D112. Mòdul 3. Pràctica 1. La calculadora Wiris com a recurs didàctic

Mòdul 3

La calculadora Wiris com a recurs didàctic

Pràctica

Exercicis

	Funcions i gràfiques interactives

	L'objectiu d'aquesta pràctica és aprofundir en el coneixement de les possibilitats del treball amb funcions d'una variable en l'entorn de la calculadora Wiris. Es treballaran aspectes formals i conceptuals pel que fa a la definició de funcions i operacions i transformacions que s'hi poden fer i es mostrarà la potència i versatilitat de la comanda dibuixa com a recurs didàctic per preparar activitats interactives.


	Visualització dels valors d'una funció

	Visualització dels valors d'una funció

	La primera activitat que us proposem en aquest mòdul (que, alhora, esdevé el primer dels exercicis proposats) consisteix a preparar una activitat interactiva amb la Wiris que reprodueixi l'animació que heu pogut veure, feta mitjançant una captura de pantalles de la Wiris amb el programa Flash-Cam. Per aconseguir aquest objectiu, caldrà una revisió de recursos ja treballats i la presentació de dues comandes molt interessants: escriu, que es fa servir perquè aparegui un text en un lloc ben controlat del tauler gràfic de la Wiris, i punt_més_proper, que permet moure un punt sobre una línia. Revisió: idees, comandes i procediments que convé que recordeu: Com es defineix una funció. N'és un exemple: La possibilitat d'incloure comentaris i d'emprar la icona per facilitar l'entrada interactiva de dades o elements de treball. Podeu fer-ho així: La possibilitat de decidir quina de les opcions del tauler gràfic voleu que estigui activa. L'opció per defecte (nom) o bé valor o definició o cap de les tres, que és l'opció que us recomanem en aquest cas. Ho fareu amb la comanda: Com es defineixen els elements interactius en un gràfic. En aquest cas, el punt (a,0) s'haurà de considerar mòbil i, a partir d'ell, es definiran (a, f(a)) i (0, f(a)). Cal que recordem que necessitareu fer-ho amb el signe :=? Ja sabeu que el Java 2 no permet dibuixar directament línies de punts o discontínues, però també heu vist en el mòdul 2 que amb la comanda amb..en podeu aconseguir-ho amb relativa facilitat. Vegeu com es pot dibuixar un segment de punts horitzontal des del punt (-5, 7.5) fins al (2, 7.5). Per elaborar l'exemple de visualització dels valors d'una funció, tal com us el proposem, haureu de fer dos segments de punts: un d'ells vertical des del punt (a, 0) fins al punt (a, f(a)), i un altre d'horitzontal des d'aquest darrer punt fins al (0, f(a)).
	Presentació de la comanda escriu Aquesta comanda permet escriure text o valors numèrics en el lloc que ens interessi d'un tauler gràfic. La sintaxi completa és: text: és, naturalment, un argument obligatori per a aquesta comanda. Pot estar representat mitjançant un identificador i llavors es reprodueix el valor que tingui, ja sigui una cadena de text, ja sigui un valor numèric. També es pot indicar directament un nombre o una cadena de text tancada en aquest cas entre " ". Si volem encadenar diversos elements, l'operador que cal fer servir és \|. punt: és també imprescindible. Indica les coordenades del punt on volem que aparegui el text. Aquest punt es pot indicar explícitament o mitjançant un identificador. opcions: finalment, es pot entrar com a tercer argument (no necessari) una llista d'opcions. Encara que només vulguem indicar una opció, cal expressar-la entre { }. Aquestes opcions poden anar des del color amb què volem que s'escrigui fins a la posició del text respecte al punt indicat, passant per altres característiques del text. Es pot assignar el conjunt d'opcions a una variable i llavors cal substituir les opcions entre claudàtors de la comanda escriu pel nom de la variable que quedarà de la forma escriu(text,punt,NomVariable), sense els { }. Aquesta possibilitat és interessant quan diverses comandes escriu han d'utilitzar les mateixes opcions.
	Més avall, es mostrarà un exemple d'ús de la comanda escriu i de la que s'explicarà seguidament. Per altra banda, si feu clic a la icona Ampliació de l'esquerra, podreu veure una relació detallada d'algunes opcions que es poden passar com a argument a escriu.

