L'estudi de les variables aleatòries ha d'anar acompanyat de la consideració del càlcul de les probabilitats dels esdeveniments que interessa considerar. En el cas de les variables discretes, l'element fonamental de l'estudi són les probabilitats d'uns certs valors (que formen un conjunt de nombres aïllats), els únics valors que es poden observar com a resultat de l'experiment. Per construir el model de probabilitat que permeti fer amb més rigor la tasca d'inferència en experiències que tinguin associada una variable numèrica contínua, heu de tenir en compte diverses idees que es comenten tot seguit.

La idea de continuïtat, diuen els teòrics, és una noció intuïtiva. Fins i tot s'escriu, de vegades, que els nombres reals només són la formalització d'aquesta idea.

En les situacion s d'aplicació real, ens trobem que hem de fer servir la continuïtat quan volem mesurar algunes magnituds (temps, longitud...). Ja hem comentat al mòdul d'estadística descriptiva que:

Per treballar amb una variable numèrica contínua hem de reflexionar al voltant del concepte de precisió en el procés de mesura. En aquests tipus de variables, no tenen sentit les expressions del tipus X=a, sinó que sempre s'ha de pensar en valors localitzats en un interval. Per exemple, si diem que una persona pesa
65 quilos, vol dir que hem arrodonit la mesura als quilos; en realitat, observarem aquest valor per totes les persones que el seu pes estigui comprès entre 64,5 kg i 65,5 kg.

Es pot dir que la necessitat de mesurar i donar forçosament la mesura arrodonida d'acord amb l'instrument de mesura (o amb les circumstàncies de l'estudi que fem) fa que el concepte intuïtiu de continuïtat (i les distribucions de probabilitat contínues) esdevingui teòric i només s'hi pugui arribar com a límit de les distribucions discretes, que són aquelles amb què realment treballem a la pràctica.

En els documents de fonaments del mòdul 4, La probabilitat i Les distribucions de probabilitat discretes, quan s'establia la diferència conceptual entre les distribucions de probabilitat discretes i les contínues, ja es comentava que per a una variable aleatòria contínua no hem de tendir a buscar la probabilitat d'assolir un valor fix, perquè si anomenem X la variable numèrica contínua que estudiem i a és un nombre real, llavors l'esdeveniment X=a no és un observable per a l'experiment. Per això podem prendre gairebé com una definició:

Per a una variable aleatòria contínua, X, i per qualsevol nombre real, a, es compleix p[X=a] = 0, igualtat que hem d'interpretar en el sentit que no és possible observar si la variable X pren un valor exactament igual a a.

La idea que per una variable contínua només podem treballar amb valors arrodonits de la variable fa que, en general, només es puguin estudiar esdeveniments que es puguin representar pel fet que el valor de la variable pertanyi a un determinat interval (o agrupació d'intervals). Els elements fonamentals de treball seran, doncs, les probabilitats de la forma

p[a X b].

De la mateixa manera que a l'hora de cercar quin model teòric correspon a una distribució estadística discreta es confronta el diagrama de barres estadístic amb el diagrama de barres de la distribució de probabilitat que creiem que ha de ser el model segons les circumstàncies de l'experiment, l'intent d'idealitzar el perfil dels histogrames per a les variables contínues ens porta a buscar l'essència de la distribució fent els intervals de classe cada vegada més petits.

En els histogrames el que ens fa veure la freqüència (relativa) de dades en cada interval de classe és l'àrea de cada rectangle. A partir d'aquí, quan passem de dades empíriques al model teòric hom imagina una funció contínua amb la propietat que les àrees sota aquesta corba contínua siguin les que serveixin per determinar els valors de les probabilitats. Així, arribem a l'element de treball fonamental amb les distribucions contínues.

Presentarem, primer de tot, un exemple que ens pot ajudar a entendre els conceptes que seguiran. Com en el cas discret, comencem per la distribució uniforme contínua.

Es tracta del model teòric associat amb experiments en què els valors que pot prendre la variable són tots els d'un interval de la recta real, [a, b], de manera que la probabilitat es reparteix uniformement al llarg de tot l'interval. De seguida se'ns acut que la funció que permet calcular la probabilitat ha de tenir un aspecte semblant al d'aquest gràfic:

I si ha de ser l'àrea sota la corba la que serveixi per calcular la probabilitat, l'àrea tramada ha de ser igual a la unitat (tota la probabilitat).

