En el procés històric de conformació de les numeracions
escrites, els sistemes additius han estat no només els més abundants, sinó
els que més han resistit el pas del temps. Només quan els sistemes
posicionals van mostrar els seus grans avantatges en el càlcul van ser
substituïts, tot i reunir altres qualitats importants com la brevetat
d’escriptura de nombres grans, la limitació de signes a utilitzar i la “i·limitació”
en la grandària de les quantitats a representar. ¿No tindran els sistemes
additius, doncs, algunes característiques més “naturals” que els
posicionals? Quines seran aquestes característiques?
Els sistemes additius tenen unes limitacions de
caràcter matemàtic prou comentades ja, però conceptualment són més
fàcils d’aprendre. Hi ha un obstacle que no salven: la manca de
correspondència amb el sistema oral que, com es va veure en el cas del
comptatge, només trobem amb un alt nivell d’ajustament entre la llengua
xinesa i la seva escriptura gràfica (on, per cert, no existeix tampoc
tal correspondència entre els numerals de l’1 al 9, ja que cadascun té
signe lingüístic o gràfic propi).
L’ús de diferents formes de representació numèrica
proporciona diferents visions del problema de la transcripció escrita de
quantitats i aborden aspectes parcials també diferents. Per tant
l’estudi de les relacions entre diverses formes representacionals
(personals, històriques...) ha de tenir una important repercussió en la
formació dels conceptes implicats.
|
No hi ha relació directa entre el símbol
i el significat en els numerals indoaràbics (els habituals
símbols del 0 al 9) usats encara a Occident. El vincle
existent entre nombre i numeral en aquest sistema és
convencional. No passa això amb els sistemes més primitius
que utilitzaven un principi de repetició de símbols en el
que no hi havia relació entre el lloc ocupat pel símbol i el
valor. Així, per exemple, els numerals jeroglífics egipcis
constituirien un sistema de numeració intermedi molt útil
perquè els nens petits l’aprenguessin abans d’arribar a
captar la major abstracció del nostre sistema decimal en el
que el valor està relacionat amb el lloc que ocupen les
xifres.
D. Pimm (1999) |
Tot i així la inclusió de sistemes additius en les
primeres passes en l’aprenentatge dels nombres només adquireix un sentit ple
si el procés didàctic contempla el treball amb models notacionals propis,
informals, elaborats per la mateixa mainada. Si no és així més aviat podrien
tenir un efecte distorsionador o de complexitat afegida a la inherent al
sistema posicional decimal.
Una cosa que sabem és que l’alumnat no arriba
a l’escola conceptualment en blanc sobre el món dels nombres. Els nombres
escrits que ha conegut des de sempre, en el nostre entorn cultural, són els indoaràbics. Per tant els nens i les nenes, de la mateixa forma que amb la
numeració oral, tindran uns preconceptes sobre aquesta. Per exemple, que les
numeracions orals i escrita es correspondran d’una forma més directa de la
que ho fan en realitat o que quantes més xifres té un nombre més gran serà
aquest (Lerner
i Sadovsky, 1994). Per tant, tenim unes bases sobre les que treballar
directament amb el nostre sistema sense haver-lo de transformar en un altre
(tal com es feia en dècades anteriors intentant treballar inicialment amb
bases diferents a deu). Conèixer aquests preconceptes, punts d’encaix,
d’obstacle... podrà ajudar a preparar millors seqüenciacions didàctiques que
ajudin a la construcció i reconstrucció personal de les regles del sistema
posicional.
Això no implica que en edats superiors no pugui ser
convenient veure sistemes additius (o amb bases diferents) que ajudin a
formalitzar millor la comprensió completa del sistema posicional.
El sistema posicional i els seus problemes
El sistema posicional de numeració és el tipus de
codificació numèrica que s’ha acabat imposant pels seus grans avantatges
matemàtics, tant en els que es refereixen als aspectes de representació com
en els que afecten a la seva possibilitat de manipulació en el càlcul.
