Les distribucions de probabilitat discretes      

En aquest document s'introdueix la idea de variable aleatòria, es comenten les diferències entre les de tipus discret i les contínues i es presenten les principals distribucions de probabilitat discretes. També s'explica quines són les situacions pràctiques que modelitzen.

Amb aquesta idea definim una variable aleatòria

Variables aleatòries discretes i contínues

En la realització d'una experiència aleatòria sovint ens interessa representar els diferents resultats que podem observar mitjançant nombres. Per exemple:

• Quan tirem un dau enlaire sovint indiquem les cares com {1, 2, 3, 4, 5, 6} tot i que els símbols que marquen són uns altres.
  

• Si fem l'experiència de tirar enlaire 5 monedes i comptar el nombre de cares que surten, diverses posicions de les monedes ens porten a dir "2", unes altres "4", etc.

• Quan triem a l'atzar una noia d'una classe podem mesurar-ne l'alçada, o el pes, o preguntar-li quants anys té. El valor obtingut d'aquestes variables es representa també mitjançant nombres.

• Quan observem el resultat d'una travessa el que ens interessarà serà "traduir" la columna amb 1, X i 2 a "nombre d'encerts" primer de tot i si escau a "guanys".

Tots aquests són exemples de variables aleatòries.

Es diu que hem associat una variable aleatòria a un experiment aleatori quan representem cada possible resultat mitjançant un nombre.

• variables aleatòries discretes, caracteritzades perquè els valors que poden prendre són els elements d'un conjunt finit o infinit numerable.
• variables aleatòries contínues per a les quals els valors que podem observar són, conceptualment, elements qualssevol d'un interval de nombres reals.

Podem dir que si fem moltes repeticions d'una experiència que tingui associada una variable aleatòria discreta i fem el recompte dels resultats numèrics que observem ens trobem amb una variable estadística discreta. En són exemples: el resultat observat quan tirem un dau; el nombre de creus que comptem si tirem cinc monedes enlaire; el nombre d'encerts en una travessa...

Anàlogament, el recompte dels resultats observats en moltes repeticions d'una experiència que té associada una variable aleatòria contínua ens portaria a una variable estadística contínua. En són exemples: la mesura de l'alçada d'una noia escollida a l'atzar en una classe; el temps que dura una pila elèctrica...

L'estudi de les variables aleatòries ha d'anar acompanyat de la consideració del càlcul de les probabilitats dels esdeveniments considerats i llavors, per a cada nombre real a, hom pot considerar diverses probabilitats que ajuden a caracteritzar el model.

En primer lloc cal considerar:

p[X=a], que representa la probabilitat del conjunt format per tots els casos possibles de l'experiència que donen com a resultat a.

• Per a la variable X associada al nombre que marca un dau, si suposem vàlid el model uniforme (dau ben equilibrat), serà p[X=1] = p[X=2] = ... = p[X=6] = 1/6
  p[X=a] = 0 si a no és de {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Per a la variable X, associada al nombre de creus que observem si tirem cinc monedes enlaire tindrem únicament sis valors diferents de 0, els que corresponen a aquestes probabilitats: p[X=0], p[X=1],... i p[X=5]
  p[X=a] = 0 si a no és de {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

• En canvi, per a la variable X associada a l'alçada d'una noia serà
  p[X exactament = 1,70] = 0, de la mateixa manera que p[X=1,69876543] = 0. No podem observar "amb exactitud" els valors d'una variable contínua. En aquest cas 1,7000000 o bé 1,69876543 no són observables, com ja s'ha comentat al document d'introducció a la probabilitat.

p[X a], que representa la probabilitat del conjunt format per tots els casos possibles de l'experiència que donen com a resultat per a la variable aleatòria un valor menor o igual que a. Aquestes probabilitats es poden considerar per qualsevol nombre a.

En la recerca d'un model per a una situació empírica deixa de ser fonamental l'estudi de la variable aleatòria i esdevé crucial la consideració de les probabilitats. És per això que es parla sovint de distribucions de probabilitat molt més que de la pròpia variable aleatòria. Hem d'entendre amb aquesta denominació tot el conjunt dels elements que s'empren en l'estudi de les variables aleatòries.

Estudi de les distribucions de probabilitat discretes

S'anomena funció de probabilitat associada a una variable aleatòria discreta X, la funció f que a cada nombre real x li assigna la seva probabilitat: f(x) = p[X=x].

