En aquesta pràctica analitzareu el llibre d'Excel anomenat Probabilitat.xls que trobareu en el subdirectori docs. Aquest llibre conté tres fulls, anomenats Atzar, Binomial, Binomial i Normal que tracten diferents aspectes del càlcul de probabilitats. Per poder comprendre millor com han estat fets, és convenient que desprotegiu els fulls i analitzeu les seves fórmules i macros. 

Si recupereu el llibre Probabilitat.xls, us trobareu amb una pàgina inicial que serveix de menú dels diferents fulls, amb uns botons que us conduiran a cadascun dels fulls.
 

Atzar

Aquesta és la primera aplicació disponible.
 

Consideracions prèvies

Amb aquesta aplicació, l'usuari podrà simular el llançament de fins a  tres daus. Si es tria el llançament d'un sol dau, es podrà analitzar el cas de les distribucions uniformes, en què tots els valors del dau tenen la mateixa probabilitat de sortir. Com que el dau pot tenir diferents casos possibles, pot servir també de suport i comprovació del càlcul de probabilitats per a diferents resultats teòrics. En el cas que es triï un màxim de dos resultats possibles per al dau, es pot identificar la simulació amb el llançament d'una moneda. En el moment de fer servir més d'un dau, es veu que la suma dels diferents resultats dels daus ja no té un mateix comportament. Es pot analitzar, intuïtivament i gràfica quins esdeveniments tenen més probabilitat de sortir, si hi ha esdeveniments amb igual probabilitat, quins són els menys probables, etc. En aquells casos que es cregui convenient, es podrà comparar la probabilitat teòrica, calculada a part, amb la distribució de freqüències relatives.
 

Estructura del full

Les cel·les del rang H3:J3 serveixen per entrar el nombre de valors diferents que pot tenir cadascun dels daus (de l'1 al 6). Si en deixem alguna en blanc significarà que no fem servir el dau corresponent. En la cel·la M3 entrarem el nombre de vegades que volem llançar els daus. Totes aquestes cel·les tenen activada la validació de dades per tal que no sigui possible introduir-hi valors incorrectes.

En la taula de l'esquerra podem trobar una primera columna on es troben els possibles valors de la suma, com a màxim de 3 daus convencionals. En les columnes següents hi trobem les cel·les on, efectivament es calculen les sumes dels diferents valors que van sortint i les seves freqüències relatives. En la columna de les probabilitats podem introduir, si volem, la probabilitat teòrica de cada suma, per poder comparar-les amb les freqüències relatives.

Totes les dades d'aquesta taula es representaran en el gràfic que teniu a la dreta.

El botó Llançaments està associat a una macro que genera nombres aleatoris per tal de simular el llançament dels daus tantes vegades com ho indiqui la cel·la M3, segons els valors introduïts en el rang H3:J3.

El botó Daus nous serveix per tornar a començar des del principi la simulació.

El botó Menú principal fa que torni a aparèixer la pàgina inicial.
 

• Premeu el botó Daus nous, entreu en la cel·la H3 un 6 i deixeu en blanc les cel·les I3 i J3. D'aquesta manera començarem per la simulació d'un sol dau convencional.
• Entreu 500 en la cel·la M3 i premeu el botó Llançaments.
• Observeu com es van fent els 500 llançaments i com el gràfic ens indica les diferents freqüències relatives de cada valor. Si torneu a prémer el botó Llançaments es tornaran a simular 500 llançaments més, els resultats dels quals s'aniran acumulant als anteriors. Podeu repetir aquest procés variant, si voleu, el nombre de llançaments (M3).
• Entreu a cada cel·la del rang E4:E9 la probabilitat de cada valor. En el cas d'un sol dau de 6 valors possibles, la probabilitat de cada valor és igual a 1/6.
• Observeu la semblança numèrica i gràfica entre la freqüència relativa i la probabilitat, simulant, fins i tot, més llançaments.
• Premeu el botó Daus nous i introduïu el nombre 6 a les cel·les H3 i I3. En aquest cas simulareu el llançament de dos daus, analitzant les sumes dels diferents valors que van sortint.
• Repetiu tot el procés anterior i observeu que ara les barres no tendeixen a igualar-se. Això és degut a que no totes les sumes tenen la mateixa probabilitat de sortir.
• Feu més simulacions amb tres daus i variant també els valors possibles de cada dau.

Binomial

Tornant al menú principal i prement el botó Binomial arribeu a una nova aplicació.
 

Consideracions prèvies

La distribució binomial es presenta quan analitzem una experiència aleatòria repetida n vegades que té únicament dos possibles resultats (cara o creu, encert o fracàs...), i es realitza en les mateixes condicions repetidament i de manera independent. Si la probabilitat que es presenti un dels possibles resultats és p i que es presenti l'altre és q , es verifica que p + q = 1. És una variable aleatòria discreta. 

En aquest full podeu entrar els diferents valors de n i p per tal que calculi les diferents probabilitats per als diferents valors de la variable. A més, podeu simular una repetició d'experiments aleatoris que s'ajusten teòricament a una distribució binomial i comprovar gràficament el grau de semblança entre la distribució de probabilitats (teoria) i les freqüències relatives corresponents (pràctica).
 

Estructura del full

A les cel·les G3, H3 i K3 hi entrarem els valors de n , p  i  el nombre de vegades que volem repetir la simulació, respectivament. A partir d'aquests valors, el full va calculant tot el necessari amb les fórmules que podeu observar si reviseu les cel·les corresponents.

El botó Cas nou fa que comencem des del principi la simulació. El botó Proves activa la simulació, repetint l'experiència tantes vegades com s'indica en la cel·la K3. El botó Menú principal torna a la pàgina inicial.