Un exemple que habitualment donen els tractats d'estadística per a la funció uniforme (i que a casa nostra sovint ens sembla que prové del món de les idees) és el que parla d'una línia d'autobusos que passen exactament cada 10 minuts. Una persona, en acabar el treball, va a buscar aquest autobús. Les circumstàncies de la feina fan que es pugui pensar que arriba a la parada en un moment aleatori. El model de probabilitat que regula l'estona que ha d'esperar l'autobús és la distribució uniforme.

Si us pregunten quina és la probabilitat que aquesta persona s'hagi d'esperar entre 3 i 5 minuts, és pràcticament segur que donareu una resposta intuïtiva: 2/10. Dels 10 minuts de l'interval de màxima espera possible ara se'ns pregunta per un interval de 2 minuts. Com que tots els instants són igualment probables, 2 minuts entre 10 representen una probabilitat igual a 2/10.
En aquest cas, mirant l'anterior figura 1, perquè l'àrea del rectangle tramat sigui la unitat, l'altura del rectangle ha de ser 1/10.
Fixem-nos ara en la figura 2. Quina és l'àrea sota la corba limitada pels valors 3 i 5 que ens interessen?

Figura 2

L'àrea és 2 · 1/10 = 2/10. Aquest valor confirma la intuïció: així es calcula la probabilitat.

I si ara ens preguntem per la probabilitat d'esperar-se entre 3 minuts i 3 minuts i mig? Si fem el dibuix i calculem l'àrea (o fem funcionar la intuïció), contestarem que la probabilitat ha de ser 0,5 · 1/10 = 0,05.
I la probabilitat d'esperar-se entre 3 minuts i 3 minuts i 6 segons? Com que 6 segons = 0,1 minuts, és 0,1 · 1/10 = 0,01.
Ara ja tindríem un gràfic del qual la figura 3 vol donar una idea:

El rectangle que serveix per calcular la probabilitat ja ha esdevingut, quasi, una línia.

I si, finalment, ens preguntem per la probabilitat d'haver-se d'esperar exactament 3 minuts? Ara sí que el rectangle ja és un segment. I un segment no té àrea.
Així arribem, també, a la idea que en una variable aleatòria contínua, p[X=3] = 0.

Però... observeu que de la mateixa manera que ajuntant molts i molts segments (una infinitat) es pot arribar a tenir un rectangle (per això de vegades es diu que l'àrea d'un segment o rectangle infinitament petit no és pas 0, sinó que té un diferencial d'àrea), també hem de constatar que com a reunió de molts i molts esdeveniments de probabilitat 0 (una infinitat de no observables, que podríem dir que tenen cadascun d'ells un diferencial de probabilitat) s'aconsegueix un esdeveniment observable.

L'exercici 6 us permetrà treballar amb una variant d'aquesta situació i confrontar-la amb el model normal que s'exposa més avall.

De manera semblant al que s'ha fet en el cas discret, per a les variables contínues es defineix un element de treball fonamental que dóna la probabilitat acumulada.

Per a una variable aleatòria contínua X es defineix la funció de distribució de probabilitat (o també funció de probabilitat acumulada) que li és associada y = F(x), com aquella funció que té per domini tots els nombres reals i compleix F(a) = p[X a] És a dir, que és la funció que assigna a cada nombre real a la probabilitat acumulada que la variable tingui un valor menor o igual que aquell nombre.

• Adoneu-vos que, a causa de les característiques de les distribucions contínues, que tenen la propietat que p[X=a] = 0, també es podria definir F(a) = p[X < a] o bé, fent servir la notació integral,

A diferència del que passa amb la funció de probabilitat de les distribucions discretes i la funció de densitat de probabilitat de les distribucions contínues, que són elements de treball essencialment diferents, la funció de distribució té característiques semblants en un cas i en l'altre.

En aquest sentit, interessa comentar que la probabilitat que el valor observat de la variable pertanyi a un interval (i ja s'ha dit que aquest tipus de probabilitats són els elements fonamentals de treball amb les distribucions contínues) es pot expressar a partir de la funció de distribuci&oacute:

p(a X b) = F(b) – F(a)

Així ho farem en les pràctiques amb el programa Excel (i també es faria en el treball manual amb taules estadístiques).

Notes:

• Com ja s'ha comentat diverses vegades, la definició conceptual de les distribucions contínues fa que en l'expressió anterior es puguin substituir els signes de més petit o igual per signes de més petit i la igualtat segueixi amb plena validesa, però, tanmateix, en això sí que hi ha diferències amb les distribucions discretes.
• Per altra banda, heu de saber que en alguns textos es comença per la funció de distribució i la fórmula que acabem de donar serveix per definir la probabilitat d'un interval.

