APLICACIÓ DEL PENSAMENT CRÍTIC
    
 
INTRODUCCIÓPART I PART IIPART IIIREFERÈNCIES MAPA WEB
    
 part III > matemàtiques 1r d'ESO > aplicació de la proposta 
PART III
 
 


APLICACIÓ DE LA PROPOSTA

En altres matèries la reconstrucció estructurada dels continguts serà més complexa. Aquí simplement volem aconseguir la comprensió de les nocions, per un costat, i la comprensió de les raons que condueixen a determinar el càlcul d'aquestes nocions, per un altre costat. Una manera d'aconseguir la comprensió d'aquest càlcul serà forçant els alumnes a construir-lo per si mateixos, a la manera de l'exemple que hem vist a l'apartat 2 de la part I del treball, en el text de Plató en el qual Sòcrates aconseguia que Escíclides, que no sabia matemàtiques, arribés a formular la relació entre l'àrea d'un quadrat que tingués per costat la hipotenusa d'un triangle rectangle i l'àrea d'un quadrat que tingués per costats els catets del mateix triangle rectangle. No serà necessari que els alumnes efectuïn construeixin el càlcul seguint aquest model socràtic, però sí que siguin capaços de reconstruir el raonament que justifica el càlcul.

Així, seguint amb l'esquema en què hem presentat la proposta, podem establir de manera simplificada els objectius com segueix.

OBJECTIUS

Comprensió
Primer: comprensió de les nocions en qüestió.
Bloc d'exercicis 1

Elaboració de l'estructura
Segon: construcció dels càlculs en qüestió. Justificació del procés de construcció.
Bloc d'exercicis 2

Anàlisi de l'estructura
Tercer: anàlisi del procés de construcció.
Bloc d'exercicis 3

Elaboració de la resposta
Quart: acceptació de les nocions i del seu càlcul. Ús del càlcul.
Bloc d'exercicis 4

Comprensió

PRIMER
Comprensió de les nocions en qüestió.

La noció de m.c.d. té com a eix central la noció de 'divisor'. La de m.c.m. té com a eix central la noció de 'múltiple'. Totes dues nocions s'han treballat suficientment a l'ensenyament primari, de manera que allò que cal és observar la noció de 'divisor comú', o de 'múltiple comú', en primer lloc, i finalment la de 'màxim' i 'mínim'. La introducció progressiva del terme no és fútil. Al capdavall no podem comprendre un contingut complex si no comprenem cadascuna de les seves parts.

Pel que fa a les nocions d'àrees, la majoria de manuals introdueixen la noció dividint una superfície regular en parts regulars, normalment quadrats, i considerant cadascun dels costats dels quadrats com una unitat de mesura. Així, una figura dividida en n quadrats d'un centímetre de costat té n centímetres quadrats. Aquesta presentació habitual facilita enormement la comprensió de la noció.

Els exercicis proposats són, és clar, merament orientatius. La seva finalitat és simplement accentuar l'objectiu que es persegueix en cada cas.

Bloc d'exercicis 1

Exercici 1
Calcula quins són els nombres que són divisors (D) i també els que són divisors comuns (DC), si algun, dels següents nombres:

(a)168, 28, 21 D de 168, de 28 i de 21:  DC de tots tres nombres:
(b)33, 99, 15D de 33, de 99 i de 15:   DC de tots tres nombres:
(c)34, 28, 17D de 34, de 28 i de 17:  DC de tots tres nombres:
(d)42, 90, 21 D de 42, de 90 i de 21:  DC de tots tres nombres:

Exercici 2
Calcula 6 múltiples (M) consecutius de cadascun dels següents nombres, i indica després si entre els sis múltiples que has escrit per a cada número n'hi ha que siguin múltiples comuns (MC).

(a)12, 18, 3 M de 12, de 18 i de 3:  MC de tots tres nombres:
(b)6, 15, 12M de 6, de 15 i de 12:   MC de tots tres nombres:
(c)3, 7, 14M de 3, de 7 i de 14:  MC de tots tres nombres:
(d)8, 5, 4M de 8, de 5 i de 4:  MC de tots tres nombres:

Observacions
Els exercicis 1 i 2 pretenen apuntar simplement les nocions de divisor i de múltiple comú, respectivament. Són múltiples les possibilitats d'exercicis en aquesta direcció. En qualsevol cas, és important entendre bé què és allò que persegueix la noció.

La majoria d'exercicis dels llibres de text sobre el càlcul d'àrees introdueixen de manera molt comprensiva la noció d'àrea, dividint figures regulars en quadrats regulars, com he apuntat més amunt.

