Agulles: el mètode de Buffon
Georges Louis Leclerc (1707-88), Compte de Buffon, va ser un naturalista i matemàtic francès que va demostrar una curiosa propietat sobre el llançament d'agulles i que relacionava una qüestió de probabilitat amb el nombre Pi.

Imagina un conjunt de línies paral·leles a una distància D i unes agulles de longitud L que llencem a l'atzar sobre les línies.

La probabilitat de que una agulla toqui o caigui sobre una línia és:

Això vol dir que si, per exemple, l'agulla mesura el mateix que la separació entre les línies aproximadament un 63% de les vegades l'agulla tocarà alguna línia i que si la distància és el doble que la longitud de l'agulla això passarà un 13 %, aproximadament, de les vegades.

Aquesta propietat ens dóna curiosament una manera de calcular aproximacions de Pi llençant agulles. Només cal tenir en compte la mesura de l'agulla i la separació entre les línies. Fent una mica d'àlgebra amb la fórmula anterior podem veure que:

Així si triem una distància doble de la longitud de l'agulla només cal multiplicar per 2 el quocient entre tirades i encerts i si la distància és doble només caldrà multiplicar per 4 aquest quocient.

No és difícil provar amb un paper pautat i un llumins tallats convenientment però serà més fàcil fent servir aquest applet java. Un petit "defecte" de la'pplet és que no mostra la quantitat d'encerts fets.

Si t'ho estimes més també pots provar aquest altre applet que funciona més ràpid perquè tira les agulles "de cop" (cosa que a la realitat no es pot fer).

També pots provar amb aquest programa fet per Antonio Varela i que hem baixat de la seva web "La ciencia es divertida" ( http://www.cnice.mecd.es/mem2001/ciencia/buffon.html )

 

Dards: el mètode de Montecarlo
Imaginem que tenim un quadrat i dintre un cercle inscrit.

Si tirem dards a aquesta diana amb els ulls embenats alguns (només ens hi fixarem en els que es clavin dins del quadrat) quedaran dins del cercle hi altres fora. Sembla clar que són més els que aniran dins que els que no. Però quina és la probabilitat de que es clavin al cercle? Serà la relació entre les àrees.

No és difícil veure que l'àrea del quadrat és 4 vegades l'àrea del quadrat del radi:

Si recordem que la fórmula de l'àrea del cercle és A = Pi · r2, només cal fer una mica d'àlgera per calcular aquesta probabilitat.

D'aquesta manera tenim, com abans amb les agulles, un nou mètode probabilístic de calcular el valor de Pi. Només cal multiplicar per 4 la probabilitat d'encert. Comencem a tirar dards i comptem quants els que queden dins del quadrat queden, a més, dins del cercle.

Aquí tens un petit applet que et permetrà realitzar milers de tirades ràpidament encara que  la lectura dels encerts i el total de tirades no es veu sencera: