M˛dul 5
La calculadora Wiris com a recurs didÓctic
Enrera Pràctica
1
2
3
4
5
6
 
 
   
Exercicis
Exercicis
 
 
Geometria analítica de l'espai

 

 

En la pràctica 2 del mòdul 4 ja vam donar unes idees bàsiques dels recursos de què disposem amb la Wiris pel que fa a la geometria de l'espai. En concret vam veure la construcció de determinades figures i vam reflexionar sobre la forma de presentar els gràfics en tres dimensions.

En aquesta pràctica continuarem amb l'estudi de la geometria de l'espai però ara posarem l'èmfasi en l'enfocament que hi dóna la geometria analítica. Un tema, doncs, que enllaça amb els continguts del darrer curs del batxillerat i que no es pot considerar, en absolut, imprescindible per al bon seguiment del curs D112.

   
Nou Apartat Geometria analítica de l'espai i visualització amb la Wiris
   
 

Convé que investigueu (o que consulteu al manual) l'acció de les icones disponibles a la carpeta per a la geometria analítica de les varietats lineals:

  • icones per a definir o construir punts, rectes, plans
  • icones per a trobar el resultat de procediments geomètrics; calcular una recta paral·lela a una altra; o un pla perpendicular a una recta; o una recta perpendicular a un pla; etc.
                                  

És important reprendre la reflexió sobre la manera de presnetar els gràfics en la Wiris. Recordem-ho: "només allò que es veu dintre del cub de representació".

Repetim una idea que ja hem donat en el mòdul 4. Oi que a la pissarra quan heu de representar un pla ho feu així:?

 

En canvi ja hem vist que la Wiris pot mostrar un pla de maneres ben diferents. Per exemple aquestes:

Tres aspectes que ens pot oferir la representació d'un pla

 

 

Per mostrar dos plans paral·lels o tres plans que es tallen en una recta sovint es fa així:

Tanmateix la necessitat inherent a un programa informàtic de realitzar els gràfics 3D seguint el rigor de la perspectiva i d'assenyalar un element referencial (ja s'ha comentat que els autors de la Wiris han triat un cub) pot fer que no se'ns mostri tan intuïtivament. Vegeu-ho:

Dos punts de vista diferents dels plans x+2y+z=20 i x+2y+z=30

Dos punts de vista diferents de tres plans que es tallen en una recta,
x+2y+3z=8, x+y=2, 2x+3y+3z=10

 

   
Finestra Activa

Després d'aquestes reflexions que caldrà tenir ben presents sempre que es facin dibuixos de rectes i plans passem a veure com cal treballar en la geometria analítica. Adjuntem exemples en una finestra activa que podeu obrir, com és habitual, amb la icona de l'esquerra.

Entre altres objectius, un dels que esperem aconseguir és incitar els lectors i les lectores a consultar adequadament la Guia Ràpida i l'Índex Alfabètic (les dues parts del Manual del programa). Tanmateix potser trobareu a faltar algunes explicacions en el manual i per això, tot seguit, comentem alguns aspectes del codi de la finestra activa anterior centrant-nos en les idees analítiques i la utilitat (i alguna anomalía) de les icones de la carpeta

   
  En el primer bloc de comandes es calcula la recta R perpendicular a un pla P que passa per un punt donat, A.
 
 
  • Els plans, internament, sempre es redueixen a la forma d'una equació lineal igualada a 0.
  • Les rectes s'obtenen com a intersecció de dos plans.
  • Podem conèixer els elements definidors de la recta? És clar que sí. Podíem haver afegit:

    i així hauríem obtingut un vector director de la recta (en aquest cas el dóna unitari perquè segurament així l'ha emprat el programa per a construir la recta) i un punt de la recta (en aquest cas, el que ha servit per definir-la)

  En l'últim bloc de comandes es resol un problema en certa manera invers a l'anterior. Prenent com a dada la recta R (la solució d'abans) calcular el pla perpendicular a la recta que passa pel punt A.
 
 
  • Per entrar la recta NO serveix la mateixa sintaxi amb la qual ens la retorna el programa i tampoc no la podem entrar com una llista vertical.
  • Si en aquest cas demanem el vector director i un punt d ela recta no ens dóna els mateixos que abans. Com que això no és unívoc depèn de com el progrma aha construït en cada cas la recta.
  • Quina relació hi haurà entre aquest pla i el P que havíem pres abans?
    Tot i que ja ho sabem veure "a ull"...
   
 

Hem pogut observar que la mateixa comanda perpendicular(figura,punt) ens ha servit per obtenir la recta perpendicular a un pla i el pla perpendicular a una recta.

  • Per aquesta comanda el manual dóna preferència a l'opció en plural, perpendiculars, i indica que es pot obtenir equivalentement amb les dues icones .
    Tot i que quan les cridem obtenim com a indicació
    en realitat la comanda només funciona quan el segon argument és un punt.
  • No hi ha cap comanda per obtenir una recta que passi per un punt i sigui perpendicular i talli a una altra recta donada. Tampoc per obtenir un pla perpendicular a un altre que passi per un pun (encara que això sigui el que pot donar a entendre la icona)... i en aquesta situació, a més, caldria afegir que compleixi alguna altra condició per fer que la resposta sigui unívoca.
  • Una mica més de reflexió sobre els gràfics 3D aprofitant l'exemple que acabem de comentar. A la finestra activa el teniu escrit perquè s'actualizi interactivament: movent el punt sempre "veurem" el pla perpendicular a la recta donada que passi per aquell punt.
    Ho hem fet i ens hem trobat amb aquest gràfic que és el que ens ha fet escriure "veurem", així, entre cometes:
                      
    El pla vermell és, realment, un pla perpendicular a la recta verda que passa pel punt negre?
    La resposta és que sí. Només veiem la part de recta i la part de pla que queden dintre dle cub de representació però en canvi el punt (que en quedaria fora) sí que es dibuixa.