Tal com passava en el cas discret, la funció de distribució de probabilitat acumulada té les propietats següents:

• La funció de distribució F té límit 0 quan x tendeix a i límit 1 quan x tendeix a .
• F és una funció monòtona creixent.

Però ara es verifica que:

• La funció de distribució és contínua.

Hem introduït els paràmetres de les distribucions discretes per analogia amb els conceptes estudiats per a les distribucions estadístiques. Anàlogament, per a les distribucions de probabilitat contínues, es defineixen:

• La mitjana (o valor esperat o esperança matemàtica) d'una distribució contínua de probabilitat com el nombre al qual tendiria a acostar-se la mitjana dels valors observats en una llarga sèrie de repeticions de l'experiència a la qual correspon la variable aleatòria que estudiem.
• La desviació estàndard dels valors observats en moltes repeticions de l'experiment tendeix a acostar-se a la desviació estàndard de la distribució de probabilitat.

Si us interessa, podeu consultar la definició formal d'aquests paràmetres.

En els apartats següents es presenten des del punt de vista conceptual dues d'aquestes distribucions (la normal i l'exponencial) i en altres moments del curs, quan escaigui, se'n presentaran d'altres. Alhora us fem saber que en aquest mòdul es mostra la resolució de problemes de probabilitats relacionats amb les distribucions contínues emprant l'Excel.

Podem pensar que una distribució estadística que recull els valors d'una variable contínua correspon al model normal si la idealització del seu histograma (perfil) ens mostra una corba simètrica, amb un únic màxim, que coincideix amb la mitjana. Si la corba normal ha d'ajustar una distribució de dades començarem per l'observació del perfil de l'histograma i recordeu que ja tenim un criteri intuïtiu (coincidència de la mitjana i la mediana) i un altre de numèric (el coeficient d'asimetria, que ha de ser aproximadament 0) per a valorar la simetria d'una distribució de dades empíriques.

La forma de la corba normal es caracteritza també per l'existència de dues llargues cues, i per un cert grau d'apuntament que podem valorar amb el coeficient de curtosi.

La campana de Gauss: gràfica de la funció de densitat de la distribució normal.
Si cliqueu sobre la imatge podreu experimentar

Per representar la distribució normal de mitjana m i desviació estàndard es fa servir la denominació N(m,).

• Per exemple, N(66,6) representa la distribució normal de mitjana 66 i desviació estàndard 6; en aquesta distribució, el 68,3 % de dades del model teòric estan entre 60 i 72; el 95,4 % entre 54 i 78, i finalment, gairebé el 100 % entre 48 i 84.
• De manera semblant, N(165,9) representa una distribució normal de mitjana 165 i desviació estàndard 9.

Els percentatges de dades que, per a la distribució normal, pertanyen als intervals

[m–, m+]     [m–2, m+2]     [m–3, m+3]

són ben coneguts i característics d'aquest model, amb aquests valors aproximats:

68,3 %         95,4 %        99,7 %

Per intuir si el nostre conjunt de dades empíriques té un bon ajustament amb el model normal o no, a més de les altres característiques ja comentades, compararem els percentatges de la distribució estadística amb els que acabem de donar.

La fórmula de la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal és

Observeu que apareix l'expressió d'estandardització de la variable X, cosa que amb la distribució normal té una importància especial.

La distribució normal N(0,1), és a dir, la que té mitjana 0 i desviació estàndard 1, rep el nom de distribució normal estàndard.

Els valors de les probabilitats de la distribució normal estàndard estan tabulats en la majoria de tractats d'estadística i permeten calcular les probabilitats de qualsevol altra distribució normal emprant la propietat que es comentarà seguidament. Tot i que amb el programari iestadístic d'ordinador (l'Excel en el nostre cas) no cal fer servir la distribució normal estàndard com a auxiliar per a altres càlculs, és important conèixer-la, ja que té importants aplicacions conceptuals.

• Si X és una variable aleatòria amb distribució normal N(m,) llavors la variable Z definida per és una variable aleatòria amb distribució normal estàndard.

Adoneu-vos que, com sempre, el procés d'estandardització transforma la distribució en una altra de mitjana 0 i desviació estàndard 1, però, en aquest cas, a més, transforma una distribució normal en una altra del mateix tipus. Aquesta és una propietat fonamental a l'hora de caracteritzar una distribució normal.

