M˛dul 3
La calculadora Wiris com a recurs didÓctic
Enrera Pràctica
1
2
3
4
5
6
 
 
   
Exercicis
Exercicis
 
 
Resolució d'equacions
   

En aquesta pràctica, aprofundirem en les comandes resol i resol_numèricament per trobar les solucions d'una equació, que ja es van introduir en la pràctica 3 del mòdul 1.

Veurem:

  • l'aplicació de mètodes numèrics a la resolució d'equacions
  • una aplicació didàctica per visualitzar/interpretar gràficament les solucions d'una equació
  • la manera com la Wiris treballa amb equacions que tinguin més d'una variable
  • els recursos per a obtenir els valors de les solucions i assignar-los a variables de memòria per a càlculs posteriors. Per a això estudiarem l'estructura de llista de taules en què la Wiris ens presenta les solucions d'una equació.
   
 
 
Situació de la icona que facilita l'escriptura de la comanda que resol equacions
   
Nou apartat
Escriure una equació i obtenir les solucions
   

Convé recordar alguns aspectes que ja es van comentar en el mòdul 1.

Per escriure correctament una equació, pot ser ecomanable conceptualment separar els dos membres amb el signe d'igual llarg, que equival a dos signes d'igual, i que també és pot obtenir amb la icona de la pestanya i també apareix amb la combinació de tecles
Control + Igual.
Tanmateix a partir d ela versió 2 de la Wiris ja es poden escriure les equacions amb el signe d'igual senzill,

  • Perquè la Wiris resolgui l'equació, cal escriure l'equació entre parèntesis dintre de la comanda resol o resol_numèricament. Direm que passem l'equació com a argument de la comanda corresponent.
  • Per facilitar la tasca d'escriptura, a la barra d'eines de la Wiris trobareu la icona a la carpeta de la pestanya . Fent clic en aquesta icona, s'escriurà a la finestra activa la comanda

    i ja tindreu els parèntesis, l'igual llarg i el nom de la comanda. Ara només caldrà entrar a les caselles i escriure els dos membres de l'equació. Es pot passar d'una casella a l'altra amb les tecles del cursor.
  • Si feu servir la icona i voleu resoldre l'equació per mètode numèrics, només cal editar la comanda per introduir _numèricament després d'haver clicat a la icona.
  • Quan el segon membre de l'equació és 0, no cal escriure resol(expressió==0); es pot indicar, simplement resol(expressió).

Recordeu una diferència fonamental:

  • La comanda resol intenta buscar totes les solucions d'una equació, per mètodes exacates o aproximats. Per exemple, ens dóna sempre totes les solucions d'una equació polinòmica com veurem amb detall a la pràctica següent. També veurem que, en aquest cas, tenim la comanda arrels, que ens retorna les solucions com una única llista de valors.

  • En canvi, la comanda resol_numèricament busca una solució (que no sempre serà la que ens interessa).

Les solucions trobades es tornen en forma d'una llista, que serà buida -{}- si no se n'ha trobat cap. Més endavant es comenta l'estructura formal dels conjunts de solucions.

   
Nou apartat
Equacions de primer grau: la resposta de la Wiris
   
Finestra Activa

Obriu la següent finestra activa de la Wiris, clicant la icona de l'esquerra. Executeu les comandes i observeu la resposta de la Wiris en cada cas possible, segons el nombre de solucions. Useu la icona per introduir noves equacions i comprovar com treballa la Wiris.

   
 

 
Comandes de la finestra activa anterior
   
Nou apartat
Resolució d'equacions per mètodes numèrics
   
  • La Wiris incorpora diversos mètodes numèrics per a la resolució d'equacions. En cada cas, selecciona el més apropiat i intenta trobar una solució a partir d'un punt o un interval inicial.
  • La comanda per resoldre equacions amb aquests mètodes és resol_numèricament i la podem entrar tal com s'ha explicat amb la comanda resol, afegint a mà l'acabament "_numèricament".
  • Remarqueu que el fet de buscar una única solució de l'equació fa que els resultats obtinguts siguin d'una natura diferent als obtinguts amb la comanda resol: mentre la comanda resol torna una llista de llistes, la comanda resol_numèricamentnomés retorna una llista. Al final d'aquesta pràctica, aprofundirem en l'estructura de les solucions.
 

 

Diferències sintàctiques entre resol i resol_numèricament

   
Finestra Activa
Obriu la finestra activa clicant a la icona de l'esquerra i executeu les comandes per veure l'estructura de les solucions.
   
Nou apartat
Trobar la solució que volem per mètodes aproximats
   

A la finestra activa anterior heu vist una equació amb una solució evident que la Wiris no sap trobar. Per trobar les solucions que ens interessen, hem de conèixer el mecanisme intern de la Wiris:

  • Per defecte, la Wiris utilitza un mètode recurrent amb un valor inicial de la variable. Veureu la sintaxi adequada per donar un punt inicial i trobar totes les solucions de l'equació esmentada en la propera finestra activa de la Wiris.
  • Segurament, ja sabreu que no sempre és fàcil encertar el valor que permet acostar-se a la solució que volem. Per això, també hi ha una altra possibilitat (més lenta, però segura i robusta) en què podem escriure l'interval on volem trobar la solució. Cal indicar, a més, el mètode i heu de tenir present que, per a la correcta aplicació, cal que la funció prengui valors diferents en els dos extrems de l'interval.
   
Finestra Activa
Obriu la finestra activa clicant a la icona de l'esquerra i executeu les comandes per veure la forma de donar el valor inicial i el mètode de resolució i per observar la solució obtinguda en cada cas.
   