La funció de probabilitat f d'una variable aleatòria discreta es caracteritza per:

• f(a) és sempre positiu o zero.
• Només hi haurà una col·lecció ben determinada de valors x₁, x₂, x₃,... ,x_n,... per als quals la funció de probabilitat donarà valor diferent de zero.
• Es compleix que la suma de les probabilitats de tots els valors que poden observar-se com a resultat de l'experiència és 1. Aquesta propietat fa que la funció de probabilitat es conegui també amb el nom de funció de masses. La "probabilitat total" (la unitat) entesa com una massa es reparteix entre uns quants punts aïllats "que pesen". En tots els altres punts o nombres reals no hi ha "massa de probabilitat" (no poden esdevenir-se com a resultat de l'experiència).

Les funcions d'Excel s'apliquen directament per a treballar amb les distribucions de probabilitat sobretot des del punt de vista numèric; aquest aspecte es treballa en les quatre primeres pràctiques. Per obtenir-ne una visió gràfica, podeu estudiar la pràctica 5 d'aquest mòdul.

El primer exemple que convé presentar és el model de què ja hem parlat quan s'ha estudiat la fórmula de Laplace, aquell que representa una experiència aleatòria amb un nombre finit de casos possibles, tots igualment probables. L'Excel no hi fa una referència especial sinó que s'ha de construir "a mà" i aplicar-hi les construccions dels que s'anomena distribució discreta.

La distribució uniforme discreta correspon a una variable aleatòria associada a una experiència simple a partir de la qual es poden obtenir n resultats numèrics, representats habitualment amb els nombres {1, 2, 3, ..., n}, que tenen tots la mateixa probabilitat.

• p[X=i] = 1/n, si i pertany al conjunt de possibles resultats.
• p[X=a] = 0, altrament.

A continuació es defineix un altre instrument fonamental per a l'anàlisi de les distribucions de probabilitat.

S'anomena funció de distribució associada a una variable aleatòria X (o també funció de distribució de probabilitat acumulada) aquella funció F que, per a cada nombre real, ens dóna la probabilitat que la variable aleatòria prengui un valor menor o igual que aquell nombre. És a dir     F(a) = p[X a]    per cada nombre real a.

La funció de distribució d'una variable aleatòria és un element de treball fonamental a l'hora de calcular probabilitats relatives a intervals de valors que pot prendre la variable que estudiem.

Adoneu-vos que per a una distribució discreta amb valors enters podrem calcular així la probabilitat d'un interval:

p(a X b) = F(b) – F(a–1)

La funció de distribució F d'una variable aleatòria discreta compleix les propietats que s'indiquen seguidament, que caracteritzen les funcions de distribució discretes.

• F és una funció escalonada, monòtona creixent.
• La funció de distribució F té límit 0 quan x tendeix a menys infinit i límit 1 quan x tendeix a l'infinit positivament.
• F és contínua a la dreta en qualsevol punt.
• Si x₁, x₂, x₃,... ,x_n,... són els valors que efectivament pren una variable aleatòria discreta X, la seva funció de distribució F és contínua arreu excepte en els punts
  x₁, x₂, x₃,... ,x_n,... en què presenta discontinuïtats de salt.

La mitjana de la distribució, que es representa amb la lletra grega µ, i també rep el nom d'esperança matemàtica, [i d'acord amb aquesta denominació es simbolitza E(X)] es defineix mitjançant la fórmula

La desviació estàndard (o desviació tipus), definida a partir de la fórmula. Com en el cas dels paràmetres estadístics, el quadrat de la desviació estàndard rep el nom de variància.

És important indicar que les definicions anteriors sorgeixen a partir d'un paral·lelisme amb la fórmula de la mitjana i la desviació estàndard d'una variable estadística discreta.

Seguidament es comenten alguns exemples.

• Si preguntem a una persona "del carrer" quantes vegades li sembla "normal" d'haver de tirar un dau per a treure un 6 és fàcil que ens contesti "6 vegades". Aquest valor és, en realitat, la mitjana de la distribució de probabilitat associada a la variable aleatòria "nombre de vegades que hem de tirar un dau fins a obtenir un 6".
• Si tirem enlaire 20 monedes i preguntem "quantes creus podem esperar que surtin?", la resposta intuïtiva "10" correspon a la mitjana de la variable aleatòria "nombre de creus que surten quan tirem 20 monedes".
• En una distribució uniforme que pot prendre els valors {1, 2, 3,..., n} es pot demostrar que la mitjana és (n+1)/2 i la desviació estàndard (n–1)²/12.