Aquests avantatges manipulatius són un dels factors que, segurament, imposen
la seva ràpida presentació en el currículum escolar. El sistema notacional i
la possibilitat d’operar amb els símbols seran noves “cares” del polièdric
concepte de nombre que el nen o la nena s’anirà formant a partir de les
seves experiències, observacions i accions.
|
... la notació numèrica posa en joc processos
constructius, ja que afavoreix abstreure, visualitzar i
redescriure regularitats, relacions i estructures conceptuals en
el domini matemàtic.
Scheuer i Germano (2005) |
Però el sistema posicional té una sistemàtica complexa . Ens
podem fer una primera idea només observant un problema relacionat amb la doble
direccionalitat que ens imposa la lectura de nombres grans: en el sistema
posicional els nombres es llegeixen d’esquerra a dreta i, quan són relativament
petits, no tenim gaire problema; però quan la grandària del nom és relativament
gran hem de fer una primera ponderació de lectura de dreta a esquerra per fer
els agrupaments de tres en tres que ens permetin fer el pas dels numerals
gràfics als orals, en els que hi trobem una mena de base complementària en la
base mil organitzadora dels grups, no present en l’estructura profunda de la
construcció escrita. Les dificultats relacionades amb la lectura d’aquests
nombres grans (lligat també a les de memoritzar-los) fa que moltes vegades els
desglossem en grups a l’hora de dictar-los, com quan, per exemple, dictem el DNI
o el telèfon. Una segona idea sobre el grau de complexitat del sistema
posicional és que entre els malalts d’acalcúlia (malaltia que ja havíem
esmentat en el capítol de comptatge i que afecta a la capacitat d’ús dels
nombres i del càlcul), les nocions associades al valor posicional eren de les
primeres en quedar afectades per la malaltia .
H. Ginsburg, al anys 70 del segle XX, diferencia tres fases
en el desenvolupament de la comprensió del valor relatiu a la posició:
-
S’escriuen correctament els nombres sense saber ben bé
per què.
-
Es comprèn que hi ha determinades formes d’escriptura que són
errònies (per exemple 31 en comptes de 13).
-
Es comprèn el significat del valor relatiu, entenent, per
exemple, que a 13 l’u representa 10.
Ginsgburg va apuntar que no són molts els nens i nenes de
primària que arriben a la tercera fase. Un dels motius es refereix, una vegada més, a
les interferències de les formes de construcció dels numerals orals. Un dels
exemples que podem haver observat alguna vegada és quan un nombre com tres
mil vuit-cents trenta quatre s’escriu així: 3000800304. Les regles de la
numeració escrita posicional no presenten les irregularitats del comptatge oral (tan en
l’ús de signes semàntics com en el de les operacions aritmètiques que es fan amb
ells) però tenen unes estructures operacionals menys clares, més amagades, ja
que les multiplicacions i sumes que fem amb ells per reconstruir la quantitat
representada no són gens evidents.
Hi ha altres interferències en l’aprenentatge de la numeració
posicional escrita.
Lerner i Sadovsky (1994) recullen casos d’una investigació feta a Argentina
on s’observa que els nens i les nenes de 1r de primària aprenen bé el que les
autores de l’estudi anomenen nusos de la numeració (100, 1000...) però tenen
problemes en la construcció dels que estan als intervals entre nusos. Per
exemple algun nen/a que escriu correctament el 100 escriu el 500 com a 105, el
300 com a 103, etc. Un cas com el cinc mil s’escriu algunes vegades de la
següent manera: 51000. En aquest estudi també es recullen molts casos de
escriptura com el del 3834 comentat abans.
Es pot observar, en part, el domini de les regles del sistema
posicional mirant la capacitat d’ordenació que presenten els nens i nenes. En
general podem pensar que l’alumnat elabora unes regles pròpies observant
regularitats com que “quantes més xifres té el nombre més gran és” o bé que “la
xifra més a l’esquerra és la que mana”. Proves fetes a Anglaterra a la dècada
dels 80 van mostrar que més del 90% de l’alumnat d’11 i de 15 anys ordenava
correctament nombres de tres i quatre xifres. Altres proves fetes amb infants de
10 anys feia baixar el percentatge d’encerts fins al 65% quan els nombres eren
més grans (de 5 a 7 xifres). Però la capacitat d’ordenar no és, ni de bon tros,
l’únic indicador del domini del concepte de posició relativa.
