En aquest document es fa una presentació conceptual dels contrastos d'hipòtesi, amb el vocabulari que els és associat, juntament amb una exposició ben detallada de la prova de khi quadrat de la bondat de l'ajust i la seva aplicació a diverses situacions pràctiques. L'exemple introductori que es presenta seguidament i d'altres d'igualment il·lustratius per a la prova de khi quadrat es comencen a treballar a la pràctica 1.

També s'estudia l'aplicació de la prova de khi quadrat a l'anàlisi de taules de doble entrada, tant des d'un punt de vista teòric com a la pràctica 3.

Resultat experimental: valors observats

Una investigadora fa encreuaments entre flors blanques (caràcter B al fenotip, provinent de dos gens B, genotip BB) i flors vermelles (caràcter V al fenotip, genotip VV). Cada flor de la primera generació de descendents té genotip BV (un gen de cada progenitor, primera llei de Mendel). Si suposem que cap d'aquests caràcters és dominant sobre l'altre, totes les flors seran roses.

Seguidament, continua l'experiment: encreua aquestes flors roses, és a dir, fa encreuaments d'una flor amb genotip BV i una altra flor amb genotip BV. Poden aparèixer flors amb genotip BB (resultat: flor blanca), BV o VB (flor rosa), VV (flor vermella). Ens diu que ha obtingut 444 flors, de les quals 102 són blanques, 246 roses i 96 vermelles. Aquests seran els valors observats en la seva experiència.

Model teòric: valors esperats

Segons les lleis de Mendel, per a la segona generació de descendents es combina un gen de cada progenitor i totes les possibilitats de combinar un gen d'un progenitor amb un de l'altre tenen la mateixa probabilitat. Aquestes possibilitats són: BB (resultat: flor blanca), BV o VB (flor rosa), VV (flor vermella). Segons aquesta llei, s'espera que la quarta part de les flors siguin blanques, la meitat roses i la resta, és a dir, una altra quarta part, vermelles; tanmateix, el creuament de flors és un experiment aleatori, en què intervé l'atzar, i per això hem de concretar l'enunciat anterior i substituir-lo per aquest altre:

Hem d'esperar que les freqüències de flors blanques, roses i vermelles estaran aproximadament en la proporció 1:2:1. D'un total de 444 flors, els valors esperats són 111, 222, 111, però l'atzar fa que els valors reals estiguin al voltant d'aquestes quantitats.

La valoració de la bondat de l'ajust

La pregunta que ens plantejarem (i mirarem de respondre) al llarg d'aquest mòdul es pot formular així: Estan d'acord les dades obtingudes empíricament amb la teoria genètica? Ja sabem que en el resultat de l'encreuament hi ha una influència de l'atzar (o de la probabilitat, com vulgueu). Tenim un model teòric (l'esmentada llei de Mendel) i ens preguntem si la influència de l'atzar pot haver donat com a resultat, de manera versemblant, el nombre de flors de cada color observades. La valoració numèrica d'aquesta possibilitat és el que rep el nom de contrast d'hipòtesis o prova estadística (o també test estadístic, tot i que no és aquest el mot acceptat pels lingüistes); en aquest cas, es tracta de la comprovació de la bondat de l'ajust.

De les accepcions que ens dóna el diccionari per al mot hipòtesi, la que més d'acord està amb el sentit que se li dóna en aquest capítol és aquesta:

En els contrastos d'hipòtesis rep el nom d'hipòtesi nul·la, HN, H0, l'afirmació de la qual es vol confrontar la veracitat; en aquest cas, que el model estadístic que hem triat per al nostre estudi (i que es caracteritza mitjançant uns valors esperats) és l'adequat.

En l'exemple introductori, la hipòtesi nul·la és la suposició que la primera llei de Mendel és vàlida.

La finalitat del test consisteix a decidir, a la vista de les dades obtingudes i els càlculs necessaris, quina de les dues situacions següents es dóna:

• Es pot entendre que les diferències entre els valors observats i els valors esperats són fruit de l'atzar i no ens han de fer dubtar del model, i en aquest cas podem seguir admetent com a vàlida la hipòtesi nul·la.
• La discrepància entre els valors obtinguts empíricament i el model teòric és significativament gran i podem rebutjar el model teòric.

