1.3 ÀGEBRA - MATRIUS

      (14/10/97) - Tornar a l'índex

      1.3.1-( /4/B) Té inversa la matriu següent?
        | 1 2 3 |
        | 4 5 6 |
        | 7 8 9 |
      Per què? (2 p)
      Solució


      1.3.2-( /5/A) Donada la matriu
        | 2 -3 1 |
        | 1 4 -1 |
        | 1 -1 1 |
      Calculeu el determinant de la seva inversa. (2 p)
      Solució


      1.3.3-(1989/1/A) Escriviu una matriu de tres files i tres columnes que tingui determinant negatiu. Calculeu aquest determinant. (2 p)
      Solució


      1.3.4-(1989/2/B) Per a quins valors del paràmetre a la següent matriu no és invertible?
        | 2 1 4 |
        | 3 5 7 |
        | 1 4 a |
      Per a aquells valors que acabeu de trobar, calculeu els determinants de les matrius A.A' i A'.A, on A' és la trasposada d'A. (2 p)
      Solució


      1.3.5-(1989/2/B) Per a quins valors del paràmetre a la següent matriu no és invertible?
        | 4 1 7 |
        | 1 3 2 |
        | a -2 5 |
      Per a aquells valors que acabeu de trobar, calculeu els determinants de les matrius AA' i A'A, on A' és la trasposada d'A. (2 p)
      Solució


      1.3.6-(1989/4/A) Definiu "matriu simètrica", "matriu inversa" i "matriu diagonal".(2 p)
      Solució


      1.3.7-(1990/1/A) Definiu "matriu simètrica" i "matriu inversa". Poseu un exemple d'una matriu simètrica 2*2 que no tingui inversa. (2 p)
      Solució


      1.3.8-(1990/4/A) Sigui v = M.u on M és la matriu
        02/31/4
        1/201/2
        1/21/31/4
      i u el vector (0,1/2,1/2). Trobeu el vector v. (2 p)


      1.3.9-(1992/2/B) Les matrius següents no tenen inversa Perqué?(2 p)
      A=
        | 2 -1 0 |
        | 3 0 -1 |

      B=
        | 1 -4 |
        | 2 -8 |
      Solució


      1.3.10-(1992/3B) Dues de les tres matrius següents no tenen inversa. Digueu quines són i perquè no en tenen, i calculeu la inversa de la que sí en té. (2) p

             

      1

      1

      0

      		  

      1

      1

      0

      2

      1

      1

      		  

      1

      2

      1

      		  

      1

      2

      0

      0

      1

      2

      		  

      2

      3

      1

      		  

      2

      0

      3

      Solució


      1.3.11-(1993/4/A) Tenim la matriu següent:
      A =
        a a
        a a
      a/ Calculeu A2 , A3.
      b/ Trobeu la llei general per a An.


      1.3.12-(1993/5/A) Donades les matrius A i B, calculeu la matriu C per tal que A.C=B
      A=
        3 1
        2 -1
      B=
        0 1
        2 -1

      1.3.13-(1993/6/A) Indiqueu quines condicions cal que es verifiquin per tal que una matriu tingui inversa. Poseu un exemple d'una matriu que en tingui, i calculeu-ne la inversa.


      1.3.14-(1993/6/B) Com han de ser les matrius d'un sistema de dues equacions amb dues incògnites per tal que sigui compatible indeterminat? Poseu-ne un exemple.


      1.3.15-(1994/2/A/Setembre) Resoleu: (2 p)
        | 1 2 -1| |x| | 3|
        | 2 1 +2|.|y|=|-4|
        | 4 -3 4| |z| | 2|

      1.3.16-(1994/2/B/Setembre) Calculeu per a quin valor de a la matriu següent no té inversa: (2 p)
        1 2
        -1 a

      1.3.17-(1995/3/A/Juny) Expliqueu com han de ser la matriu associada i la matriu ampliada d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites perquè sigui compatible. Poseu-ne també un exemple. (2 p.)


      1.3.18-(1995/2/B) Un sistema de tres equacions amb tres incògnites és compatible indeterminat. Què podem afirmar sobre la matriu associada del sistema? raoneu la resposta i poseu-ne un exemple. (2 p)


      1.3.19-(1995/5/A) Donada la matriu: A=
        a 0
        1 a
      Calculeu A2, A3 i una llei general per An. (2 p)


      1.3.20-(1995/6/B) Determineu el valor de a, b, i d per tal que es verifiqui: (2 p)
        |1 2|.|0 +c|=|b -5|
        |a 1| |2 -4| |d -7|


      1.3.21-(1996/3/A/Juny) Donat el sistema de tres equacions amb tres incògnites de matriu:
        1 1 1 0
        3 2 a 5
        2 1 -1 3
      discutiu la seva compatibilitat o incompatibilitat en funció dels valors que prengui el paràmetre a. Justifiqueu les respostes. (2 p)


      1.3.22-(1996/4/B/Setembre)
      a)Expliqueu raonadament com han de ser dues matrius rectangulars perquè es puguin multiplicar. Poseu-ne un exemple.
      b) Sabent que A=
        2 3
        1 1
      Calculeu una matriu tal que A . B = I, on I és la matriu identitat d’ordre 2. (2 p)
      Solució


      1.3.23-(1996/1/A). a) Expliqueu què enteneu per matriu inversa d'una matriu quadrada i poseu un exemple de matriu quadrada que no tingui inversa.
      b) Donades les matrius A i B, calculeu A.B i, a la vista del resultat, indiqueu quina relació hi ha entre A i B.

      A = B =



      1.3.24-(1997/6/B/Juny) a) Què és la matriu inversa d'una matriu? Digueu quines condicions ha de complir una matriu per tal que tingui inversa.
      b) Calculeu els valors del paràmetre a per tal que la matriu
      a 2
      1 -4
      tingui inversa i calculeu aquesta inversa quan sigui possible.
      Solució