Elaboració de l'estructura

SEGON

Aquest és el punt del procés menys considerat, en general, en els manuals, però, d'acord amb la present proposta, es tracta del punt més crucial i interessant. En el cas del m.c.d. i del m.c.m. la mera comprensió de les nocions ha de conduir a la construcció del càlcul. En el cas de les àrees, la qüestió és una mica més complexa. A partir del càlcul de l'àrea del quadrat és possible arribar a determinar com calcular les àrees d'altres figures (triangles, trapezis, etc.).

Allò que volem aconseguir és que els alumnes arribin a determinar el càlcul de les nocions de manera raonada. L'esquema que volem que acabin tenint en ment serà alguna cosa semblant al següent esquema.

m.c.d.

(TESI PRINCIPAL): el màxim comú divisor de diversos nombres s'obté multiplicant els factors que els nombres tenen en comú elevats a l'exponent més petit amb què apareixen en la descomposició.

      \(CAUSA): els divisors comuns de dos o més nombres són aquells que són
                       factors de tots els nombres.
      \(CAUSA): els factors d'un nombre són divisors d'aquest nombre.
      \(CAUSA): els factors comuns han d'agafar-se amb el seu mínim exponent.
      \(CAUSA): els factors comuns amb un exponent més alt no tenen per què ser
                      divisors de tots els nombres.    

I procedirem de manera similar per al cas del m.c.m.

En el cas de les àrees, considerem el cas del triangle.

Àrea del triangle

(TESI PRINCIPAL): l'àrea d'un triangle es calcula multiplicant la base per l'altura i dividint el resultat entre dos.

      \(CAUSA): l'area d'un rectangle o d'un romboide es calcula multiplicant la base per l'altura.
      \(CAUSA): l'àrea d'un quadrat es calcula multiplicant un costat per si mateix.
      \(CAUSA): un triangle té la meitat de superfície que un quadrat, o que un rectangle,
                      o que un romboide, que tingués la mateixa base i altura que el rectangle
                      (o el mateix costat, si base i altura fossin iguals i consideréssim, per tant,
                      un quadrat).

Ja s'ha advertit, no és necessari que els alumnes arribin per si mateixos a formular la tesi principal, en aquest cas el càlcul necessari per obtenir el m.c.d. i l'àrea del triangle. Se'ls pot avançar el càlcul o donar-los indicis perquè l'obtinguin, això és, resseguir l'esquema anterior en una o altra direcció.

Els esquemes anteriors poden semblar simples. En realitat el contingut que pretenen justificar és simple per a un alumne de 1r d'ESO. En qualsevol cas, allò que no és simple és l'adquisició d'aquest hàbit justificatiu. Al capdavall aquest procediment és el que rau en la base de tot procés de comprensió.

Com abans, els exercicis no pretenen en absolut ser exhaustius, sinó merament indicatius.

Bloc d'exercicis 2

Exercici 3
El càlcul del m.c.d. diu que cal multiplicar els factors comuns amb el seu exponent més petit. Per què ha de ser el més petit i no pas el més gran? Raona la resposta.

Exercici 4
Observa quins són els factors comuns d'aquests tres nombres: 8, 12 i 36.

" Quins són els factors comuns a tots tres?
" 2 és un factor comú. És 2(2) [2 elevat al quadrat] comú a tots tres nombres? I 2(3) [2 elevat al cub]?
" Recorda que el màxim comú divisor ha de ser un divisor de tots els nombres. Podrà ser 2(2) [2 elevat al quadrat] un dels nombres a multiplicar per determinar el m.c.d.? I 2(3) [2 elevat al cub? Per què?
" Digues com es pot dur a terme el càlcul del m.c.d.

Exercici 5
L'àrea d'un triangle es calcula multiplicant la base per l'altura i dividint el resultat entre dos.
L'àrea d'un rectangle es calcula multiplicant la base per l'altura.

" Per què l'àrea d'un triangle és la meitat que la d'un rectangle amb igual base i igual altura? Ajuda't de dibuixos en la teva resposta.

Exercici 6
Observa la relació entre les següents figures.



Atès que l'àrea del rectangle es calcula multiplicant la base per l'altura, com es calcula l'àrea del triangle? Per què?

Exercici 7
Prenent com a punt de partida el càlcul de l'àrea del triangle, com diries que es calculen les àrees del pentàgon i de l'hexàgon?



Anomenem 'perímetre' a la suma dels costats d'un polígon, i anomenem 'apotema' a la línia perpendicular a qualsevol costat d'un polígon regular que uneix el punt mig d'aquest costat amb el centre del polígon.

