A la primera pràctica d'aquest mòdul es donen a conèixer possibilitats diverses de fer simulacions amb ordinador per a una aproximació didàctica a la llei empírica de l'atzar i el concepte de probabilitat d'un esdeveniment.
 

• Idees per a la realització personal de simulacions amb l'Excel.
• Presentació d'una aplicació ja elaborada amb tots els recursos del programa Excel.
• Enllaç a unes MUD del projecte interm@tes (al portal edu365.com).

Per començar a fer simulacions, convé comentar que l'Excel incorpora una funció ALEATORIO que permet assignar valors aleatòriament a una o més cel·les, però si es fa servir aquesta funció, cada vegada que es recalcula canvien els valors aleatoris i aquest fet fa difícil seguir una construcció pas per pas. Per aquesta raó, s'aconsella, a l'hora de fer simulacions, l'opció Herramientas | Análisis de datos | Generación de números aleatorios.

Tot seguit s'explica una manera de generar el gràfic que fa visual la llei empírica de l'atzar per al nombre de 6 observats quan es tira successivament un dau i s'aprofita per comentar altres aspectes. Llavors un dels exercicis que haureu d'enviar serà anàleg a aquest.

• Obriu un llibre nou de l'Excel i anomeneu un dels fulls Dau.
• A la columna A poseu el rètol Valors i seguidament els nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 (valors que es poden observar quan tirem un dau).
• A la columna B poseu el rètol Probabilitats. Com que suposem que el dau és equilibrat, a la casella B2 poseu =1/6 (alerta amb l'igual!) i copieu aquesta fórmula a la resta del rang B2:B7. Alternativament, i potser preferiblement, podeu definir les cel·les B2:B7 amb Formato | Celdas | Número | Número (triant adequadament amb quants decimals voleu que es presentin els nombres) i llavors escriure simplement 1/6, que ja s'entendrà com un nombre. Poseu a la cel·la C1 el títol Simulació. Obriu l'opció indicada per generar nombres aleatoris i ompliu així el quadre de diàleg:
  

  I quan accepteu, ja tindreu la simulació de 1.000 tirades d'un dau.

• A la columna D poseu el títol Nombre de tirades i després els nombres de l'1 al 1.000 que indicaran quantes tirades hem fet en cada moment. Escriviu l'1 i el 2, seleccioneu el rang format per les dues cel·les i estireu per arrossegament. Així s'escriuran automàticament els nombres. O també, després d'escriure l'1 i el 2, seleccioneu tota la columna D, fins a la fila 1001 (recordeu que ho podeu fer amb Control + Majúscules + Fi) i llavors Edición | Rellenar | Series, indicant que voleu una serie lineal, amb increment 1, En columnas.
• Ara hem de comptar, per cada nombre de tirades, quants 6 han sortit fins en aquell moment. Poseu a la columna E com a títol Freqüència absoluta i llavors escriviu a la cel·la E2 la fórmula =CONTAR.SI($C$2:C2;6) (o bé feu-ho amb Insertar función, cosa que, com ja sabeu, us explicarà la sintaxi).
• Copieu per arrossegament aquesta fórmula a tot el rang dintre de la columna E que interessa. Vegeu, per exemple, que a les cel·les E3 i E4 apareix =CONTAR.SI($C$2:C3;6) i =CONTAR.SI($C$2:C4;6) i això us ajudarà, segurament, a recordar el significat d'aquesta funció condicional i de l'ús de les referències absolutes o relatives.
• Finalment, a la columna F poseu com a títol Freqüència relativa i llavors escriviu a la cel·la F2 la fórmula =E2/D2*100 perquè surti en tant per cent i copieu aquesta fórmula a tot el rang que interessa de la columna F.

Tot seguit s'explica com es pot fer el gràfic que mostra l'evolució de la freqüència relativa i permet constatar que a mesura que augmenta el nombre de tirades, la freqüència relativa s'estabilitza al voltant d'un nombre fix, 1/6 en aquest cas.

