PRÀCTICA

 

ELS ALTRES MOVIMENTS


Hi ha més transformacions geomètriques que els moviments directes. Les primeres, per ordre de complexitat, són els moviments inversos, les homotècies i les semblances. De totes elles tracta aquesta pràctica. Més enllà se situen les inversions, que ja s'han tractat a la pràctica 5 del mòdul 5.

 

Activitats


1. La simetria

Ja coneixeu suficientment la simetria respecte d’una recta. Repasseu, si de cas, la pràctica 5 del mòdul  2 

En una simetria els segments homòlegs són iguals i no paral·lels, els angles homòlegs són iguals i les figures homòlogues, tot i tenir costats i angles iguals, no es poden superposar. Direm que són inversament iguals, i que la simetria és un moviment invers.

Per estudiar la composició de simetries amb eixos paral·lels r i s obriu la figura COMPSIM1.FIG.
Feu amb B les mateixes transformacions que s’han fet amb A, i obtindreu B' i B''. Compareu els segments AB i A'‘B’'. Quina transformació passa d'AB a A'‘B'‘? Què podeu dir dels seus elements constituents?

Per estudiar el cas d’eixos no paral·lels obriu la figura COMPSIM2.FIG i  procediu de forma anàloga. Quina transformació passa d'AB a A'‘B'‘? Què podeu dir dels seus elements constituents?
 

2. La simetria lliscant

La composició d’una simetria amb una translació és un moviment invers, però no és una simetria. En cas que la direcció de la translació sigui paral·lela a l’eix de la simetria, s’anomena una simetria lliscant.

Obriu la figura LLISCANT.FIG i manipuleu-la. Veureu de seguida que ABC i A”B”C” són dues figures inversament iguals.
 

Feu els punts mitjans entre A i A”, entre B i B” i entre C i C”. Observareu un resultat peculiar sobre la posició d’aquests tres punts.

Una propietat molt important i també molt poc coneguda diu que això és veritat per a qualsevol parell de figures inversament iguals.

Comproveu-ho amb la figura INVIGUAL.FIG.
Els punts mitjans entre els punts homòlegs de dues figures inversament iguals estan alineats.

Exercici 5 

La conclusió de l’exercici és clara, oi?
 

No hi ha més moviments inversos que les simetries i les simetries lliscants

 

3. L'homotècia

A la pràctica 2 del mòdul 5 s’ha treballat amb figures semblants, ja sigui directament semblants o inversament semblants. Els polígons semblants tenen els angles iguals i els costats proporcionals.

La transformació del pla que converteix una figura en una figura semblant s’anomena una semblança. Hi ha semblances directes i semblances inverses.

La més senzilla de les semblances directes és l’homotècia.

Obriu la figura HOMOT1.FIG. Comproveu que els quadrilàters ABCD i A’B’C’D’ són semblants.
Comproveu que els costats homòlegs són paral·lels.
Traceu la recta A i A’. Feu el mateix per cada parell de vèrtexs homòlegs. 

 

   

Una homotècia amb centre O és una transformació del pla tal  
que si A es transforma en A’ i B en B’, els segments AB i A’B’
són paral·lels i O, A, A’ estan alineats i també O, B i B’.

Els segments homòlegs en una homotècia són proporcionals i la raó de proporcionalitat s’anomena raó d’homotècia.

Per efectuar una homotècia amb Cabri disposeu de l'eina Homotècia del grup Transformacions

El funcionament d'aquesta eina deriva de la propietat fonamental:
 

Una homotècia ve determinada pel seu centre i la seva raó d'homotècia. 

El Cabri requereix la presència de la raó d'homotècia mitjançant el seu valor numèric, creat com abans amb l'eina Edició numèrica del grup Aspecte. Activeu-la i escriviu en el quadre el valor que vulgueu i que serà la raó d'homotècia.

Un cop tingueu el centre i aquest valor numèric, podeu "inflar" o "desinflar" qualsevol objecte. Per practicar, obriu la figura HOMOT2.FIG i encongiu d'acord amb la raó donada i respecte el centre O tots els objectes presents a la figura. Cal que feu clic primer a l'objecte, després a la raó i finalment al centre.

La construcció euclidiana (amb regle i compàs) d'una homotècia requereix només mantenir l’alineació dels punts homòlegs respecte del centre i el paral·lelisme dels costats homòlegs. La fareu com Exercici 6 
 

4. La semblança

Una semblança és la composició d’una homotècia amb un moviment.  La semblança és directa o inversa segons que ho sigui el moviment.

Una semblança directa ve determinada per dos parells de punts homòlegs A,B i A',B' quan els segments AB i A'B' no són ni iguals ni paral·lels. Aquesta semblança té infinites descomposicions en producte d’un gir per una homotècia, però només una en la qual el gir i l'homotècia tinguin el mateix centre. Aquest punt s’anomena el centre de la semblança.

Per construir-lo obriu la figura SEMBLANT. Hi veureu dos segments que no són ni iguals ni paral·lels, i que determinen una semblança.

Traceu les rectes AB i A’B’ i anomeneu O la seva intersecció. Traceu les circumferències que passen respectivament per O,A,A’ i per O,B,B’. Sigui P la segona intersecció d’aquestes circumferències. P és el centre de semblança.

 
Per comprovar-ho gireu A al voltant de P fins obtenir un punt A’’ alineat amb P i A’ (no heu de fer cap gir, només tallar PA' amb la circumferència de centre P que passa per A). Mesureu l’angle de gir. Feu el mateix amb B. Comproveu que els angles de gir són iguals.
Comproveu finalment que el pas d’A’’ a A’ i de B’’ a B’ és una homotècia. 
 
 
 

Resum

       
      En aquesta pràctica heu d'aprendre:

      (A) El resultat de la composició de simetries

      (B) El concepte de simetria lliscant

      (C) L'abast del conjunt de moviments inversos.

      (D) Les propietats i determinació de les homotècies.

      (E) La construcció de les homotècies.