Per entendre l'actitud d'un investigador en una prova estadística encaminada a confrontar unes dades empíriques amb un model teòric i valorar la bondat de l'ajust, és molt interessant el paral·lelisme següent amb un tribunal de justícia:

	Tribunal de justícia	Prova estadística
Demana evidència de	Culpabilitat	Inadequació de les dades al model teòric
Hipòtesi nul·la	Innocent, no culpable	Model teòric correcte
Hipòtesi alternativa	Culpable	Model teòric no vàlid
Actitud	S'accepta no culpable fins que es demostra el contrari de manera clara i precisa	S'accepta que el model teòric establert és vàlid excepte en el cas que les dades empíriques donin un testimoni evident en contra

Parem atenció a l'exemple: 102, 246 i 96 flors, respectivament, representen moltes més flors roses (i menys de les altres) respecte a les esperades 111, 222 i 111 del total de 444 flors. Aquestes dades ens permetrien dubtar seriosament de la llei de Mendel o bé la diferència pot ser fruit de l'atzar? La prova de la bondat de l'ajust es planteja mesurar fins a quin punt els valors obtinguts difereixen dels valors esperats, perquè, evidentment, si els veiem molt semblants, no ens cal cap demostració per seguir acceptant el model. Tanmateix, la influència de l'atzar en els resultats de les experiències que estudiem fa que mai puguem estar segurs de les nostres afirmacions.

Mai podem estar del tot segurs que una llei empírica, com és ara la llei de Mendel, falla (ni que totes les flors sortissin roses). Tenim sempre un risc d'equivocació si pretenem rebutjar estadísticament una hipòtesi. Per això, abans d'elevar a definitiva la nostra conclusió (i fins i tot abans de començar l'experiment), hem de quantificar aquest risc, és a dir, la probabilitat d'equivocar-nos. Abans de donar una nova definició, completarem amb un detall (en què esperem que estareu d'acord) el símil del tribunal de justícia.

En un experiment aleatori encaminat a la comprovació d'una hipòtesi estadística, s'anomena risc de primera espècie la probabilitat de rebuig de la hipòtesi nul·la en cas que sigui correcta.

Si som agosarats i acceptem un alt risc, podem deduir fàcilment que hem descobert que la llei de Mendel falla. En canvi, si som massa prudents i volem seguretat, és a dir, que el risc d'equivocar-nos sigui quasi nul, ens podran enganyar molt sovint amb proves estadístiques, perquè mai trobarem proves estadístiques segures. Aquí hi trobem el joc de la teoria de probabilitats. La fixació del risc que estem disposats a admetre per formular el rebuig de la hipòtesi nul·la (model teòric pressuposat correcte) és un procediment no objectiu, sinó que va lligat a diversos aspectes subjectius.

El màxim risc de primera espècie que es vol admetre en la realització d'una prova estadística de contrast d'unes dades amb un model rep el nom de nivell de significació de la prova i és representat habitualment per la lletra grega alfa.

• L'experiència dels que treballen en estadística demostra que la fixació d'un nivell de significació del 5 % és prou correcta i equilibra les dues opcions que hem comentat (l'agosarada i la conservadora).

Quan ja hem acordat el nivell de significació amb què volem treballar i emprenem la realització d'un test, podem establir en quines circumstàncies arribarem a rebutjar la hipòtesi nul·la.

S'anomena regió crítica el subconjunt dels valors que, en cas de ser observats, ens fan rebutjar la hipòtesi nul·la.

La regió crítica s'estableix moltes vegades no tant segons les freqüències observades, sinó segons algun estadístic que es calcula a partir d'aquestes, en el benentès que un estadístic és una característica numèrica calculada a partir de les dades obtingudes en una realització de l'experiència i pot variar d'una realització a una altra. Si tenim ben conegut el model teòric de variabilitat d'un estadístic, això ens ajudarà en les nostres conclusions. Tot seguit, expliquem quin és l'estadístic que ens pot ajudar en el problema que tenim plantejat: la mesura de la bondat de l'ajust entre unes freqüències observades i unes freqüències esperades.

El camí intuïtiu per fer un càlcul que permeti valorar el grau d'ajust (o de desajust) entre les freqüencies observades (empíriques) i les freqüències esperades (teòriques) és el següent:

• La idea de què partim per mesurar la discrepància entre unes i altres freqüències és, naturalment, calcular les diferències entre unes i altres.
• Ara bé, aquestes diferències s'han de positivar, perquè tant s'aparta del model una diferència en un sentit com en un altre. Les elevarem al quadrat com es fa amb la desviació estàndard, per exemple. Si no ho fem així, unes desviacions es compensaran amb unes altres en lloc de sumar-se.
• Seguidament, cal relativitzar o ponderar les diferències quadràtiques obtingudes, perquè és evident que no és igualment significatiu treure 22 flors roses més del compte en un encreuament que ha donat 444 flors, que treure 22 flors roses més del compte si haguéssim trobat 4.444 flors com a resultat de l'encreuament. Aquesta relativització es fa prenent com a referència els valors esperats.
• Finalment, és clar, cal sumar per obtenir la discrepància total.