La distribució binomial

S'anomena prova de Bernouilli una experiència simple de la qual ens interessa fixar-nos únicament en un determinat esdeveniment A ("èxit") que té probabilitat p.

La distribució binomial és la que està associada a la variable aleatòria "nombre d'èxits observats" quan es repeteix successives vegades una experiència de Bernouilli, sempre en les mateixes condicions i de manera independent.

Per exemple:

• "El nombre de cares que traiem quan tirem enlaire 20 monedes, no trucades, de forma independent" correspon una distribució binomial B(n=20, p=1/2).
• El nombre de persones que contestaran "SÍ" a una enquesta feta a una mostra de 500 persones que s'ha seleccionat aleatòriament en una població en la qual el 40% opina que "SÍ" correspon a una distribució binomial B(n=500, p=0,4).

La fórmula que dóna la funció de probabilitat d'una variable aleatòria X a la qual correspon una distribució binomial B(n,p) és

• Podeu consultar la deducció d'aquesta fórmula.

• L'aplicació de la fórmula anterior és molt farragosa a «mà» és (relativament) fàcil emprant la calculadora científica i, naturalment, molt més àgil amb Excel... però sembla que xoquem amb una paret insalvable si n es fa relativament gran. Tannmateix, podrem solucionar aquest problema amb l'estudi de la distribució normal.

La desviació estàndard de la distribució binomial B(n,p) és igual a

Per veure les característiques gràfiques de les funcions de probabilitat associades a la distribució binomial i la influència dels paràmetres p, probabilitat d'èxit, i n, nombre de repeticions, podeu accedir a la pràctica 5.

La distribució geomètrica (de Pascal)

Estudiarem ara una altra distribució de probabilitat associada amb la repetició d'una experiència simple en la qual ens interessa considerar un esdeveniment A, èxit, que es pot donar amb probabilitat p = p(A).

El model teòric associat a la variable aleatòria que fa el recompte de vegades que cal repetir una experiència aleatòria simple, de forma independent, fins que s'observa l'èxit de determinat esdeveniment, rep el nom de distribució geomètrica de probabilitat.

• La variable aleatòria que considerem pot prendre els valors 1, 2, 3, ..., n, ... (sense limitació teòrica, hom suposa que la prova es pot anar repetint indefinidament) i les probabilitats corresponents tenen els valors següents:
  p[X=n] = (1–p)^n–1· p
  expressió en la qual p representa la probabilitat d'èxit, en cadascuna de les proves simples, de l'esdeveniment estudiat.

• La denominació "geomètrica" de la distribució li ve del fet que els valors de les probabilitats d'obtenir l'èxit a la primera tirada, a la segona, a la tercera,... (que són els valors que ens dóna la fórmula anterior) formen una progressió geomètrica decreixent de raó (1-p).

• La mitjana de la distribució geomètrica és 1/p.

• La variància de la distribució geomètrica és (1–p)/p² (i la desviació estàndard serà l'arrel quadrada d'aquest valor).

• Per exemple, si fem l'experiència de comptar quantes vegades hem de tirar un dau enlaire de forma independent fins que surti un 5 ens trobem en la situació de la distribució geomètrica. En aquest cas serà p=1/6 i per tant la mitjana és 6. Retrobem allò que ja havíem dit: si preguntem a una persona quantes vegades li sembla que ha de tirar fins a treure un 5 amb un dau i ens contesta "6 vegades"... això és la mitjana o esperança de la distribució.

• El model geomètric queda caracteritzat, doncs, ja sigui per la probabilitat d'èxit ja sigui per la mitjana de la distribució.

• El programa Excel no inclou la distribució geomètrica entre les "seves" distribucions de probabilitat. És per això que es presenta amb detall en la pràctica 4 el procediment per a elaborar, amb Excel, una taula de valors que permet l'estudi de la distribució geomètrica i, en particular, ens servirà en la pràctica 5 per a visualitzar-ne el gràfic de la funció de probabilitat.