La representació que fareu serà la d'una funció empírica: a l'eix de les x els nombres de tirades; a l'eix de les y les freqüències relatives. El gràfic més adequat és el següent:

• Abans d'ordenar el gràfic, heu de seleccionar les dues columnes que tenen els valors de les variables indicades. Seleccioneu la columna D fent clic a la lletra D, premeu la tecla Control i feu clic a F. Així seleccionareu també la columna F.
• Activeu l'opció de gràfics i trieu el gràfic Dispersión indicat anteriorment.
• Cliqueu a Finalizar i a partir d'aquest moment podeu fer totes les millores al gràfic que cregueu convenients fins que mostri clarament el que volíem.

A l'apartat anterior heu elaborat una simulació amb l'Excel que permet fer visual la llei empírica de l'atzar i, com a empírica que és, aquest és sens dubte el millor camí per copsar-ne el significat.

Sens dubte, el fet de fer la pràctica pas a pas facilita la seva inclusió com a element didàctic en una classe de l'educació secundària. Tanmateix, és bo de conèixer altres possibilitats molt més elaborades que avancen en la mateixa línia.

Tot seguit us proposem que reviseu tres MUD que podeu trobar al portal edu365.com en el marc del projecte interm@tes que entenem que són excel·lents recursos per a l'ús en una classe, ja sigui a l'aula d'informàtica com a treball personal, ja sigui amb un projector a manera de pissarra electrònica.

Accediu, doncs, a l'àrea de matemàtiques de l'ESO de l'edu, cliqueu a la icona d'interm@tes i, tot seguit, al botó que porta a la prestatgeria amb l'índex de les miniunitats didàctiques.

• La primera proposta que us fem és la MUD Comptem boles. A la portada veureu que hi ha un enllaç que permet estudiar el funcionament de la miniaplicació (applet). Comenceu per aquí.
  • A la mateixa portada trobareu un altre enllaç que porta al començament de l'activitat. Si hi feu clic, trobareu unes indicacions detallades d'exemples suggerits. Veureu de seguida que si feu la pràctica amb alumnes se'ls fa molt entenedor:
  • El fet que la influència de l'atzar no ens permet mai assegurar res: hi ha molta variabilitat.
  • Que tanmateix, la llei empírica de l'atzar ens permet controlar una mica aquesta variabilitat i acostar-nos a la idea de probabilitat.
  • El valor de la probabilitat de treure una bola de cada color: així podeu introduir la regla de Laplace.
  • Completeu la revisió de tots els aspectes de la MUD.

• Una vegada assolits els objectius de la MUD anterior, és el moment de passar a la que s'anomena Endevina què hi ha a la bossa. Es reprèn l'exercitació anterior però ara amb la bossa tapada. Es fan successives extraccions de boles d'una bossa i es mostra el gràfic de l'evolució de les freqüències relatives dels nombres de boles de cada color que han sortit. Si els nois i les noies han entès bé els continguts de la MUD anterior, ara poden fer una estimació: a partir de la informació recollida al gràfic, han d'endevinar la composició de la bossa. Així reforcen la comprensió de la llei empírica de l'atzar i de la fórmula de Laplace i, alhora, constaten la possibilitat de fer de manera molt consistent (ho endevinen molt aviat!) una inferència estadística.

• L'altra MUD que us proposem, El joc de les portes, té en comú amb les anteriors el fet que es fan servir simulacions per ajudar a veure quin és el valor d'una probabilitat. A través d'activitats guiades, es fa una reflexió sobre la probabilitat condicionada.
  • La situació és la següent: imagina que engegues la televisió i veus que el presentador demana a la concursant que triï entre dues portes, perquè al darrere d'una hi ha el premi del concurs. En aquest moment, sense cap més dada, tu pots pensar que hi ha el 50 % de probabilitats que el premi estigui al darrere de la porta 1 i el 50 % de probabilitats que estigui al darrere de la porta 2. I és del tot cert.
  • Però també és ben cert que, habitualment, aquesta fase del concurs va precedida d'una altra. I llavors, amb més dades, el que s'acaba d'enunciar canvia radicalment: hi ha una estratègia favorable per al concursant. Una informació suplementària pot alterar la concepció de la probabilitat.
  • Aquesta MUD us ajudarà a entendre molt bé el plantejament probabilístic d'aquest joc, un exemple clàssic que de vegades es presenta com una falàcia de les probabilitats però que en realitat podeu veure (i amb aquesta MUD fer que ho vegin els vostres alumnes) que del que es tracta és de valorar molt bé tota la informació disponible abans de calcular probabilitats: aquesta és la idea de la probabilitat condicionada.