També als anys 80 trobem noves experiències fetes per
Berdnarz i Janvier amb nens i nenes entre 8 i 9 anys. Es mostrava dos casellers
de tres cel·les, un de ple, formant el nombre 423 i un altre de buit.
Cada nen jugava una “partida” amb l’investigador. El joc
consistia en tirar un dau, numerat del 0 al 5, i anotar els nombres en un
paper per utilitzar-los quan convingués. L’objectiu era aconseguir un nombre
més gran que 423. Els resultats van ser els següents:
-
un 15% no va ser capaç d’obtenir un nombre més gran
-
un 40% ho va aconseguir anotant nombres al caseller
només quan obtenien un més grans que els que ja hi havia, sense fer
servir ni el zero ni l’u.
-
un 35% va emprar estratègies com esperar a que sortís
un 5 per posar-lo a l’esquerra i, després refusar zeros i uns.
-
un 10% van mostrar una bona comprensió amb
estratègies diverses com utilitzar 0 i 1 quan es tenia el 5 a l’esquerra
o utilitzant el 4 si a les desenes o les unitat ja s’havien superat el 2
o el 3.
Altres experiències intenten fer observacions
relacionades amb el càlcul operacional . Per exemple en proves en les que es
mostrava un “comptador” de persones que havien entrat a un camp de futbol
una tercera part d’alumnat de 12 anys, i la meitat del de 10, va donar
respostes errònies.
|
Comptador "abans" |
| 0 |
6 |
3 |
9 |
9 |
|
|
Altre indicador sobre el grau de domini i comprensió del
sistema posicional ens el dóna el treball amb la descomposició i
recomposició de nombres. En un estudi de l’any 1963 de Flournoy, Brandt i
McGregor es van obtenir aquests resultats amb alumnat de 13 anys:
|
Qüestió (la resposta correcta està marcada) |
Respostes correctes |
Què significa 25 centenes i 4 desenes?
- 25040
- 2540
- 2504
- Cap de les anteriors
|
Menys del 25% |
Quina d’aquestes frases significa 15320?
- 15320 desenes
- 15 centenes i 320 desenes
- 1532 desenes
- 1532 desenes i 20 unitats
|
36% |
Quina xifra equival a 2 milers, 35 centenes, 18 desenes i 6
unitats?
- 3486
- 5386
- 5686
- Cap de les anteriors
|
17% |
En una altra prova posterior del mateix estil però més
senzilla (7 centenes, 5 desenes i 12 unitats, fan en total? [762] ) un 60%
dels nens i nens d’11 anys van respondre correctament, però al voltant d’un
20% van contestar 7512.
Els càlculs per estimació, a més d’altres factors com
l’assimilació de pròpies experiències o l’aplicació d’estratègies com els
arrodoniments, exigeixen un bon grau de domini del sistema posicional. Per
tant també ens podran donar alguna pista sobre els nivells que tenen els i
les alumnes. En proves fetes a Anglaterra i Gal·les amb nois i noies de 15
anys només dos de cada tres van saber argumentar perquè el resultat d’una
suma (1056+762) que havien fet amb calculadora era raonable. Una observació
tangencial que es va fer era que gran part de l’alumnat tendia a arrodonir
per truncament, tallant per l’esquerra, en el sentit de lectura; així 97
s’arrodonirà amb 90 en comptes de fer-ho amb 100.
Una suma que dóna molt de joc, fins i tot amb gent
adulta, és anar dictant o escrivint un a un la següent llista de nombres i
demanar la suma mental:
1000+40+1000+30+1000+20+1000+10
La majoria de gent respon 5000 i queda molt sorpresa quan
feta a mà s’obté 4100. Els pas de 4090 més 10 es fa moltes vegades
contestant 5000.