La distribució de Poisson

 
En moltes ocasions interessa, per qüestions de tipus pràctic, preveure el nombre de vegades que podem esperar que es produeixi un cert esdeveniment aleatori en un determinat període de temps. Per exemple, el nombre de trucades telefòniques que rep una centraleta per minut (per decidir quantes persones han de controlar la centraleta) o bé el nombre d'avisos d'avaria que pot rebre cada dia, en mitjana, un taller de lampisteria...

Per fer aquesta previsió caldrà un treball estadístic previ i l'ajust amb un model escaient. L'estudi d'aquest tipus de distribucions que fan el recompte del nombre de vegades que un esdeveniment aleatori s'ha produït en un interval de temps correspon, si es compleixen certes condicions, a un mateix model teòric que s'anomena Distribució de probabilitat de Poisson.

En el marc de la sèrie "Estadística i Atzar" (Open University, B.B.C., versió de TV3 per a Universitat Oberta) hi ha dues unitats que poden ajudar a entendre aquest model: Un model de probabilitat pels esdeveniments rars" i "El model de Poisson". Si hi teniu ocasió... no dubteu a mirar aquests dos vídeos!

• Perquè el model de Poisson sigui escaient ha de passar...
  • que no hi hagi simultàniament dos "èxits" de l'esdeveniment.
  • que un "èxit" de l'esdeveniment sigui independent dels "èxits" anteriors.

• Per exemple, sí que corresponen al model...
  • el nombre de trucades telefòniques que rep per minut la centraleta del Departament d'Ensenyament.
  • el nombre de partícules radioactives comptabilitzades cada 5 segons per un comptador Geiger situat a prop d'un focus radioactiu.
  • el nombre de cotxes que circulen per minut en un tram de carretera de circulació lliure i no massa intensa.

• En canvi no correspondran al model que volem estudiar:
  • el recompte del nombre de persones que entren per minut en uns grans magatzems, perquè de vegades hi entren grups de persones simultàniament.
  • el nombre de cotxes que circulen cada mig minut en les rodalies d'un semàfor. La regulació del semàfor fa que la circulació d'un cotxe no sigui independent de la d'un altre.

La distribució de probabilitat de Poisson s'associa a la variable aleatòria que pren com a valors el nombre de vegades que s'ha produït en un període de temps fixat un esdeveniment aleatori del qual els "èxits" s'observen de manera no simultània i independent.

• El paràmetre que caracteritza la distribució de Poisson és la mitjana del nombre vegades que l'esdeveniment observat es produeix en el període de temps fixat: aquesta és la mitjana de la distribució.

• Els valors x_i que pren la variable aleatòria X valen, doncs, {0, 1, 2, ... ,k , ...}, sèrie que no té un terme final tot i que la probabilitat dels valors alts és pràcticament zero. La funció de probabilitat corresponent al model de Poisson ve donada per l'expressió
  

• Per una variable aleatòria amb distribució de Poisson es compleix que la mitjana i la variància coincideixen:
  E(X) = µ;         ² = µ

  i, precisament perquè coincideix amb la mitjana de la distribució, el paràmetre constant que apareix en la fórmula de la distribució de Poisson i la caracteritza es representa habitualment com a µ (tot i que l'Excel l'anomena Lambda).

Quan pensarem que una distribució empírica de dades pot tenir com a model plausible la distribució de Poisson?
Quan reprodueixi les principals característiques d'aquest model teòric, a saber:

• Perfil de l'histograma en forma de L, en especial amb una llarga "cua" cap a la dreta, que serà més pronunciada com més petit sigui el valor de µ
• Mitjana i variància amb valors molt semblants.
• Mode molt a prop del valor de la mitjana.

Si tot això succeeix... el model de Poisson és l'adequat per modelitzar l'experiència que estudiem. Una vegada valorada com a consistent aquesta possibilitat, per trobar µ s'han d'aplicar tècniques estadístiques i d'estimació: calcularem la mitjana de la distribució estadística estudiada i pensarem que aquest valor ha de ser el paràmetre µ que caracteritza el model. de Poisson.
El contrast de les dades amb el model comença amb aquesta visió intuïtiva i després, per comprovar la bondat de l'ajust, calen tècniques estadístiques que s'exposen al mòdul 6.

Hem presentat una situació que sovint porta cap al model de Poisson. Tanmateix hi ha una altra forma de trobar-lo que és important de comentar.

