En aquesta pràctica es mostren tres nous exemples d'aplicació de la prova khi quadrat en situacions diverses: una situació d'ajust a un model empíric, una altra en què les freqüències esperades s'ajusten a una distribució de probabilitat i, finalment, analitzar un exemple històricament transcendent d'aplicació de la prova a una situació de no-homogeneïtat en la resposta.
 

• Entendre com cal calcular les freqüències esperades segons l'àmbit de treball
• Saber aplicar àgilment la prova khi quadrat
• Treure les conclusions adequades en cada cas

25 % Insuficient
45 % Aprovat (Suficient o Bé)
20 % Notable
10 % Excel·lent

45 Insuficient
66 Aprovat (Suficient o Bé)
21 Notable
8 Excel·lent

si es calculen les freqüències esperades a partir dels percentatges històrics, la baixada que s'observa és significativa al nivell del 5 %?

• En un full nou, entreu al rang A1:C1 els títols Observades , Percentatges i Esperades.
• Entreu al rang dels valors observats, A2:A5 en aquest cas, els nombres 45, 66 21 i 8.
• Entreu a A7 la fórmula =SUMA(A2:A5), que calcula la suma de tots els alumnes.
• Entreu a B2:B5 els percentatges esperats: 25, 45, 20 i 10.
• Copieu la fórmula de A7 a B7. Naturalment, aquesta suma ha de donar 100.
• Entreu a C2 la fórmula =B2*A$7/100 i copieu-la sobre el rang C3:C5. Observeu com s'han calculat el nombre d'alumnes de cada categoria que trobaríem si se seguís exactament el model teòric.
• Entreu a la cel·la E1 la fórmula =PRUEBA.CHI(A2:A5;C2:C5), que ens donarà el valor p desitjat.

El resultat és, aproximadament, de 0,06. Conclusió: no podem, encara, a la vista de les qualificacions indicades, canviar la hipòtesi nul·la que en aquest exemple està donada pels percentatges que s'han observat en els anys anteriors.

Què passaria si 3 dels aprovats passessin a insuficient?

Imagineu una situació en què una persona ens diu que sap llegir-nos el pensament i ho fa de la manera següent: mostra un gràfic com el que hi ha a continuació,

 

i ens diu que de cada columna triem, com ens sembli, un dels dos signes i el posem en una quadrícula com la següent, on es mostra ja una possible tria:

Llavors, la persona endevina dirà els signes que hem triat i comptarem els encerts. Per exemple, si en la mostra anterior ens diu: "Cor, cor, trèvol, cor, trèvol, cor, cor, trèvol", veurem que n'ha encertat 4 (en negreta).

Si la persona no tingués cap poder especial i digués els signes que li sembla, a l'atzar, el model que dóna el nombre d'encerts que tindria és la distribució binomial amb n = 8 i p = 0,5. L'alternativa, el fet que tingués poders especials, ens hauria de fer observar uns resultats que ens permetessin dubtar significativament d'aquest model. Per això, servirà la prova de khi quadrat. I per aplicar-la, demanarem a la persona que faci l'experiment unes quantes vegades. Posem 50 vegades, per exemple. Com calcularem les freqüències d'encerts esperades?

• Entreu al rang A1:C1 d'un full nou els rètols Encerts, Probabilitat i Esperades.
• Entreu a A2:A10 els nombres 0, 1, 2..., 8, que són els possibles encerts en cada experiment.
• Entreu a B2 la fórmula =DISTR.BINOM(A2;8;0,5;0). Copieu-la a B3:B10. Aquestes són les probabilitats que corresponen a aquests nombres d'encerts amb el model binomial
  B(n=8,p=1/2).

Per calcular les freqüències esperades, multiplicareu cada probabilitat pel nombre d'intents, que són 50.

• Entreu a C2 la fórmula =B2*50 i copieu-la a C3:C10.

Us ha quedat una taula com aquesta:

Vistes les freqüències esperades, que han de sumar més de 5 en cada classe per a una aplicació correcta del text de khi quadrat, resulta que les classes dels rangs C2:C4 i C8:C10 s'han d'ajuntar.

• Entreu a D1:F1 els rètols Classes, Observades i Esperades
• Entreu a D4 el rètol 2 o menys i a D8 el rètol 6 o més. En el rang D5:D7 entreu els nombres 3, 4 i 5.
• Entreu a F4 la fórmula =SUMA(C2:C4) i a F8 la fórmula =SUMA(C8:C10). Així, queden agrupades les freqüències esperades.
• Seleccioneu el rang C5:C7 i premeu Control + C. Seleccioneu el rang F5:F7 i accediu a Edición | Pegado especial | Valores.

Ja hem fet la correcció indicada. Ara imaginem que les freqüències d'encerts observades en l'experiment fet 50 vegades han estat les que es veuen al gràfic següent:

Sens dubte, el vident ha encertat més que l'atzar, però, podem dubtar seriosament del model "la persona diu les respostes a l'atzar (i potser el que passa és que té sort)" que està donat per la distribució binomial i, en abandonar aquest model, pensar que realment pot ser que tingui poders telepàtics?

Cal aplicar la prova de khi quadrat.

• Entreu a G1 la fórmula =PRUEBA.CHI(E4:E8;F4:F8).

El valor p que surt (0,606) és més gran que 0,05. No podem rebutjar, de cap manera, la hipòtesi nul·la i, per tant, acceptem que l'atzar és fonamental en les respostes.

La taula següent presenta els resultats d'un històric i transcendental recull de dades encaminades a estudiar el risc que l'hàbit de fumar comporta per tenir càncer de pulmó:

La prova de khi quadrat ha de servir per estudiar si la resposta de la variable tenir càncer de pulmó o no és homogènia o no respecte a les categories en què es classifica la població pel que fa a l'hàbit de fumar.

• Entreu aquesta taula en un full de càlcul nou.
• Elaboreu una taula de freqüències esperades com ho heu fet a la pràctica anterior. Us ha de quedar així:
  

• Entreu en una cel·la lliure la fórmula corresponent de =PRUEBA.CHI(freq observades;freq esperades).

Veureu que surt un valor p pràcticament nul. Quina interpretació doneu a aquest resultat?