Les transformacions geomètriques més conegudes es tracten en el mòdul 6. Aquesta pràctica es dedica a un tipus de transformacions més generals: les inversions. Tot i que és difícil captar visualment les relacions d’inversió, són molt útils en la resolució de problemes geomètrics.

Activitats

1. Els punts inversos

Obriu la figura INVERS. Els punts A i A’ són inversos respecte de la circumferència.

Observeu la figura i fixeu-vos com podeu traçar A’ a partir d’A. S’han de fer les tangents per A a la circumferència, unir els punts de tangència i fer la intersecció d’aquest segment amb la recta que uneix A i el centre.

Penseu ara com heu de procedir per obtenir A a partir d’A’.

Els triangles OPA’ i OPA són semblants. Completant la proporció es té  d’on, anomenant r el radi de la circumferència, trobareu la caracterització mètrica dels punts inversos: OA·OA’ = r²
 

Reconeixereu de seguida que la recta PQ és la polar del punt A respecte la circumferència. És a dir, la polar d'un punt P respecte una circumferència de centre O talla OP perpendicularment en el punt Q invers de P respecte la circumferència.

Cabri-Géomètre us permet obtenir el punt invers d'un altre amb l'eina Inversió del grup Transformacions. Proveu-la.
 

2. Inversió de rectes i de circumferències

L'eina Inversió només permet invertir punts. Per tal d'invertir una recta, obriu la figura INVERS2.FIG i invertiu els tres punts A, B i C. Traceu la circumferència que passa pels tres inversos.

Desplaceu la recta (el punt x us ajudarà a moure-la) i estudieu quina és la inversa d'una recta. Estudieu en particular els casos en què és tangent a la circumferència o en què passa pel seu centre.

D'ara endavant podeu emprar la macro INVERSIÓ_RECTA.MAC.

Quant a la inversió d'una circumferència, obriu la figura INVERS3.FIG i invertiu els tres punts A, B i C. Traceu la circumferència que passa pels tres inversos.

Desplaceu la circumferència on hi ha els tres punts i estudieu quina és la inversa d'una circumferència. Estudieu en particular el casos en què passa pel centre de la circumferència d'inversió.

D'ara endavant podeu emprar la macro INVERSIÓ_CIRCUMFERÈNCIA.MAC.
 
 

3. Propietats de les inversions

Entre les propietats de les inversions es poden citar i comprovar:

• Una circumferència que no passa pel centre d'inversió i la seva inversa són homotètiques respecte el centre d'inversió (es pot veure traçant les tangents exteriors comunes)
• Si una circumferència passa per un punt i el seu invers, és invariant per la inversió
• Dos punts i els seus inversos formen un grup de quatre punts concíclics
• Una circumferència ortogonal a la circumferència d'inversió és invariant per la inversió
• Les inversions conserven els angles (la comprovació d'aquesta propietat serà l'Exercici 11)

La inversió és molt popular en el món de les construccions geomètriques. No és estrany: a vegades pot substituir la construcció d’una circumferència per la d’una recta, que sempre és més lleugera. 

A continuació en treballareu un exemple: la resolució del problema de Soddy.

Obriu SODDY.FIG. El problema de Soddy consisteix en encaixar una circumferència entre c1, c2 i c3, i que sigui tangent a les tres.

La idea és transformar les tres circumferències per una inversió que converteixi dues d'elles en rectes paral·leles; llavors només caldrà buscar una circumferència tangent a dues rectes paral·leles i a una tercera circumferència que també ho és.

Seguiu els passos:

1) Traceu una circumferència qualsevol d de centre X
2) Invertiu respecte d les tres c1, c2 i c3; obtindreu dues rectes paral·leles r1 i r2, i una circumferència c4 tangent a les dues
Advertiment: el programa considera r1 i r2 com a circumferències; potser us caldrà superposar rectes dibuixades prenent dos punts en cada una
3) Ara traceu una nova circumferència c5 tangent a r1, r2 i c4 (això és elemental)
4) Reinvertiu c5 respecte d.

I a veure si us queda una figura com aquesta!

Resum

 

En aquesta pràctica heu d'aprendre: (A) El concepte de punts inversos i la forma de construir-los  (B) El resultat d'aplicar la inversió a rectes i a circumferències (C) La utilització de la inversió per simplificar problemes geomètrics.