La distribució de Poisson és, també, el model que resulta com a límit d'una distribució binomial en la qual es fan moltes repeticions [n (molt) gran] però l'èxit és un «esdeveniment rar» [p (molt) petit].

• En aquests casos la mitjana n·p caracteritza la distribució perquè els valors de la distribució binomial B(n , p) si n és gran i p petit (p < 0,1) són molt aproximadament iguals que els valors de la distribució de Poisson de mitjana µ = n·p.

• No caldrà saber els valors de n i de p (tasca a vegades impossible) sinó la mitjana de la distribució, amb la qual ja podrem calcular les probabilitats associades a l'experiència.
• Encara que es poguessin saber els valors de n i de p, com que ja s'ha dit que aquesta situació correspon a valors de n molt grans, seria impracticable la fórmula de la distribució binomial; en canvi la fórmula de la distribució de Poisson sí que ens permetrà calcular els valors de les probabilitats.

Vegeu, per acabar, uns exemples d'aquesta situació:

• El primer de tots correspon a dades reals, històriques i, sense cap dubte, ens permetrà entendre la denominació de model de probabilitat per als esdeveniments rars que es cita sovint per a la distribució de Poisson.

  La taula següent dóna l'estadísitica del nombre de morts per una coça de cavall a l'exèrcit prussià, en dades observades en un gran nombre de cossos d'exèrcit durant un llarg període.

  Nombre de defuncions per cos d'exèrcit i any	0	1	2	3	4 o més
  Freqüència absoluta	109	65	22	3	1
  Total de dades observades					200

  En cada cos d'exèrcit hi ha un nombre molt elevat de soldats, però desconegut per a nosaltres i no coincident en tots els casos. La probabilitat que un soldat determinat en un d'aquests cossos d'exèrcit mori d'una guitza de cavall és molt i molt petita. Si el repartiment d'aquestes defuncions és degut a l'atzar el model adequat serà la distribució de Poisson, com es pot desprendre de l'anàlisi intuïtiva de les característiques d'aquest recull de dades empíriques. Us proposarem un exercici sobre aquestes dades, per al contrast de les dades amb el model, en el mòdul 6

• El nombre d'errades en una pàgina impresa és un altre exemple clàssic de la distribució de Poisson (ara potser poc actual perquè cada vegada hi ha mitjans més sofisticats de correcció).
  En cada pàgina hi ha un gran nombre de caràcters tipogràfics; sempre molt gran però no coincident d'una pàgina a una altra. La probabilitat que hi hagi error en un d'aquests caràcters és molt petita. Tanmateix, es pot fer un compte de la mitjana d'errades per pàgina i es pot suposar que la distribució de les errades és fruit de l'atzar. Per això el model de Poisson és adequat. Podeu estudiar numèricament aquest exemple en la pràctica 4.

• El nombre de perles naturals de qualitat que recullen els buscadors d'ostres d'una factoria al llarg d'un dia es cita també com a exemple en què escau Poisson.
  Entre tots els pescadors al llarg d'un dia es capbussen moltes vegades i treuen, doncs, un nombre molt gran d'ostres. La probabilitat que una ostra tingui perla de qualitat és molt i molt petita. La mitjana d'ostres de qualitat per dia vé donada per una distribució de Poisson. Ens referirem a aquest exemple en un dels exercici 8.

• Hem donat com a exemple el nombre de trucades telefòniques que rep per minut la centraleta del Departament d'Ensenyament. Seria bo que, per regular el servei telefònic, al Departament tinguessin comptabilitzada la mitjana d'aquest nombre que permetria establir la fórmula de la distribució de Poisson que modelitza el problema.
  Ara bé, un minut es pot imaginar dividit en un gran nombre n de períodes de temps molt petits, per exemple, mil·lèsimes de segon. Hem de pensar que la probabilitat p de rebre una trucada telefònica en un període concret d'una mil·lèsima de segon és molt petit. Però llavors, amb n molt gran (però no conegut) i p molt petit, la mitjana n·p té un valor apreciable, que és el que es pot conèixer estadísticament..
  Per això és vàlid el model de Poisson en aquesta i altres situacions semblants.

De vegades es diu que la distribució de Poisson P(µ) resulta com a límit de la distribució binomial B(n, p) quan n es fa molt gran («tendeix a infinit»), p és molt petit i es pot assumir que es manté constant n·p = µ.