	La comanda punt_més_proper Ben segur que en alguns dels exemples gràfics interactius que hem presentat anteriorment haureu pensat que seria interessant poder assegurar que el punt mòbil queda situat sempre sobre una línia. Per exemple, en l'activitat que us proposem, convé que es mogui sobre l'eix de les x. Amb el procediment que es comenta tot seguit podem restringir el moviment d'un punt sobre una recta, un segment de recta o una cònica. S'ha de considerar prèviament un punt auxiliar, que no es representarà en el gràfic, i tot seguit aplicar la comanda punt_més_proper, i definir així amb := el punt que veurem sobre la figura que ens interessi. Per exemple: Una vegada aplicada la comanda anterior, cal fer que es dibuixi el punt A i, a partir d'aquí, aquest serà el punt que podrem moure. Per entendre'n el funcionament, podem dir que és com si el punt auxiliar quedés sempre amagat al darrere del punt resultant de punt_més_proper. (En l'explicació hem indicat com a Am el punt auxiliar i com a A el punt resultant, el que es veu. Naturalment, podem donar a aquests punts qualsevol identificador, però no poden tenir tots dos el mateix nom.) Tot seguit, podeu veure una pantalla activa amb un exemple d'aplicació de les dues comandes que s'acaben d'exposar. No hi busqueu cap preocupació per una presentació acurada. La finalitat de l'exemple és, únicament, mostrar de manera clara la sintaxi i el funcionament de les comandes escriu i punt_més_proper i que, d'aquesta manera, les pugueu emprar per acabar l'exercici proposat.


	Un exemple de les dues comandes explicades
	En el proper mòdul veureu la descripció de la comanda desplaçador que permetria anar donant valors a l'abscissa del punt mòbil i donaria una altra visió a la pràctica. Tanmateix ha semblat més oportú, en aquesta activitat, fer que el punt mòbil ho fos "in situ", és a dir sobre l'eix de les x, que assenyalen els valors de la variable independent.

	Tractament formal de les funcions

	Ja hem recordat més amunt en aquesta pràctica la forma de definir una funció, preferentment amb el signe := i heu pogut practicar la comanda dibuixa amb opcions diverses per millorar el gràfic. Seria molt prolix donar una relació detallada de totes les possibilitats formals que ofereix la Wiris per manipular funcions. Creiem que és millor anar-ho il·lustrant al llarg del curs amb les activitats que s'aniran proposant. Tanmateix, sí que és oportú incloure tot seguit una finestra activa amb diverses consideracions sobre el treball amb funcions. En els exemples que trobareu a la propera finestra activa veureu que: Es poden definir funcions amb := o bé amb = o, simplement, treballar amb expressions formals. Heu de saber que si tenim definides dues funcions f(x) i g(x) no és possible fer servir expressions del tipus (f + g)(x) o d'altres de semblants. Si volem sumar les dues funcions f i g caldrà definir una nova funció, per exemple, s(x) := f(x) + g(x). La mateixa denominació pot servir per a una funció amb una variable o amb dues... i que això permeti aplicacions pràctiques interessants. L'àmbit d'aplicació de les funcions en l'entorn de la Wiris no es limita pas a les funcions en el sentit estricte que els donem a l'ESO o al batxillerat. Podem definir de diverses maneres funcions a trossos, cosa que permet dibuixar-les, però no esdevenen pas elements analítics (no es poden derivar, ni integrar...). També podem definir funcions restringides a dominis, però en aquest cas només serveixen per assignar valors: no es poden dibuixar. Podem dibuixar funcions restringint el domini a un determinat interval. Ara bé, si volem dibuixar una gràfica de punts, hem de recórrer a amb..en per construir el conjunt de punts que interessi i després dibuixar-lo. Podeu investigar i fer les consultes oportunes!
	Qüestions a tenir en compte sobre funcions a la Wiris
	Si voleu ampliar el vostre camp de treball i obrir noves possibilitats amb la representació de corbes donades paramètricament o en coordenades polars, podeu fer clic a la icona d'ampliació que teniu a l'esquerra.

	Transformacions de funcions

	En aquesta part de la pràctica, podreu analitzar i estudiar el codi que permet elaborar una pantalla gràfica interactiva que mostra visualment la relació entre les gràfiques d'una funció f(x) i de la funció que resulta de fer la transformació f(x + k). L'aspecte didàctic de l'activitat és ben concret i permet constatar que la gràfica de f(x + k) resulta de traslladar paral·lelament –k unitats la gràfica de la funció f(x). Al costat de recursos ja coneguts de la Wiris hi ha un aspecte nou que convé ressaltar i és el procediment que s'ha fet servir per construir un menú interactiu en una tauler gràfic que permeti decidir entre diverses opcions (en aquest exemple, els valors que podem donar al paràmetre k). Podreu veure que es fa servir una alternativa a la comanda escriu que és la construcció d'elements del treball amb la Wiris anomenats capsa_de_text. De fet, pot semblar que l'ús de capsa_de_text és més enfarfegador que la comanda escriu. És ben cert. Però, en canvi, com que capsa_de_text construeix directament l'objecte de la Wiris que es fa servir implícitament amb la comanda escriu, això fa que s'obrin noves possibilitats.