 
 
A la recerca de totes les solucions d'una equació.
   
  • Localizeu les solucions principals de l'equació sin x + 2 cos x = 1 per mètodes aproximats, entrant les comandes necessàries en el segon bloc de la mateixa finestra activa anterior.
  • A vegades, va bé localitzar primer les solucions d'una manera visual, tal com s'explica en la finestra activa que es presenta en l'apartat següent.
  • Podeu desar la finestra activa de la Wiris tal com s'explica en la pràctica 1 del mòdul 1.
   
Ampliació
Si voleu ampliar el tema i saber quins són els mètodes numèrics disponibles per a la comanda resol_numèricament, feu clic a la icona de l'esquerra.
   
Nou apartat
Interpretació gràfica de les solucions d'una equació
   

En la finestra activa que podeu obrir amb la icona habitual teniu un exemple que visualitza gràficament les solucions de l'equació que hem treballat a l'apartat anterior i genera un tauler interactiu com el de la imatge següent.

Estudieu el funcionament de l'activitat i el codi que la genera. En aquest cas, podreu veure la utilitat que en molts moments pot tenir afegir comentaris en una finestra de treball de la Wiris amb la icona . Això us pot donar idees per a la presentació de les vostres activitats didàctiques.

   
Finestra Activa
 
El tauler gràfic ens pot ajudar a trobar els valors inicials per a la resolució numèrica d'una equació
   
 
  • Obriu la finestra activa de l'esquerra i modifiqueu les fórmules de les funcions per visualitzar les solucions de l'equació 2^x = x+5 o bé, si us interessa treballar amb continguts més elementals 3x + 5 =-2x +1 i podreu experimentar per trobar gràficament la solució. Hem mantingut en l'activitat el doble signe d'igual perquè ja hem manifestat que, conceptualment, això ens sembla una decisió encertada.
  • Deseu la finestra activa de la Wiris, usant la icona de la pestanya i les instruccions que ja coneixeu i que podeu revisar en la primera pràctica del curs.
   
Nou apartat
Equacions amb paràmetres
   
Finestra Activa
Una equació pot tenir una o més variables. Si no especifiquem quines variables volem aïllar en funció de les altres, la Wiris interpreta que volem usar totes les variables que apareixen a l'equació. Vegeu el comportament de la Wiris en els exemples de la finestra activa que trobareu clicant a la icona de la dreta.
   
 
 
Exemples d'equacions amb paràmetres
   
En l'exemple anterior, observeu la necessitat del punt de multiplicar entre les variables a i x, ja que si oblideu el punt, la Wiris interpreta que ax és una única variable, cosa que no passa amb l'expressió 5x, atès que els noms de les variables no poden començar amb un número.
   
Atenció
Estructura sintàctica de les solucions
   

De la mateixa manera que quan parlàvem de la descomposició en factors primers, això ens ha servit per presentar, com a ampliació, un objecte estructurat de la Wiris anomenat divisor, ara, enllaçant amb la conveniència d'aprofundir en les possibilitats de treball amb equacions i sistemes i poder aprofitar per a altres càlculs els valors de les solucions, ara podeu estudiar la manera com se'ns retorna el resultat de la comanda resol, que aprofita un objecte de la Wiris que es designa com a taules.

   
 
  • Una taula és un objecte de la Wiris format per una llista de parelles x=a on x és un identificador i a un valor o objecte de la Wiris. Per entendre el significat d'una taula, podem pensar que és un recurs per poder assignar el valor a a l'identificador x mitjançant recursos estructurals i sintàctics.
  • Són exemples de taules M ={gener=1, febrer=2, ..., desembre=12},
    {c=punt(1,2), =5}, o bé S={x=1, y=2, z =-1}.
  • Per obtenir el valor que una taula assigna a un identificador, cal aplicar la taula a l'identificador, com si es tractés d'una funció.
    • Si l'identificador consta a la taula, la resposta és el valor corresponent.
    • Altrament, és a dir, si l'identificador no apareix a la taula, la resposta és nul.
  • Vegeu-ne exemples:
    M(abril)=4, M(february)=nul, S(x)=1, S(t)=nul, 3·S(x)+4·S(y)-2·S(z)=13

Les solucions d'una equació amb la comanda resol apareixen com una llista de taules.

  • Cada una d'aquestes taules és una solució de l'equació.
  • En cada una d'aquestes taules apareixen parelles x=a , on x és la variable que apareix a l'equació i a el seu valor per a aquella solució.
  • El fet que l'estructura de taula permet assignar a l'identificador x que és el primer element de la parella x=a el valor a fa que hi hagi una manera equivalent de presentar aquestes solucions, que fa servir la sintaxi xa.

Tot seguit es mostren exemples de com treballar amb els valors de les solucions d'una equació, obtingudes amb las comanda resol, en una finestra activa.

   
Finestra Activa
Cliqueu a la icona de l'esquerra per veure dues propostes diferents d'obtenció dels valors de les solucions d'una equació, en una finestra activa de la Wiris. Executeu el bloc de comandes i observeu els resultats obtinguts, dels quals a la imatge es mostra el que es relaciona amb l'ús de les taules.
   
 
 
Una manera d'obtenir els valors de les solucions
   
Per escriure els subíndex, es pot usar la icona de la pestanya o també el teclat, marcant Control + Fletxa avall per entrar en el subíndex. Per sortir del subíndex, podeu marcar la tecla Fletxa dreta
   
 
Amunt