Les idees anteriors marquen clarament el camí per definir l'estadístic que ens interessa.

• Si O_i representa la freqüència observada en cada classe, E_i la freqüència esperada en aquella classe d'acord amb el model teòric que volem confrontar, es defineix un estadístic que es representa com a X² mitjançant un sumatori que s'estén a totes les classes de valors observats.
• Convé que observeu que no tots els valors de les diferències O_i–E_i són independents l'un de l'altre, sinó que la seva suma és 0. Si hi ha n classes de valors, només n–1 de les diferències esmentades són independents. Per exemple, si hem observat 22 flors roses de més respecte a les esperades, és segur que hem obtingut menys flors blanques i menys flors vermelles de les esperades, 22 en total.

Suposant que la hipòtesi nul·la és correcta, és a dir, que el model donat per les freqüències esperades s'adiu a l'experiència que estudiem, llavors l'estadístic X² té un model teòric perfectament conegut: si hi ha n classes de valors és la distribució khi quadrat amb n – 1 graus de llibertat, representada com a

Hi ha dos enfocaments diferents per fer la confrontació de l'estadístic X² obtingut amb la distribució khi quadrat, que dóna el model teòric de l'estadístic. Seguidament comentarem aquestes dues visions que permeten treure conclusions de la prova de khi quadrat de comprovació de la bondat de l'ajust (Chi-square Goodness-of-fit Test, degut a K. Pearson, 1900).

La pràctica 1 mostra com es pot obtenir amb l'Excel el valor de l'estadístic X², il·lustra els dos punts de vista que es comenten seguidament i comenta quin és el més apropiat.

• Primer punt de vista: correspon a l'establiment d'una regió crítica que indica quins són els valors de l'estadístic X² que ens fan rebutjar la hipòtesi nul·la. Aquest pot ser el procediment emprat en el treball manual, que podem fer mitjançant la consulta de taules publicades als manuals d'estadística, com és ara la que transcrivim seguidament:

  Graus de llibertat	Probabilitat acumulada en la distribució khi quadrat
  	0,90	0,95	0,975
  	Nivell de significació (alfa)
  	10 %	5 %	2,5 %
  1	2,71	3,84	5,02
  2	4,61	5,99	7,38
  3	6,25	7,81	9,35
  4	7,78	9,49	11,14
  5	9,24	11,07	12,83
  6	10,64	12,59	14,45
  7	12,02	14,07	16,01
  8	13,36	15,51	17,53
  9	14,68	16,92	19,02
  10	15,99	18,31	20,48
  11	17,28	19,68	21,92
  12	18,55	21,03	23,34
  13	19,81	22,36	24,74
  14	21,06	23,68	26,12
  15	22,31	25,00	27,49

   

  Fixem-nos en l'exemple:

  • Hem calculat X² = 5,35; recordem que en aquest cas escau la distribució khi quadrat amb dos graus de llibertat i imaginem que volem treballar amb un nivell de significació del 5 %. Mirem a la taula anterior, a la fila de 2 graus de llibertat, i la columna del 5 % per al nivell de significació (o, equivalentment, 0,95 com a probabilitat acumulada). Hi veiem 5,99.

  • Què ens diu aquest valor? Que, sota la hipòtesi que la llei de Mendel sigui vàlida, si fem el càlcul de l'estadístic X² corresponent a l'experiment ressenyat
    p[X² < 5,99] = 0,95.

  • Equivalentment, això permet dir que p[X² > 5,99] = 0,05 = 5 %, i podem afirmar que aquest conjunt de valors de l'estadístic X² constitueix la regió crítica de la prova (amb un nivell de significació del
    5 %). Efectivament, si aparegués un nombre d'aquest conjunt com a valor de l'estadístic X^2, podríem rebutjar la hipòtesi nul·la (amb un nivell de significació del 5 %) perquè, com que la probabilitat de trobar-nos amb algun d'aquests valors és només del 5 %, aquest serà el risc d'error màxim que tindrem si traiem la conclusió que la hipòtesi nul·la no és correcta.