Hem dit que les definicions de mitjana i desviació estàndard d'una distribució de probabilitat sorgeixen a partir d'un paral·lelisme amb la fórmula de la mitjana i la desviació estàndard d'una variable estadística discreta.

En una distribució estadística, si x_i són els valors observats, F[X=x_i] les corresponents freqüències absolutes i N el nombre d'observacions, la fórmula de la mitjana es pot escriure

Però si ens adonem que podem treure factor comú i que F[X=x_i]/N són les freqüències relatives dels valors observats, f[X=x_i], podem re-escriure la definició de la mitjana d'una distribució de dades estadístiques de la manera següent:

Ara bé, si us fixeu en la visió intuïtiva de les probabilitats p[X=x_i] com a valor al qual tendeixen les freqüències relatives f[X=x_i] si es fan moltes repeticions de l'experiència, podreu interpretar la mitjana d'una distribució de probabilitat com el valor al qual tendiria a acostar-se la mitjana dels valors observats en una llarga repetició de l'experiència a la qual correspon la variable aleatòria que estudiem. Anàlogament la desviació estàndard dels valors observats en moltes repeticions de l'experiment tendeix a acostar-se a la desviació estàndard de la distribució de probabilitat.

• Pel que s'acaba de comentar la mitjana d'una distribució de probabilitat és un estimador del valor esperat en l'experiència corresponent i, de fet, de vegades la mitjana rep el nom de valor esperat . No s'ha de confondre, però, de cap manera "valor esperat" –que ja s'ha dit que cal interpretar com "valor mitjà, a la llarga"– amb "valor més probable".

• La mitjana d'una variable aleatòria s'anomena també esperança matemàtica, denominació que prové de la consideració de jocs d'atzar, de gran importància per al desenvolupament històric de la teoria de probabilitats, en els quals la mitjana s'interpreta com la mitjana dels "guanys" que hom pot esperar obtenir si juga repetidament a l'esmentat joc (sempre pèrdues, a la llarga!).
  

La fórmula és la següent:

Aquesta fórmula dóna la probabilitat que en n repeticions independents d'una experiència s'esdevinguin k èxits. El valor d'aquesta probabilitat prové de les consideracions que exposem seguidament, la rigorització de les quals escapa a aquest curs.

• Si examinem el cas que en les k primeres realitzacions de l'experiència resulti l'èxit i en les n-k següents no, la fórmula del producte de les probabilitats ens porta de seguida a què aquest fet té probabilitat p·p·...^{(k vegades)}...·p·q·q·...^{(n-k vegades)}...·q = p^k·q^n-k.

• Ara bé, hi ha moltes altres maneres de trobar k èxits i n-k no èxits. El nombre combinatori que apareix a la fórmula (dit "n sobre k") indica quantes són aquestes maneres, totes les quals tindrien la mateixa probabilitat. Totes aquestes probabilitats s'han de sumar per tenir la probabilitat total de k èxits.

• Finalment, si hem de sumar una colla de sumands iguals tots ells a p^k·q^n-k i el nombre de sumands ve donat pel nombre combinatori n sobre k, en resulta el valor indicat a la fórmula.
  

• Per valors de n molt petits és recomanable deduir els valors de les probabilitats d'un experiment que segueixi el model binomial mitjançant l'estudi dels diagrames d'arbre.
• Si n augmenta una mica heu de saber que els valors dels nombres combinatoris es poden obtenir amb el desenvolupament del triangle de Tartaglia.
• També es pot emprar una calculadora científica i la fórmula dels nombres combinatoris, que inclou factorials, per a obtenir els valors de les probabilitats de la distribució binomial.
  
  Però els factorials arriben a tenir valors tan grans que aviat ultrapassen la capacitat de les calculadores manuals (en els models més habituals el càlcul de n! per a valors de n > 70 dóna E per aquesta raó).
• Segurament pensareu que amb l'Excel es resoldrà aquesta dificultat. En part sí, però els càlculs "també superen l'ordinador" i si n es fa molt gran trobareu anomalies de funcionament (valors que donen 0 sense ser-ho en realitat o errors).
• Hem xocat, doncs, amb una paret? No!!! L'aproximació de la distribució binomial mitjançant la normal en general (o el model de Poisson en casos extrems per a n molt gran i p molt petit) ens permeten salvar aquesta dificultat.