Es pot observar empíricament que en moltes ocasions la distribució normal dóna una bona representació dels valors de la distribució binomial B(n, p) que té la mateixa mitjana i la mateixa desviació estàndard. Aquesta constatació es fa des del punt de vista gràfic a la pràctica 3 d'aquest mòdul i també des del numèric a l'exercici 4.

Hi ha una qüestió conceptual molt important que cal comentar abans d'assegurar que podem aproximar els valors de la distribució binomial mitjançant els valors de la distribució normal.

• Recordeu que la distribució binomial és una distribució discreta, associada a la variable aleatòria que fa el recompte d'èxits en n repeticions independents d'una experiència simple i, per tant, les probabilitats fonamentals que s'han de considerar són les del tipus p[X=k] (k nombre d'èxits).
• En canvi, per a la distribució normal és sabut que no podem parlar de probabilitats de cada valor concret, sinó que els elements fonamentals de càlcul són les probabilitats que el seu valor estigui en un determinat interval.
• És per això que el valor X = k de la distribució binomial s'ha d'assimilar al conjunt de valors de la distribució normal que, arrodonits a un nombre enter, ens donen com a resultat k, és a dir, l'interval [k – 0,5, k + 0,5]. D'aquest procediment se'n diu "fer la correcció de continuïtat".

Feta aquesta precisió, convé concretar en quines condicions es pot dir que l'aproximació és correcta: s'ha de complir que np i també nq siguin grans. La bondat de l'ajustament anirà millorant a mesura que augmentin aquests valors.

• Si tenim una variable aleatòria X_b, amb distribució binomial B(n, p), en cas que np i nq tinguin valors grans, podem aproximar els valors de la seva funció de probabilitat mitjançant una variable aleatòria X_n, amb distribució normal, de mitjana µ = n · p i desviació estàndard =
• Perquè l'aproximació sigui correcta s'ha de fer una correcció de continuïtat:

p[X_b = k] té un valor sensiblement igual al de p[k–0,5 X_n k+0,5]

Tanmateix, aquest valor és, en les situacions que ara interessen, aproximadament igual al valor f(k), en què f és la funció de densitat de probabilitat de la distribució normal X_n. Ja sabeu que els valors de la funció de densitat de probabilitat no són probabilitats, sinó que és l'àrea sota la corba el que dóna la probabilitat; tanmateix, és interessant constatar aquesta coincidència.

• El fet que np i nq siguin grans és força relatiu. Tot depèn del grau de precisió que exigim. En alguns textos s'indica que si np > 5 i nq > 5, l'aproximació ja és acceptable. En canvi, d'altres tractats d'estadística exigeixen np 15    i    nq 15 per poder aproximar la binomial mitjançant la normal.

La consideració d'aquesta aproximació de la distribució binomial mitjançant la distribució normal no canvia pas el tipus de problemes en què escau la distribució binomial, només la forma de calcular-ne els valors de manera més àgil i còmoda i, en concret, la possibilitat de calcular-los efectivament.

• La distribució exponencial es pot presentar com a límit de la distribució geomètrica en passar del discret al continu.

Recordeu que la distribució geomètrica modelitza l'experiment que compta quantes vegades hem de repetir una prova per observar un èxit en la realització de determinat fenomen. A diferència dels exemples típics de la distribució geomètrica, com és ara el recompte de tirades d'un dau fins que traiem un 5 o el nombre de cotxes que han de passar fins que en veiem un de color vermell, en determinades experiències la prova pot consistir a deixar passar un període de temps i veure si succeeix alguna cosa. I en el límit, quan passem d'intervals de temps discrets a l'evolució contínua del temps, ens pot interessar constatar en quin instant passa alguna cosa. Així, arribem a la distribució exponencial.

Algunes situacions reals en què escau la distribució exponencial són les següents: l'estudi del temps que duren les piles elèctriques; l'interval de temps entre vehicle i vehicle en una carretera amb trànsit lliure; el temps que passa entre dues comunicacions d'una malaltia infecciosa que s'escampa de manera aleatòria per una població; el temps de vida de les partícules d'un material radioactiu...

Totes aquestes situacions estan caracteritzades pel fet de correspondre a la mesura d'una durada (...fins que passa alguna cosa); com a tal mesura, els seus valors corresponen a una distribució contínua. En tots els casos, allò que caracteritza la distribució és la mitjana d'allò que estudiem.

La funció de densitat de probabilitat que correspon a la distribució exponencial és la següent:  f(x) = k · e – kx on k representa l'invers de la mitjana de la distribució per x0.  0 per a valors negatius de x que no s'han de considerar pel tipus de situacions en què escau aquesta distribució.