	Una activitat didàctica amb un menú de tria de valor al tauler gràfic
	L'esquema de treball presentat a la pantalla anterior també us servirà, amb lleugeres modificacions, per a l'estudi comparatiu de la funció f(x) respectivament amb la seva traslladada verticalment f(x) + k i les funcions k · f(kx) i f(kx). Aquest darrer estudi és el que us demanem en l'exercici 2 d'aquest mòdul.

	Tot i que, com ja hem dit, la comanda desplaçador serà explicada en el mòdul següent, us donem una nova versió de l'activitat anterior feta amb l'ús d'aquest recurs. Tanmateix heu de saber que en la seva primera versió (2008) la comanda desplaçador no pot ser modificada de manera que els valors que assenyala apareguin "a distància real".

	Funció i funció inversa
	Acabem aquesta primera pràctica amb una altra activitat didàctica que podeu considerar d'ampliació. Té com a objectiu, pel que fa al coneixement de la Wiris, revisar l'ús d'opcions en les comandes dibuixa i escriu a més d'una nova aplicació del procediment que ens permet punt_més_proper. Es demana a l'alumne o l'alumna que entri una funció i la que cregui que és la seva funció inversa i es fa visual un punt mòbil sobre la gràfica de la primera i el seu simètric respecte a la bisectriu del primer quadrant. Llavors, si aquest darrer punt es mou sobre la gràfica de la segona funció, s'ha entrat correctament la fórmula de la funció inversa. Altrament, caldrà revisar-ho!

	La propietat de les gràfiques d'una funció i de la seva funció inversa
	Si heu treballat aquest exemple teniu una segona opció en l'exercici 2 d'aquest mòdul, que combinarà el que acabeu d'estudiar amb la resolució d'equacions. Es tractarà de variar la presentació de l'activitat perquè l'usuari o la usuària entri només la funció inicial; la Wiris calcularà la funció inversa i la representarà, i llavors es comprovarà gràficament i empírica la propietat que compleixen les gràfiques d'una funció i la seva funció inversa.


	Ja que en aquesta part final de la pràctica hem parlat de la funció inversa sembla interessant explicar amb detall com es pot obtenir amb la Wiris a partir de la idea que heu pogut veure en una ampliació de la pràctica 3 del mòdul 1: En el cas de més d'una incògnita o que l'equació contingui algun paràmetre cal especificar quina és la incògnita de l'equació. Allà es mostra (escrita "a la seva manera") l'obtenció de la la fórmula de l'equació de segon grau:


	Aquesta mateixa idea ens pot servir per obtenir l'expressió formal de la funció inversa d'una altra sempre que les operacions que hi porten es puguin dur a terme amb la comanda resol. Vegeu-ho:


	Aquesta que ha resultat ja és una manera d'escriure la funció inversa prenent com a variable independent la y i com a variable dependent la x. Però (tot i que a la Wiris els noms de les variables "tant li fan") habitualment s'acostuma a dir que per representar una funció i la seva inversa en el mateix sistema d'eixos convé canviar en aquesta funció inversa el nom de les variables. Però també podem fer el canvi abans d'aillar la variable (o potser millor dir "en el moment d'aillar la variable"), i així ja ho tenim correcte. Vegeu que ho podem fer així:


	Ara bé, per definir efectivament la funció inversa convé combinar la idea anterior amb l'aprofitament per codi de les solucions d'una equació. Recordeu que hem de donar nom identificador a la comanda resol i actuar així:


	No podrem donar a la inversa el nom f^-1, ni tampoc existeix cap comanda del tipus inversa a la Wiris que es pugui aplicar a les funcions... hi ha massa condicionants! Ara bé, vegeu que l'exemple que hem fet... funciona!!!


	I també gràficament:


	Segur que tot això que acabem de comentar us donarà idees substancials per a l'exercici 2 que proposem en aquest mòdul (si és que us interessa fer-lo). Convé acabar aquest comentari d'ampliació insistint en la frase "hi ha massa condicionants". Efectivament, molt poques funcions tenen una funció inversa en el sentit estricte del terme, és a dir que la correspondència inversa d'una funció univalorada (de les que no són univalorades habitualment ja no en diem funció) habitualment no és univalorada. Haurem de tenir-ho molt present, però afegint que la Wiris ens pot ajudar a fer-ho visual (i de passada ens explica perquè abans hem hagut de posar R₁ per aprofitar la solució de l'equació i definir la funció inversa)