En aquesta pràctica es resoldrà un problema complet de probabilitats que intenta reproduir una situació pràctica que es pot modelitzar mitjançant la distribució normal de probabilitat.

Es presenta un exemple que cal enfocar des de dos punts de vista, designats respectivament com a càlcul de probabilitats, en què farem servir com a element de treball la funció de distribució (probabilitat acumulada), i com a recerca de valors crítics.

Els objectius són:

• Reconèixer un model que té d'aplicació la distribució normal.
• Calcular probabilitats d'acord amb el model normal.
• Calcular els valors crítics.

Una fàbrica de gènere de punt vol fer samarretes amb referències a un grup de rock de moda, i les pensa vendre entre el jovent de la zona. Vol fer tres talles estàndards: L, XL, XXL. Atès que totes les samarretes són prou amples, el que fa optar per una mida o altra és l'alçada.

Per això, ha encarregat un treball estadístic per decidir quin és el model que permet estudiar la distribució de les alçades dels compradors potencials i s'ha arribat a la conclusió que és pertinent la distribució normal, amb mitjana 164,5 cm i desviació estàndard 9,2 cm.

1. Suposem que la fàbrica ja té els patrons fets i que recomana la talla L fins a 160 cm, la talla XL fins a 180 cm i la talla XXL per als més alts. Amb aquestes indicacions, quina proporció de samarretes de cada tipus és raonable que es fabriqui?
2. Suposem ara, a la inversa, que per raons de mercat l'empresa creu convenient fabricar el 10 % de samarretes de la talla L, el 65 % de la talla XL i el 25 % restant de la talla XXL. Quins són els límits d'alçades amb què s'ha de dissenyar cada talla?

• Obriu un full de càlcul nou.
• Escriviu a les cel·les A1 i A2 els nombres 160 i 180.
• Situeu-vos a la cel·la B1 i activeu Insertar|Función. Escolliu, entre les funcions estadístiques, DISTR.NORM (aquesta funció dóna els valors de la funció de distribució –probabilitat acumulada– de la distribució normal).
• Al quadre de diàleg corresponent que s'obrirà, poseu A1 a X (valor del qual voleu calcular la probabilitat acumulada), 164,5 a Media, 9,2 a Desv. estándar (dades de la distribució normal amb què treballeu) i, finalment, VERDADERO o bé 1 a Acum. (cosa que vol dir que fareu servir la funció de distribució que dóna la probabilitat acumulada).
• Accepteu i observeu la fórmula que ha quedat escrita: =DISTR.NORM(A1; 164,5; 9,2; 1) Ja sabeu que, alternativament, també hauríeu pogut escriure directament la fórmula a mà a la cel·la corresponent.
• Copieu la fórmula a la casella B2. Observeu les probabilitats que ha calculat.

Recordeu que per a les distribucions contínues, tant se val parlar de p[X < a] com de
p[X a], perquè p[X = a] = 0. A partir dels resultats que us han sortit, tenim:

  p(talla L) = p[X <1,60] = 0,312, el resultat que hi ha a la cel·la B1, és a dir, el 31,2 %.

  p(talla XL) = p[1,60 < X < 1,80] = p[X < 1,80] – p[X < 1,60] = 64,2 % (cel·la B2 - cel·la B1).

  p(talla XXL) = p[X > 1,80] = 1 – p[X < 1,80] = 4,6 % (1 - cel·la B2).

Actuareu de manera semblant al que s'ha explicat abans, però amb la funció de l'Excel DISTR.NORM.INV (que vol dir la funció inversa de la funció de distribució que dóna la probabilitat acumulada; donat un nombre entre 0 i 1 retorna el valor que té aquella probabilitat acumulada).

• Escriviu a les cel·les C1 i C2 del full anterior els nombres 0,1 (equivalent al 10 %) i 0,75 (que resulta de fer 75 % = 10 % + 65 %).
• A D1 inseriu la funció indicada posant a Probabilidad la referència a la cel·la C1 i a Media i Desv. est. les dades corresponents de la distribució normal de l'exemple. També podeu escriure directament la fórmula resultant, que és =DISTR.NORM.INV(C1;164,5;9,2).
• Copieu la fórmula a la cel·la D2.

Comproveu que els resultats que han sortit són, respectivament, 152,7 i 170,7. Aquestes alçades que llegim directament en pantalla són les que delimiten les talles, perquè representen els valors que compleixen p[X < 152,7] = 0,1 i p[X < 170,7] = 0,75.