El pentàgon i l'hexàgon són polígons regulars de 5 i 6 costats, respectivament.

" Expressa el càlcul de l'àrea del pentàgon i de l'hexàgon usant els termes 'perímetre' i 'apotema'.
" És generalitzable aquest càlcul a qualsevol polígon regular d'n costats? Per què?


Observacions
L'exercici 3 parteix del càlcul del m.c.d. i demana la reconstrucció de part de les raons que el justifiquen. Contràriament, l'exercici 4 pretén que, a partir de la reflexió sobre allò que justifica el càlcul del m.c.d., els alumnes arribin a formular per si mateixos aquest càlcul.

Els exercicis 5 i 6 pretenen el mateix que els exercicis 3 i 4, respectivament, en relació amb el càlcul de l'àrea d'un triangle.

L'exercici 7 té com a finalitat estendre el procediment de descobriment del càlcul de les àrees, com en l'exercici 6, a d'altres figures planes.

Anàlisi de l'estructura

TERCER

Bloc d'exercicis 3

Exercici 8
Considera els següents nombres: 8, 12 i 42.

La seva descomposició en factors és la següent:
[m (n) cal llegir-ho com m elevat a n]

8 = 2 (3)
12 = 2 (2), 3
42 = 2, 3, 7

" Si multipliquem únicament els factors comuns, obtenim un múltiple de tots els nombres? Per què?
" Si multipliquem únicament els factors no comuns, obtenim un múltiple de tots els nombres? Per què?
" Si multipliquem els factors comuns i no comuns, però no amb el seu exponent més gran, obtenim un múltiple de tots els nombres? Per què?

Observa que un nombre menor que un altre no pot ser el seu múltiple. Així, si no incloem tots els factors d'un nombre, no obtindrem un múltiple seu.

Exercici 9
Considera novament els nombres: 8, 12 i 42 i la seva descomposició en factors primers.

Si multipliquem tots els factors, això és, 23 · 22 · 3 · 2 · 3 · 7,

" obtenim un múltiple de tots tres nombres?
" és el mínim comú múltiple de tots tres nombres? Per què? Raona la teva resposta.


Observacions
Els exercicis 8 i 9 tenen com a finalitat mostrar que les raons adduïdes per a la justificació del càlcul del m.c.m. són necessàries. Les situacions contrafàctiques, pel que fa a la satisfacció, de les condicions establertes, no aconsegueixen produir resultats que satisfacin la noció que es persegueix.

D'altra banda, cap de les dues condicions (multiplicar els factors comuns i no comuns, per un costat, i multiplicar els factors amb el seu exponent més gran, per un altres costat) són per si soles suficients -tal i com es veu amb l'exercici 8.

Elaboració de la resposta

QUART

Un cop assimilades i acceptades les nocions, en matemàtiques és rellevant no únicament la seva aplicació en exercicis de càlcul concrets, sinó també, i sobretot, el reconeixement de les situacions en les quals la seva aplicació és necessària. És en aquest sentit que la comprensió de què estem fent quan duem a terme tal o tal càlcul es revela crucial, quan se'ns demana de reconèixer les situacions en les quals és necessari aplicar-lo. Per dir-ho d'una altra manera, el domini de la tècnica per dur a terme un càlcul no mostra la seva comprensió, sinó que la seva comprensió es manifesta en el reconeixement de la necessitat del seu ús. Aquest és l'objectiu últim, per tant, del procés que perseguim amb l'ensenyament de les nocions en qüestió.

Són múltiples i diversos els exercicis amb aquesta finalitat.

Bloc d'exercicis 4

Exercici 10
Suposem que ets una persona sistemàtica. Cada set dies vas a visitar als teus avis, i els teus cosins (que també són sistemàtics) hi van cada dotze dies. Avui heu coincidit. Quan tornareu a coincidir?

Exercici 11
Feu una festa i heu comprat cintes de guarnir que pensàveu eren igual de llargues, però resulta que algunes mesuren 1,2 metres i altres 1,15 metres.

Les voleu tallar a trossos igual de llargs, i el més llarg possibles. Com les haureu de tallar?

Exercici 12
Calcula la superfície de la següent figura.



Observacions
Els exercicis 10 i 11 demanen el càlcul del m.c.m. i del m.c.d., respectivament. El reconeixement d'allò que es demana assegura, tret de quan es reiteren exercicis similars que permeten aplicar una mera mecànica, la comprensió de les nocions.

L'exercici 12 requereix la descomposició del polígon irregular en altres polígons regulars.