  • Això és així perquè la probabilitat que hem esmentat està calculada pensant que la hipòtesi nul·la és certa. Si amb aquesta hipòtesi la probabilitat de trobar un nombre de la regió crítica és menor del
    5 %, aquesta mateixa és la probabilitat d'error (risc) en cas que neguem la hipòtesi (i recordem que s'ha definit, precisament, que nivell de significació del 5 % vol dir que aquest és el risc màxim que acceptem).

  • Però aquest no és el cas en què estem; hem trobat 5,35 com a valor de X², i aquest no és un valor de la regió crítica. Conclusió: els resultats observats en el nostre encreuament de flors roses no permeten pas de cap manera dubtar de la llei de Mendel. Encara que ens pogués semblar que els resultats s'apartaven força d'allò que es podia esperar, no tenim criteris suficients per rebutjar la hipòtesi nul·la (la validesa de la primera llei de Mendel). Hem d'entendre que les discrepàncies observades són fruit de l'atzar; no són significatives en un nivell de significació del 5 %.

• Segon punt de vista: correspon a la consideració de l'anomenat valor p del valor de X² observat, que seguidament definim.

• En l'aplicació d'una prova estadística, s'anomena valor p d'un nombre real (o valor de probabilitat, en anglès p value, en castellà valor p), la probabilitat que l'estadístic estudiat tingui un valor més gran que a. En el cas que ara ens ocupa, p[X²>a], en el benentès que la probabilitat està calculada sota la hipòtesi nul·la, suposant que és vàlid el model teòric donat per les freqüències esperades.

• Adoneu-vos que, si estem contrastant unes freqüències observades amb unes freqüències esperades i resulta que el valor calculat per a l'estadístic X² és X² = a, el valor p associat a aquest nombre a representa el risc d'error que tenim si, comptant amb aquesta observació, rebutgem la hipòtesi nul·la.

• El punt de vista que ara comentem és el més emprat en el treball amb l'ordinador. Cal que comparem el valor p corresponent a les nostres dades (aquesta és la informació que ens dóna l'ordinador) amb el risc màxim que volem acceptar (que està prefixat i que, recordeu-ho, s'anomena nivell de significació de la prova) per decidir si hem de mantenir com a vàlida la hipòtesi nul·la o bé tenim criteris per rebutjar-la. Ja hem dit que la pràctica 1 és la que ens ensenya a treure conclusions pràctiques del test de khi quadrat.
  • A l'exemple que hem analitzat, l'Excel ens mostra que el valor p de 5,35 en una distribució khi quadrat amb 2 graus de llibertat és 0,0689.

  • Això vol dir que es compleix p[X² > 5,35] = 0,0689 = 6,89 %. Així, doncs, si comptem amb el valor 5,35 que hem observat per a l'estadístic X² i insistim a rebutjar la hipòtesi nul·la (llei de Mendel vàlida), tenim un risc d'equivocació del 6,89 % que ningú amb bon seny acceptaria per dubtar de la validesa de la llei de Mendel.

  • El valor p ens el dóna el programa Excel. La resta són deduccions nostres.
    

Per estudiar el comportament de les dues variables (la relació que podem constatar-hi), es van presentar tècniques intuïtives: anàlisi dels percentatges de la taula (globals, per files o per columnes, segons el tipus d'estudi que vulguem fer). Veurem tot seguit que la prova de khi quadrat serveix com a criteri numèric per explicar si les diferències que podem observar d'un cop d'ull són estadísticament significatives o podrien ser fruit de l'atzar.

S'ha de comentar el fet que aquest estudi entra en el camp de l'estadística inferencial. La qüestió que resoldrem serà la següent: suposant que hem pres una mostra d'una població i, pel que fa a les dues variables estudiades, hem obtingut aquests valors, què podem pensar de les variables considerades en el conjunt de la població?

Veurem dues maneres d'enfocar el problema: la recerca de l'homogeneïtat d'una de les variables (variable de resposta) respecte a l'altra variable (variable de classificació) o bé l'estudi de la independència entre variables si aquestes juguen un mateix paper. És per això que analitzarem amb detall dues proves basades en el test de khi quadrat, una sota cada punt de vista. El que varia en un cas i en l'altre, segons l'enfocament que li volem donar, és la forma d'arribar a les freqüències esperades (enfocaments teòrics diferents), però veurem també que a la pràctica donen el mateix resultat.

