquemes per operar. Els postulats són proposicions indemostrables i cada domini matemàtic té els que li són propis.

Proposició fonamental d’un sistema deductiu que ni és evident ni hom ho pot demostrar. Tradicionalment el postulat era contraposat a l’axioma i pel fet de no ser evident ni universalment acceptat; i al teorema, pel fet de no ser demostrable. Actualment, hom assimila el postulat a l’axioma.

Axiomes:
Els axiomes, a diferència dels postulats, representen exigència lògica. Es tracta d’enunciats evidents que s’imposen a qualsevol operació mental: “El tot és més gran que les parts” (Actualment en discussió).

Avui els axiomes són considerats també com a regles operatòries que delimiten certs camps d’operacions possibles. Ja no són unes primeres veritats camps d’operacions possibles. Ja no són unes primeres veritats evidents, han esdevingut proposicions que no es dedueixen de cap altra i que es prenen a l’inici d’una deducció. Han passat de ser evidències absolutes, natures simples, tal com van ser concebudes per Aristòtil o Descartes, a ser convencions operatòries i, per tant, les proposicions que se’n dedueixen perden també el caràcter de veritats absolutes.

(Els postulats són proposicions indemostrables que el matemàtic invoca. Els axiomes són enunciats evidents que s’imposen a qualsevol operació mental).

Proposició que hom admet sense demostració com a punt de partida d’una teoria o ciència. Per Aristòtil, i fins a l’època moderna, els axiomes eren els principis evidents i irreductibles que constitueixen els fonaments d’una ciència. Actualment, els axiomes són els enunciats primitius acceptats com a vàlids, sense provar-ne la veritat, dels quals deriven altres proposicions que s’organitzen en un sistema.