Per exemple, si s'ha comprovat estadísticament que la durada mitjana de les piles elèctriques d'un tipus és de 100 hores, la funció de densitat de probabilitat relativa a aquesta experiència és f(x) = 0,01 · e ^{– 0,01x}.

La distribució exponencial permet un càlcul manual (amb calculadora científica) relativament eficaç... però, tanmateix, com en el cas de les altres distribucions contínues presentades, l'Excel facilita eines per a l'estudi d'aquesta distribució:

• A la pràctica 2 podeu veure exemples de situacions en què es calculen probabilitats que corresponen al model exponencial; en particular, us adonareu de la diferència entre la mitjana de la durada de cada element individual (que és el nombre que hem de tenir en compte en el paràmetre de la distribució) i el temps que cal que passi perquè el conjunt d'elements estudiat es redueixi a la meitat.

Ara bé, a l'hora de veure si un conjunt de dades recollides correspon a la distribució exponencial, hem de conèixer el perfil de la funció de densitat d''aquesta distribució del qual a la pràctica 5 se'n dóna la visió gràfica i que, naturalment, té un grau de similitud molt gran amb el diagrama de barres de probabilitat de la distribució geomètrica:

• La variable que s'estudia només pot prendre valors positius.
• Els valors més alts de la funció de densitat es donen per a valors petits de la variable.
• Descens continuat a mesura que augmenten els valors de la variable.
• Els valors inicials són més alts i el descens és més ràpid com més petita és la mitjana de la distribució.

Si s'observen aquestes característiques, estem en situació d'assajar un contrast de les dades recollides amb el model exponencial.

Com a idea inicial començarem suposant que s'ha dividit el rang de valors de la variable X en sotsintervals molt petits, de longitud dx cadascun d'ells.

Per a tots els punts d'un d'aquests intervals, posem per cas el que té per centre x, es pot suposar que el valor de f(x) és constant i, llavors, la probabilitat que el valor de X resulti ser d'aquest interval serà f(x)·dx i, llavors, a la definició de mitjana, en lloc del sumatori de
x_i · f(x_i) que apareix en el cas discret, on la funció de probabilitat és f(x_i) = p(X = x_i), cal que hi posem el sumatori de x · f(x) · dx, entenent que la suma s'ha d'estendre a tots els possibles valors de x.

Finalment, si pensem que els intervals són infinitament petits, el càlcul d'aquesta darrera suma ens porta de ple al càlcul integral i, per això, i per raonaments semblants per als altres paràmetres, per a una distribució contínua amb funció de densitat de probabilitat y = f(x) es defineixen:

Les figures següents il·lustren la quasi coincidència dels valors de p[k–0,5 X_n k+0,5]   i   f(k) per a una distribució normal X_n i la seva funció de densitat de probabilitat f.

La probabilitat de l'interval [k–0,5, k+0,5] és l'àrea ombrejada en la figura de l'esquerra, on la línia més gruixuda representa la gràfica de la funció y = f(x).

Aquesta àrea es pot considerar pràcticament igual, en les situacions que ens interessen, a la del rectangle ombrejat a la figura de la dreta.

Ara bé, aquest rectangle té:

• base igual a la unitat (l'interval de valors que s'arrodoneixen en el valor k)
• altura el valor de la funció de densitat per x = k, és a dir f(k)

i, per tant, el valor numèric de l'àrea d'aquest rectangle coincidirà amb el valor f(k).

La distribució exponencial permet un càlcul manual (amb calculadora científica) relativament eficaç

El càlcul integral permet establir una fórmula per a la funció de distribució (de probabilitat acumulada) de la distribució exponencial.

Com que aquesta distribució només es considera per a valors positius, en què f és la funció de densitat i F la funció de distribució, és:

I d'aquí la funció de distribució (probabilitat acumulada) de la distribució exponencial és:

F(x) = 1 – e^–kx per x 0;    F(x) = 0 per x < 0.

• Unes piles d'un determinat tipus duren de mitjana 100 hores; quin tant per cent de la producció es pot estimar que durarà menys de 30 hores?

I semblantment per a la qüestió:

• Per al conjunt de piles anteriorment esmentat, quin percentatge de piles es pot esperar que duri entre 75 i 100 hores?

Cal calcular F(100) – F(75) i passar la resposta a tant per cent.

A l'exercici 2 us demanem que feu càlculs en una situació pràctica que correspon al model exponencial. Ara ja sabeu que ho podeu fer amb la calculadora científica, però, tanmateix, us recomanem que arribeu al resultat amb l'Excel.