Recordarem tot seguit un exemple il·lustratiu que ja ens ha servit a la part de fonaments del mòdul 3; ara ens fixarem en l'aspecte numèric i no en el conceptual. Hi ha sospites que en uns exàmens, la resposta (apte/a, no apte/a) no és homogènia en els grups donats per la variable de classificació (home, dona).

Es presenta la taula que podeu veure a l'esquerra de la qual es conclou, intuïtivament, que no hi ha homogeneïtat en la resposta perquè si s'elabora la taula de percentatges per files, que teniu seguidament a la dreta, s'observen diferències ben grans d'una fila a una altra:

• Per calcular les freqüències esperades en cada casella d'una taula creuada, sota la hipòtesi d'homogeneïtat en la resposta, es prendran com a dades els totals per files i per columnes i s'imposarà que, en cada fila, els percentatges per files siguin iguals que els percentatges de la fila de totals. La taula de freqüències esperades reprodueix "la situació ideal", la donada per la homogeneïtat de la resposta d'una variable respecte a l'altra en el conjunt de la població. El test de khi quadrat serveix, llavors, per mesurar les discrepàncies entre les freqüències absolutes observades en la mostra que s'ha estudiat i les freqüències esperades sota la hipòtesi nul·la (que serà d'homogeneïtat).

  A la taula que hem considerat inicialment es partiria, doncs, de les dades que hi ha a la taula de l'esquerra. Podeu calcular els percentatges a la fila de totals, que són: Aptes, 42,9 % No aptes, 57,1 %

  Per completar la taula de freqüències esperades s'imposa que, en cada fila de la taula "ideal", els percentatges siguin els que ja s'han comentat. Així, per exemple: Homes/Aptes: el 42,9 % de 80, que és 32,3 I així amb les altres caselles

  Aptes No aptes Total Homes     80 Dones     60 Total 60 80 140

  Aptes No aptes Total Homes 34,3 45,7 80 Dones 25,7 34,3 60 Total 60 80 140

  
  

  Nota: Tot i que les freqüències esperades, conceptualment (pel fet que són freqüències absolutes) haurien de ser nombres enters, en l'aplicació del test de khi quadrat es consideren amb decimals si així resulten de l'aplicació de la fórmula corresponent.

• Si es formula simbòlicament el que s'acaba de dir, resulta:
  on F_esp(f,c) representa la freqüència esperada en la casella corresponent a la fila f, columna c; T(f) el total d'observacions en la fila f; T(c) el total d'observacions en la columna c, i N el nombre total d'observacions.

En aquest cas, s'han emprat:

• El nombre total de dades (que ja sabem que sempre fa rebaixar en 1 el nombre de graus de llibertat).
• Els totals de cada fila, però d'aquests totals només són independents tants com files hi hagi menys 1 (perquè la suma de tots aquests totals és el nombre d'observacions).
• Els totals de cada columna, però d'aquests totals també només són independents tants com columnes hi hagi menys 1 (perquè la suma de tots aquests totals és el nombre d'observacions).

• El nombre de graus de llibertat amb què cal aplicar la prova de khi quadrat en l'anàlisi d'una taula de doble entrada és: m · n – 1 – (m – 1) (n – 1) = (m – 1) · (n – 1).
• A la pràctica 3 veurem l'aplicació d'aquest test mitjançant el programa Excel a alguns exemples. No cal fer consideracions teòriques com les anteriors ni en molt casos calcular efectivament les freqüències esperades; n'hi ha prou amb saber interpretar els resultats que ens doni el programa. Això sí, seguidament examinem manualment la conclusió de l'exemple que hem fet servir que, recordeu-ho, adopta un punt de vista diferent al que és habitual quan es fa servir l'ordinador.

• Suposem que volem aplicar la prova amb un nivell de significació del 5 %.
• Hipòtesi nul·la: homogeneïtat en la resposta.
• Freqüències observades: les donades per les quatre caselles; 40, 40, 20, 40.
• Freqüències esperades: les que s'acaben de calcular: 34,3; 45,7; 25,7; 34,3.
• Càlcul de l'estadístic X²:

  