En aquest apartat us presentem una aplicació feta amb l'Excel que pot ser útil per fer simulacions de llançaments de daus i per visualitzar la llei dels grans nombres.

Amb aquesta aplicació, l'usuari pot simular el llançament de fins a  tres daus. Si es tria el llançament d'un sol dau, es pot analitzar el cas de les distribucions uniformes, en què tots els valors del dau tenen la mateixa probabilitat de sortir. Com que el dau pot tenir diferents casos possibles, pot servir també de suport i comprovació del càlcul de probabilitats per a diferents resultats teòrics. En el cas que es triï un màxim de dos resultats possibles per a un sol dau, es pot identificar la simulació amb el llançament d'una moneda. En el moment de fer servir més d'un dau, es veu que la suma dels diferents resultats dels daus ja no té un mateix comportament. Es pot analitzar, intuïtivament i gràfica, quins esdeveniments tenen més probabilitat de sortir, si hi ha esdeveniments amb igual probabilitat, quins són els menys probables, etc. També es pot comparar la probabilitat teòrica, calculada a part, amb la distribució de freqüències relatives.

• Recupereu de la carpeta el fitxer PROBABILITAT.XLS i premeu el botó Habilitar macros per tal que totes les macros funcionin.
• Premeu el botó Atzar.
• Premeu el botó Daus nous, entreu a la cel·la H3 un 6 i deixeu en blanc les cel·les I3 i J3. D'aquesta manera, començareu per la simulació d'un sol dau convencional.
• Entreu 1.000 a la cel·la M3 i premeu el botó Llançaments.
• Observeu com es van fent els 1.000 llançaments i com el gràfic ens indica les diferents freqüències relatives de cada valor. Si torneu a prémer el botó Llançaments, es tornen a simular 1.000 llançaments més, els resultats dels quals es van acumulant als anteriors. Podeu repetir aquest procés variant, si voleu, el nombre de llançaments (M3).
• Entreu a cada cel·la del rang E4:E9 la probabilitat de cada valor. En el cas d'un sol dau de 6 valors possibles, la probabilitat de cada valor és igual a 1/6.
• Observeu la semblança numèrica i gràfica entre la freqüència relativa i la probabilitat, simulant, fins i tot, més llançaments.

Tot seguit podeu fer la simulació amb dos daus:

• Premeu el botó Daus nous i introduïu el nombre 6 a les cel·les H3 i I3. En aquest cas, simulareu el llançament de dos daus, analitzant les sumes dels diferents valors que van sortint.
• Abans de començar els llançaments, seria interessant calcular prèviament quina és la probabilitat per a cadascuna de les sumes possibles. Aquest és un exercici que pot fer l'alumnat que estigui treballant el càlcul de probabilitats. Introduïu aquestes probabilitats a la columna E.
• Premeu diverses vegades el botó Llançaments i observeu que ara les barres no tendeixen a igualar-se, com ja es podia intuir observant el gràfic de les probabilitats introduïdes.

Observeu com s'assemblen els gràfics de les freqüències relatives i els de les probabilitats.

Podeu fer més simulacions amb tres daus i variant també els valors possibles de cada dau. Aquesta última possibilitat fa que simuleu l'experiment de fer rodar fins a tres ruletes amb diferents valors possibles, tots ells equiprobables, i calcular la suma dels nombres que van sortint.