Mòdul 3
La calculadora Wiris com a recurs didàctic
Enrera
Pràctica
1
2
4
3
5
6
 
 
   
Exercicis
Exercicis
 
 
Sistemes d'equacions
   

En aquesta pràctica, continuem el treball amb les comandes resol i resol_numèricament aplicades a sistemes d'equacions i donarem la visió gràfica quan sigui possible.

Veurem l'aplicació de mètodes numèrics a la resolució de sistemes i comentarem la manera d'aprofitar les solucions d'un sistema, tot aprofundint en l'estructura de llista de taules, és a dir la manera com Wiris estructura les solucions.

Per la seva importància especial en els currículums de la secundària els sistemes lineals es treballen a fons en la pràctica següent com a aplicació dels recursos de l'àlgebra lineal.

   
 
 
Icona per escriure les equacions d'un sistema en la forma habitual: com a llista vertical
   
Nou apartat
Escriure un sistema i obtenir-ne les solucions
   
  • Les diverses equacions que componen el sistema que volem resoldre s'han de passar, en forma de llista, com a arguments a la comanda que interessi, resol o resol_numèricament.
  • Per fer la presentació anàloga a la que és habitual, es passa la llista d'equacions en forma vertical.
  • Per escriure una llista vertical, teniu la icona a la barra d'eines, que veureu fent clic a la pestanya , acompanyada d'una finestra on podeu escriure el nombre d'equacions de la llista.
  • També teniu la possibilitat de fer clic a , a la barra d'eines, que us facilita la feina perquè (si imaginem que hem triat 2 equacions) escriu a l'àrea de treball la comanda

    i ja teniu preparada la sintaxi amb els signes d'igual d'equació amb què cal escriure les equacions. Feu clic a la primera casella per entrar la primera part de la primera equació. Observeu que les tecles del cursor us porten d'una casella a la següent. Si ho feu així i després us adoneu que voleu resoldre un sistema amb més de dues equacions, necessitareu el menú de la barra d'eines per inserir-les:
Finestra Activa
Obriu la finestra activa de la Wiris (fent clic a la icona de l'esquerra) i feu "l'exercici típic" següent, que més endavant reprendrem des del punt de vista gràfic: calculeu els punts d'intersecció de les gràfiques de les funcions y = f(x) i y = g(x) que podeu veure en la imatge següent:
   

 
Definició de les fórmules i resolució d'un sistema
   
  • Completeu la finestra activa anterior seguint el model de la imatge.
  • Recordeu que per accedir als exponents, podeu usar la combinació de tecles
    Control + Fletxa amunt.
  • Executeu les comandes i observeu l'estructura de llistes en què la Wiris ens retorna les solucions.
  • Al final d'aquesta pràctica, veurem com extreure els valors de les solucions d'aquesta estructura per poder-los assignar a variables de memòria i emprar-los en càlculs posteriors.
Nou Apartat
Mètodes aproximats per resoldre sistemes
   
  • Si resol respon { }(conjunt buit) o bé nul, vol dir que, per mètodes exactes no s'ha pogut trobar cap solució; però pot ser que n'hi hagi.
  • Els mètodes numèrics que incorpora la calculadora Wiris també són aplicables per trobar una solució d'un sistema d'equacions. La comanda resol_numèricament selecciona el mètode més apropiat i intenta trobar una solució a partir d'uns valors inicials.
  • Si resol_numèricament respon { } o bé nul, vol dir que el mètode emprat no ha trobat cap solució. Si en troba, per a la Wiris només n'hi haurà una.
  Obriu la finestra activa de la Wiris (fent clic a la icona següent) i feu aquesta pràctica:
   
Finestra Activa

 
Comandes que trobareu en la finestra activa
   
  • Executeu les comandes de la finestra activa i observeu que la comanda resol no troba cap solució; en canvi, sí que n'obtenim una amb la comanda resol_numèricament.
  • Entreu en el nou bloc de comandes que es crea després d'executar el primer bloc i escriviu les comandes de la imatge següent, fent servir la icona per escriure'n la primera. Observeu com us podeu moure entre les diferents parts del sistema amb les tecles del cursor. Per escriure la segona comanda, podeu copiar i enganxar la primera (Control + c i Control + v) i després introduir el "_numèricament" a mà.
  • En la tercera comanda, observeu quina és la sintaxi per donar un punt inicial on la Wiris comença la recurrència i utilitzeu el teclat per entrar a mà la comanda resol_numèricament (recordeu que resoldre equival a resol). Podeu utilitzar la icona per introduir els parèntesis i la icona per introduir les equacions.
  • Executeu aquest nou bloc de comandes i observeu les solucions obtingudes en cada cas.
  • Per acabar, deseu la finestra activa de la Wiris, usant la icona de la pestanya i seguidament l'opció Anomena i desa (o Guardar como ) del navegador.
   
