En aquesta pràctica es mostra la manera com la distribució normal permet calcular els valors de les probabilitats associades amb la distribució binomial en el cas que el nombre de repeticions n sigui molt gran. En aquesta situació, el programari estadístic no pot calcular directament les probabilitats associades amb la distribució binomial.

Convé que reviseu, si no les teniu clares, les idees conceptuals relatives a aquesta aproximació al document de fonaments.

Els objectius d'aquesta pràctica són:

• Reflexionar sobre l'aproximació de la distribució binomial per la normal.
• Fer càlculs de probabilitats i de valors crítics amb l'Excel fent servir l'aproximació indicada.

El model de probabilitat per aquesta experiència és la distribució B(n = 300, p = 1/6). També sabem que q = 5/6. El programa Excel permet trobar valors exactes de la distribució binomial per a valors de n relativament grans, molt més que altres programes. Tanmateix, el fet d'emprar l'aproximació mitjançant la normal permet fer els càlculs que interessen molt més àgilment.

Com que n · p = 50 i n · q = 250, es compleixen amb escreix les condicions per poder emprar l'esmentada aproximació amb mitjana 300/6 = 50 i desviació estàndard el valor que resulta d'aplicar la fórmula corresponent. Passem a fer tots els càlculs necessaris:

• Obriu un full nou.
• Podeu entrar a la cel·la A1 la n de la binomial, que és 300, i a la cel·la A2 la p (probabilitat d'èxit), que és 1/6. Ara bé, haureu d'escriure-ho com una fórmula =1/6, perquè, altrament, sense el signe = l'Excel ho entendria com una data. També podeu fer-ho donant prèviament format numèric a la cel·la perquè no ho interpreti com una data (Formato | Celdas | Número | Número i fixant 3 o 4 posicions decimals) i llavors ja podreu escriure 1/6.
• Llavors a la cel·la A3 posarem la mitjana de la distribució normal associada, amb la fórmula =A1*A2.
• A la cel·la A4 hi posarem la desviació estàndard del model normal que ens cal fer servir. Ho farem amb la fórmula =raíz(A1 * A2 * (1–A2) ) (que, tanmateix, el programa escriurà sense l'accent).

Per resoldre l'apartat a pensant en la correcció de continuïtat tindrem:

p[50 sisos] = p[49,5 X_n 50,5]

Per tant:

• Entreu a B1 el nombre 50,5 i a B2 49,5.
• Entreu a C1 la fórmula =DISTR.NORM(B1;$A$3;$A$4;1). Aquesta és la funció de l'Excel per calcular la probabilitat acumulada d'una normal fins a B1, amb una mitjana igual a A3 i amb una desviació estàndard igual a A4. Copieu la fórmula a C2.
• Entreu a C3 la fórmula =C1-C2 i ja teniu la solució.

p[50 sisos] = p[49,5 X_n 50,5] = 0,530871 – 0,469129 = 0,0617= 6,17 %

D'una manera similar, fent servir els valors 44,5 i 54,5 podeu resoldre l'apartat b:

p[entre 45 i 54 sisos] = p[44,5 X_n 54,5] = 0,56 = 56%

Per als apartats c i d cal calcular valors crítics, és a dir, emprar la funció de l'Excel DISTR.NORM.INV.

Vegem quins valors de la probabilitat hem de considerar per respondre les dues qüestions.
Per a l'apartat c hem de considerar quin és el valor de la variable que correspon a una probabilitat acumulada del 95 % o superior, o bé 0,95.

En canvi, per respondre la qüestió d hem de pensar en l'esdeveniment contrari. Si ha de ser del 95 % o més, la probabilitat de treure com a mínim a sisos, és a dir, que el nombre X de sisos ha de ser superior o igual a a, tindrem p[X a] 0,95. Això equival, estrictament pensant en l'esdeveniment contrari a p[X<a] < 0,05. El procediment indicat ens donarà per la probabilitat 0,05 el valor a tal que p[X_n a] = 0,05, cosa que en una distribució contínua equival a l'anterior. Aquest valor a no serà enter, però ens permetrà decidir el nombre de daus que ens interessa considerar.

• Entreu a D1 i a D2 les probabilitats corresponents, és a dir, 0,95 i 0,05.
• Entreu a E1 la fórmula =DISTR.NORM.INV(D1;$A$3;$A$4). Aquesta funció de l'Excel calcula el valor crític a per a una probabilitat 0,95 (cel·la D1), una mitjana igual a A3 i una desviació estàndard igual a A4. El resultat és 60,61748046.
• Copieu la fórmula a D2 i sortirà 39,38251954.

Ara fa falta reflexionar sobre el fet que aproximem una distribució discreta (nombre de sisos) mitjançant una distribució contínua. El primer dels dos valors obtinguts ens diu que
p(X_n < 60,6175) = 0,95. D'ací s'infereix que p(X 60) < 0,95 i que p(X 61) > 0,95. Podeu deduir, doncs, que la previsió correcta amb un 95 % com a mínim de probabilitat d'encert és aquesta: "Sortiran 61 sisos o menys" pel que fa a l'apartat c.

Semblantment, tenim que p(X_n < 39,3825) = 0,05. Passant a valors enters, si X és el nombre de daus, p(X < 39) < 0,05 i p(X < 40) > 0,05. Si ara considerem l'esdeveniment contrari, tindrem p(X 39) > 0,95 i p(X 40) < 0,95. Per tant, la resposta que hem de donar a l'apartat d és: "Sortiran 39 sisos o més".

• Deseu el llibre d'Excel com el teniu en aquest moment perquè us serà útil a la pràctica següent.