La característica d'Euler

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

José Luis Álvarez García y Rafael Losada Liste, Creat amb GeoGebra


Icona iDevice Activitat d'exploració: descobriment d ela característica d'Euler
Podeu utilitzar l'aplicació anterior o podeu construir els cinc sòlids platònics amb matetial. L'objectiu és comptar i comprovar quin és el nombre de cares (C), el nombre d'arestes (A) i el nombre de vèrtex (V) i veure que hi ha una relació entre aquests nombres.

Aquesta relació que descobrireu es diu la relació d'Euler, una propietat topològica que ens permet explicar alguns dels misteris dels poliedres.

Feu un esquema de cada un dels sòlids platònics amb el seu nom i contesteu les següents preguntes a la vostra llibreta o en el full de treball full1-euler.pdf.

Al final d'aquesta pàgina trobareu dos enigmes que es poden resoldre utilitzant la característica d'Euler. Atreviu-vos a resoldre'ls!

  1. Quins polígons regulars formen les cares dels cinc sòlids platònics? , i .

  2. Només en un dels cinc poliedres regulars coincideixen dos dels tres nombres bàsics (C, A, V) en quin d'ells? Quins nombres coincideixen? i .

  3. Hi ha parelles de cossos que tenen els nombres de cares i vèrtex intercanviats. Quines parelles són, per ordre del número de cares? i - i .

  4. Mostreu només els elements del cub i de l'octàedre. Gireu i tombeu els cosos amb els punts lliscants per fer les comprovacions que calguin.
    On se situen els vèrtex de l'octàedre, respecte les cares del cub? En el punt . On se situen els vèrtex del cub, respecte les cares de l'octàedre? En el punt .

  5. Mostreu només els elements del dodecàedre i de l'icosàedre. Gireu i tombeu els cosos amb els punts lliscants per fer les comprovacions que calguin.
    On se situen els vèrtex del dodecàedre, respecte les cares de l'icosàedre? En el punt . On se situen els vèrtex de l'icosàedre, respecte les cares del dodecàedre? En el punt

  6. Quantes arestes arriben a cada un dels vèrtex de cada poliedre? Tetràedre: Cub: Octàedre: Dodecàedre: Icosàedre:

  7. Per cada poliedre regular, sumeu el nombre de cares i el nombre de vèrtex i resteu el nombre d'arestes. El resultat és el mateix per a cada poliedre! Quin és el resultat? C+V-A = . Aquest resultat s'anomena .

  8. Calculeu la característica d'Euler d'un parell de prismes amb diferens bases i d'un parell de piràmides també diferents. Comproveu que obteniu el mateix resultat que per als poliedres regulars.

  

CARACTERÍSTICA D'EULER: Cares+Vèrtex-Arestes

La característica d'Euler és igual a 2 per a tots els poliedres amb topologia esfèrica (que es podrien deformar fins una esfera, si els poguéssim inflar).

C-V+A=2

Icona iDevice Per què no es pot fer una pilota de futbol només amb hexàgons?
Haureu observat que la pilota de futbol té hexàgons i pentàgons en el seu disseny:

la pilota de fútbol

Es podria dissenyar una pilota de futbol només amb hexàgons? Per què?

Icona iDevice Per què no hi ha més de cinc poliedres regulars?
Hi pot haver algun altre poliedre regular diferent dels cinc sòlids platònics?

 

Suggeriments per començar a treballar aquest enigma:

1) Per què les cares dels poliedres regulars només poden ser triangles, quadrats o pentàgons?

2) Per cada figura (triangle, quadrat o pentàgon) trobeu el nombre de cares que pot tenir un poliedre regular amb cares iguals a aquesta figura.

« Anterior | Següent »

Llicenciat sota la Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.5 License

Cossos Geomètrics