 
 
Aquestes són les comandes que heu d'introduir en la finestra activa
 
Nou  apartat
L'estructura de les solucions d'un sistema d'equacions
   
De la mateixa manera que per a les equacions, la comanda resol retorna les solucions d'un sistema com una llista de taules.
   
 
  • Cada una d'aquestes taules és una solució del sistema.
  • En cada taula apareixen parelles xi=a per a totes les xi variables de l'equació o sistema i a el seu valor per a aquella solució.

Tot seguit se'n mostren exemples en una finestra activa i en el tema següent, dedicat de manera explícita als sistemes d'equacions lineals en veureu un exemple d'aplicació.

   
Finestra Activa
Cliqueu a la icona de l'esquerra per veure dues propostes diferents d'assignació a una variable de memòria dels valors de les solucions d'un sistema, en una finestra activa de la Wiris. Analitzeu i executeu el bloc de comandes i observeu els resultats obtinguts.
   
 

 
Com assignar els valors de les solucions a variables de memòria
   
  • Recordeu que per escriure els subíndexs tenim la icona de la pestanya També es pot fer per teclat, amb Control + Fletxa avall per entrar en el subíndex. Per sortir del subíndex, podeu marcar la tecla Fletxa dreta.
   
Representació gràfica de les solucions d'un sistema de primer grau
   
 

En aquest apartat veureu com representar les equacions i la solució d'un sistema de primer grau. Aplicareu les idees que s'acaben d'explicar sobre la manera d'obtenir les solucions del sistema. A partir de la llista solució es defineix i dibuixa el punt solució del sistema. En la finestra activa hi ha tres exemples:

  • Si el sistema és determinat, s'escriu la solució, es defineix i es dibuixa el punt solució.
  • Si el sistema és indeterminat, la llista solució expressa les dues incògnites en funció d'una d'elles i no es representa cap punt solució.
  • Si el sistema és incompatible, la llista solució és buida, i el punt solució no queda definit.

En la finestra activa que s'obrirà en fer clic a l'icona de l'esquerra, observeu els tres casos de sistema: compatible determinat, compatible indeterminat i incompatible.

   
Pantalla Wiris
   
 
  • Fixeu-vos que es defineixen tres variables: sistema, sol i S, que representen respectivament el sistema, la llista solució i el punt solució.
  • La comanda dibuixa que heu utilitzat per dibuixar funcions, rectes i punts, en aquest cas té com a objecte cadascuna de les equacions del sistema.
  • La comanda escriu("Solució"|sol,punt(a,b)) escriu a partir del punt(a,b) del tauler gràfic, el text entre cometes, i a continuació el valor de sol, en aquest cas, la solució del sistema.
  • Observeu, en els dos darrers casos, els missatges que apareixen en la finestra inferior d'avisos.
   
Posició relativa de dues rectes
   
 

En aquest exemple que heu de considerar d'ampliació en una primera visió del tema però que, alhora, té una interessant aplicació didàctica:

  • es defineixen dues rectes, cadascuna a partir de dos punts interactius
  • es resol el sistema format per les dues rectes
  • es determina el punt d'intersecció a partir de la solució del sistema
  • es representa gràficament la solució
   
Pantalla Wiris
   
 
  • Les comandes equació(r) i pendent(r)retornen l'equació i el pendent, respectivament, de la recta r definida geomètricament.
  • En aquest cas, es visualitzen en el tauler gràfic les equacions explícites de les dues rectes, les gràfiques i el punt d'intersecció, si existeix.
  • Observeu la interactivitat: en moure els punts A, B, C i D es redefineixen les rectes i la solució del sistema.
  • Desplaceu els punts per observar els diferents casos de posició entre dues rectes: es tallen en un punt paral·leles i coincidents.

En l'exemple anterior haureu observat que en el tauler gràfic s'escriu el valor del punt d'intersecció P assignat a partir de la solució del sistema. Quan les rectes son paral·leles, no retorna cap resposta, i quan el sistema és indeterminat, la solució és una expressió de les incògnites x i y en funció de y.

Per millorar les repostes de la Wiris i fer que escrigui explícitament la paraula que explica quina és la posició relativa de les rectes (es tallen, paral·leles, coincidents) quan es van movent els punts A, B, C i D, convé afegir una mica de programació. Això ens porta a allò que l'equip que redactem el curs en diem gràfics amb resposta, que es tracten a bastament en la pràctica 4 del mòdul 4. Allà, també com a tema d'ampliació, podeu completar aquest exemple.

 
Amunt