En tot moment, qualsevol modificació del full es veu reflectida en el gràfic associat, que serveix, bàsicament, per comparar les probabilitats amb les freqüències relatives de la simulació.

Per tal que s'entengui millor el significat i la utilitat d'aquesta aplicació, plategem una situació que s'ajusti al model de distribució Binomial:

Suposem que d'un jugador de bàsquet sabem que el seu percentatge d'encerts en el llançament de faltes personals (tirs lliures) és del 80%. En un entrenament, es disposa a llançar 5 tirs lliures seguits. Ens podem preguntar quina és la probabilitat que té d'encertar tots els llançaments, o que n'encerti 4, o 3, o 2 o 1 o, fins i tot, que els falli tots cinc.

Aquesta és una situació típica de càlcul de probabilitats en què podem fer servir el model Binomial. A continuació fareu servir l'aplicació per calcular aquestes probabilitats.

• Premeu el botó Cas nou.
• Entreu a la cel·la G3 un 5 (són els 5 intents) i a la cel·la H3 0,8 (el 80% d'encerts). Tot seguit apareixen les probabilitats de cada nombre d'encerts possibles (rang E3:E8). Així doncs, veiem que la probabilitat d'encertar-ne 0 és 0,00032, és a dir 0,032%. Com podeu observar és gairebé impossible els falli tots 5. Si us hi fixeu bé, el més probable és que n'encerti 4 i, per tant, en falli 1. La cel·la E7 ens indica que la probabilitat que això passi és 0,4096, és a dir, 40,96%.  Les probabilitats de tots els possibles encerts estan representades en el gràfic del costat.

• Entreu a la cel·la K3 el número 1000. D'aquesta manera simulareu que feu repetir al jugador 1000 vegades el llançament de 5 tirs lliures.
• Premeu Proves i observeu tant els resultats numèrics com la seva representació gràfica per comprovar fins a quin punt la teoria i la pràctica s'assemblen.
• Podeu seguir fent més repeticions per acabar de comprovar els resultats.

Aproximació de la binomial per la normal

A la pràctica següent fareu servir el full Binomial i Normal. 
 
 

La normal és una variable aleatòria de tipus continu que es presenta molt freqüentment a la naturalesa. La funció de densitat de la distribució és: 

i la seva forma és la d'una campana. És coneguda com "la campana de Gauss". 

Un important enunciat d'estadística garanteix que la distribució normal (continua) s'aproxima a la distribució binomial (discreta) d'igual mitjana i desviació estàndard quan el nombre de vegades que es realitza l'experiència és gran (un possible criteri pot ser np ³ 5  i  nq ³ 5). 

Estructura del full

Les columnes V, W, X i Y contenen valors i fórmules necessaris per al funcionament del full. Si voleu analitzar-les, cal que desprotegiu el full i que canvieu el color dels caràcters d'aquestes columnes perquè es pugui veure els continguts numèrics de les seves cel·les. La Columna V conté la successió numèrica del 0 al 25. Són els valors que es representaran en l'eix horitzontal. En la columna W es calculen els valors de la distribució binomial amb la funció DISTR.BINOM. Aquests valors es representaran en el gràfic amb les barres horitzontals. La columna X conté els corresponents valors de la funció densitat de la distribució normal, calculats amb la funció DISTR.NORM. Aquests valors es representaran gràficament amb els punts enllaçats amb segments. La cel·la Y3 està connectada amb el botó que fa variar els valors de p, que està situat aproximadament en el rang J4:J5. D'aquesta manera, en la cel·la I3 només cal dividir per 10 el valor de Y3 per tenir els diferents valors de p. El botó que fa variar els valors de n està situat, aproximadament, en el rang I4:I5. En la cel·la E3 es calcula la mitjana de la normal i a la E4 la desviació estàndard. Amb aquests paràmetres la normal pot fer-se servir per calcular probabilitats en determinades situacions en què s'hauria d'utilitzar la variable binomial. Els dos botons que queden controlen, respectivament, el màxim valor visible de l'eix vertical, a partir del valor entrat a G3, amb el botó Eix manual, o de manera automàtica per a cada valor de n i p, amb el botó Automàtic. Per veure millor l'efecte de l'aproximació és millor fer servir el control manual amb un valor a G3 inferior a 1. 

Podeu fer servir, en la representació gràfica, només un diagrama de barres o bé un histograma. Aquest últim és útil per observar gràficament la diferència entre el càlcul de probabilitats per a cada model.
 

• Accediu al full Binomial i Normal prement el botó corresponent de la pàgina inicial. 
• Fixeu, movent el botó corresponent, per a p el valor 0,2. 
• Entreu a G3 el calor 0,5 i premeu el botó Eix manual. 
• Toqueu el botó de variació de n fins que quedi fixat a 5. Observeu com el gràfic de la binomial (barres verticals) i el de la normal no coincideixen massa. Fixeu-vos amb els valors np i nq del rang L2:M3 i veureu com no compleixen el criteri d'aproximació comentat abans. Trieu veure l'histograma per tal d'observar millor aquesta manca de coincidència, a l'hora de calcula les probabilitats respectives.
• A les cel·les P2 i R3 podeu introduir valors per calcular probabilitats. A sota veureu els càlculs fets segons la distribució binomial, l'aproximació de la normal i la diferència entre totes dues. 
• Amb el botó corresponent, aneu augmentant els valors de n i observeu com varien els dos gràfics superposats i els valors numèrics. 
• Canvieu el valor de p i repetiu el procés.