    Per confirmar-ho hem fet un zoom de la representació. I hem trobat això que ja dóna a entendre que, efectivament, el pla vermell és un pla perpendicular a la recta verda que passa pel punt negre (que ara ja es veu dintre del cub, igual que el rètol podeu moure el punt)
                            
   
   
Nou Apartat Més comandes per a rectes i plans en la geometria 3D
   
 

Encara que no les hem utilitzat a la finestra d'exemple anterior, convé que investigueu sobre les comandes per al paral·lelisme.

                           

  • En els pop-ups que apareixen elprocediment es designa com Paral·lel o Paral·lel 3D. En canvi la comanda apareix com parallella, però també es pot fer servir parallel. (No es pot fer servir la ela geminada en les comandes perquè el punt volat és el signe de multiplicar en la Wiris)
  • Com que la comanda és exactament la mateixa podem fer servir indistintament una o l'altra per definir la paral·lela a una recta (tant en el pla com a l'espai) o a un pla de l'espai. I ho podem fer en el mateix bloc d ecomandes, sense que faci falta especificar l'"estat de la geometria" (2D o 3D) que només és imprescindible per als gràfics.
   
 

Naturalment, també podem construir rectes i plans a partir dels seus elements destacats.
Vegem primer de tot què podem fer amb les icones :

                                              

  • Podem obtenir una recta a partir de dos punts que la defineixen. Tot i que la icona està just al costat de serveix tant per a rectes del pla com per a les de l'espai.
  • Podem obtenir un pla a partir de tres punts que el definieixen (és ben cert que la icona, en aquest cas, no és gaire afortunada)

Ara bé, amb les mateixes comandes tenim moltes altres possibilitats, que convé que investigueu al manual i que les experimenteu. Les fonamentals en la geometria 3D són les que mostrem en la imatge següent:

                               

   
 

Entre d'altres que podeu investigar, també tenim la comanda distància.

  • En la geometria plana permet calcular la distància entre dos punts, o entre un punt i una recta (que es poden passar com a arguments en l'ordre indicat o a l'inrevès) o entre dues rectes paral·leles (tot i que el manual no explica aquesta possibilitat)
  • A l'espai també ens permet obtenir la distància entre dos punts o entre un punt i una recta i, a més, entre un punt i un pla, entre dues rectes, entre dos plans o bé entre una recta i un pla (que naturalment donaran 0 si les dues figures tenen punts en comú).

En principi a la Wiris no hi ha comandes encaminades a presentar l'equació d'una recta o d'un pla de maneres diverses i, en concret, no està previst escriure la recta "en forma contínua". Tanmateix, com podeu veure en una ampliació Finestra Activa la resolució de sistemes ens ajuda en aquesta tasca.

   
Nou Apartat Tenen ortocentre els tetràedres?
   
 

En el pas de la geometria 2D a la geometria 3D es pot dir, d'alguna manera, que el rol del triangle el passa a desenvolupar el tetràedre. Però a la Wiris no tenim cap comanda per definir un tetràedre no regular... potser perquè la geometria del tetràedre no es tan coneguda com la del triangle.

En la pràctica anterior vam treballar amb l'ortocentre del triangle; ara mirarem si ho podem generalitzar per al tetràedre i deixem com a possible exercici 6 l'estudi del baricentre del tetràedre.

   
Finestra Activa
  • Treballarem amb un tetràedre ABCD definit per quatre punts de l'espai, no coplanaris. A, B, C, D són el vèrtexs. Els triangles ABC, ABD, BCD, ACD són les cares del tetràedre.
  • Anomenarem altures del tetràedre les rectes que passen per un vèrtex i són perpendiculars al pla determinat per la cara oposada.
  • Les quatre altures del tetràedre, són quatre rectes concurrents totes elles en un mateix punt, que seria l'ortocentre del tetràedre?

Amb l'activitat Wiris que s'obre amb la icona de l'esquerra podreu constatar que no sempre existeix ortocentre d'un tetràedre. Veureu una activitat comentada que us proposem d'estudiar.

Si a algú l'interessa el tema pot analitzar-lo amb tot detall a SCM/Notícies, número 6, pàgines 17-ss on es va publicar el resum d'un treball voluntari de recerca, "Traient suc d'un tetràedre", elaborat l'any 1983 per un grup de cinc alumnes de COU de l'Institut de Tortosa que va obtenir un premi CIRIT.

 

 
 
Una imatge de l'activitat de l'ortocentre del tetràedre.
Està proposada amb uns punts que configuren un tetràedre que sí que té ortocentre.
Però si canvieu els punts per uns altres el més segur és que defineixin un tetràedre no ortocèntric.
 

En l'activitat que acabeu de veure hi ha incorporada una llibreria. A la darrera pràctica del curs, la pràctica 6 del mòdul 7, s'explica amb tot detall el tema, que no és pas fonamental en l'activitat que ara ens ocupa.

   
 
Amunt