• Hem de consultar la taula de regions crítiques de khi quadrat en el benentès que ara s'ha d'aplicar la prova amb 1 grau de llibertat
  [m = 1, n = 1, graus de llibertat (m – 1) · (n – 1)].
• Llegirem el valor 3,84 a la casella corresponent. Com que el valor 3,87 de l'estadístic X² ultrapassa el valor que ens dóna la taula (però per ben poc), amb el nivell de significació del 5 % podem rebutjar la hipòtesi d'homogeneïtat.
• Adoneu-vos, però, a la vista de la taula, que si es treballés amb més rigor i toleréssim un risc màxim d'error del 2,5 %, no es podria rebutjar la hipòtesi d'homogeneïtat, sinó que podríem admetre que les diferències observades són fruit de l'atzar (i això per a la taula inicial, independentment de les altres consideracions ja comentades al mòdul 3).
• El punt de vista que es presenta a les pràctiques, amb l'ús de l'Excel, ens diu fins a quin nivell de significació es podria admetre l'homogeneïtat i acceptar que les diferències observades entre sexes són fruit de l'atzar.

Tanmateix, en moltes altres ocasions convé estudiar les relacions entre variables anàlogues, sense que es pugui veure una d'elles com a resposta d'una altra. Això passaria, per exemple, si estudiéssim la relació entre les notes qualitatives de català i de castellà d'un conjunt d'alumnes. No sembla adequat pensar que unes qualificacions són resposta de les altres, sinó que pot interessar constatar si es manifesta un grau d'associació significatiu. En cas contrari, es pot dir que les variables estudiades són independents.

Aquesta anàlisi es fa també amb un test de khi quadrat. En aquest cas, s'adopta com a hipòtesi nul·la H₀: la independència de les variables en la població considerada i per calcular les freqüències esperades amb aquest enfocament s'adopta un punt de vista probabilístic. Recordeu que:

• Es diu que dos esdeveniments A i B són independents si i només si:

Pel que fa a la probabilitat, cal estimar els valors que prendrem com a tals a partir de les freqüències relatives que es dedueixen dels totals marginals obtinguts a partir de les dades.

• Si representem per T(f) el total d'observacions a la fila f; per T(c) el total d'observacions a la columna c, i per N el nombre total d'observacions, podem escriure:
• Llavors, sota la hipòtesi nul·la d'independència, la probabilitat p(f,c) de pertànyer a la casella corresponent a la fila f i la columna c s'obté multiplicant les dues anteriors i és:
• Per tant, la freqüència esperada en cada casella, F_esp(f,c), que s'obté multiplicant la probabilitat de pertànyer a la casella pel nombre total de dades observades, és, com en el cas del test d'homogeneïtat:

No hi ha, doncs, cap diferència en l'aplicació pràctica del test. Allò que varia és el comentari que podem fer a la vista de les variables estudiades i del paper que juguen unes respecte a les altres. Acabarem aquest document amb un exemple didàctic (no hi busqueu la finalitat estadística) de l'aplicació de la prova des d'un punt de vista manual. Com que no sempre es disposa de l'ordinador, també convé conèixer aquest procediment, que és diferent del que cal adoptar quan es treballa amb l'Excel.

Exemple

La taula següent dóna el color dels ulls (foscos, verds o blaus) i l'alçada classificada en dues categories (alts i baixos) d'una mostra de 100 individus extreta d'una determinada població. Volem estudiar si, a partir de la mostra recollida, es pot pensar que hi ha relació entre aquests caràcters en la població estudiada.

En aquest cas, cal fer un tractament simètric de les dues variables estudiades. Per calcular les freqüències esperades, es parteix de la taula de l'esquerra, des de la qual, amb la fórmula ja indicada, es poden calcular les freqüències esperades sota la hipòtesi d'independència que el test ens ha d'ajudar a contrastar. La taula de freqüències esperades es transcriu a la dreta:

D'un cop d'ull ja veiem que hi ha molta semblança entre les freqüències observades i les freqüències esperades en cas d'independència, cosa que ens porta a pensar que podem mantenir la hipòtesi nul·la. No hi ha criteris amb aquesta mostra per rebutjar-la.

Com ho hem de fer amb el test de khi quadrat?

• Calculem l'estadístic X² i resulta ser, en aquest exemple, de 0,52.
• El test s'aplica amb 2 graus de llibertat (m = 2, n = 3, (m – 1) · (n – 1) = 2). En aquest cas (vegeu taula), la regió crítica amb un nivell de significació del 5 % està definida pel valor 5,99.
• Com que el valor observat és molt més petit (molt i molt!) que el que determina la regió crítica, no hi ha criteris amb les dades d'aquesta mostra per rebutjar la hipòtesi nul·la.
• Conclusió: en la població estudiada no hi ha cap relació entre l'alçada i el color dels ulls, es tracta de variables independents.