El teorema del límit central. Estimació d'una mitjana  
 

Com el títol ja indica ben clarament, l'objectiu d'aquest document és presentar des d'un punt de vista conceptual i teòric el teorema del límit central i, encara que llavors calgui invertir el plantejament de la situació, veure la seva aplicació per a la deducció de la fórmula que dóna l'interval de confiança per a l'estimació d'una mitjana..

Abans de començar la lectura d'aquest resum teòric sobre el teorema del límit central (o bé en lloc de la reflexió teòrica) us aconsellem fer la pràctica 4 que en dóna una visió intuïtiva.

Per tal de decidir el comportament d'un estimador, convé fer "al laboratori" moltes simulacions que posteriorment es completen amb les deduccions teòriques necessàries.

El teorema del límit central explica el comportament de l'estadístic mitjana de la mostra quan prenem mostres aleatòries d'una població i estudiem els valors que pren en aquesta mostra una variable numèrica. Veurem que, a partir d'aquest teorema, podrem fer estimacions de la mitjana.

• Teorema: Si partim d'una població en què una variable X té una distribució normal de mitjana µ i desviació estàndard s, i en prenem mostres aleatòries de mida n, l'estadístic mitjana mostral, , també segueix una distribució normal, de mitjana µ i desviació estàndard .

• Teorema del límit central: Si partim d'una població i hi considerem una variable X que té una distribució qualsevol (que fins i tot pot ser discreta o contínua) de mitjana µ i desviació estàndard s, i en prenem mostres aleatòries de mida n, en cas que la mida de les mostres sigui suficientment gran, l'estadístic mitjana mostral, , es pot ajustar, també en aquest cas, mitjançant una distribució normal de mitjana µ i desviació estàndard .
• En la pràctica s'acostuma a treballar amb la idea que l'aproximació ja és prou bona si la mida de les mostres és n 30.

D'acord amb les definicions, per a un estimador sense biaix, el valor mesurat en una mostra de l'estadístic corresponent dóna una estimació puntual del paràmetre que s'estudiï, que sempre ha d'anar acompanyada de l'error estàndard de l'estimador, és a dir, la desviació estàndard de la distribució que dóna la variabilitat mostral de l'estadístic.

• Per fer una estimació puntual de la mitjana µ d'una variable en una població, mitjançant la selecció d'una mostra aleatòria de mida n, segons el teorema del límit central, si n 30:
  • La mitjana mostral (mitjana dels valors mesurats sobre els elements de la mostra) és un estimador sense biaix.
  • Si s és la desviació estàndard de la variable X en la població, l'error estàndard de l'estimador és.

• Ja sabeu quina tecla d'una calculadora científica ens dóna el valor d'aquest estadístic? Recordeu també que justament aquest és el valor que ens dóna l'Excel mitjançant el procediment ... | Análisis de datos | Estadística descriptiva amb la denominació desviació estàndard i amb la funció DESVEST.

• Per fer una estimació puntual de la mitjana µ d'una variable en una població, mitjançant la selecció d'una mostra aleatòria de mida n, segons el teorema del límit central, si n 30:
  • La mitjana mostral (mitjana dels valors mesurats sobre els elements de la mostra) és un estimador sense biaix.
  • Si s és la desviació estàndard corregida de la variable X en la mostra, es pot prendre com una bona aproximació de l'error estàndard de l'estimador el nombre .

La pràctica 6 mostra els resultats de l'Excel encaminats a l'estimació d'una mitjana a partir de les dades d'una mostra.

• La distribució de l'estadístic mitjana mostral és, aproximadament, normal de mitjana µ i desviació estàndard .
• A partir d'aquest fet, podem dir que la variable que resulta d'estandarditzar la variable mitjana mostral, , és a dir, , és aproximadament normal, N(0, 1).

Si consultem quin és el valor que defineix l'interval de valors centrats en la mitjana de probabilitat 0,955 (el 95,5 %) en una distribució normal N(0,1), podem establir que:

   (#)

Si partim d'una població amb mitjana i desviació estàndard conegudes i fem l'experiència aleatòria consistent a extreure'n mostres de mida n, l'interval

Exemple: Entre les persones d'una població la variable alçada segueix una distribució normal de mitjana 1,652 m i desviació estàndard 0,061 m. Si seleccionem una mostra aleatòria de 51 persones, quina previsió podem fer sobre la mitjana de les alçades de les persones de la mostra si volem tenir una probabilitat d'encert del 95,5 %?

• Per obtenir el radi de l'interval de tolerància cal calcular
  2 · per s = 0,061 i n = 51. Resulta 0,017.
• Si restem i sumem aquest valor a la mitjana, obtindrem l'interval (1,635; 1,669) al qual pertany la mitjana mostral amb una probabilitat del 95,5 %. Aquest és l'interval de tolerància del 95,5 % per a la mitjana mostral (també dit actualment interval de confiança, com en el cas de l'estimació que comentarem més avall.

Aquest resultat que acabem d'enunciar també es pot aplicar a altres situacions que no segueixin una distribució normal, fins i tot a problemes de probabilitat discrets.

• D'una població amb mitjana desconeguda, en seleccionem una mostra aleatòria i, a partir de les dades d'aquesta mostra, volem fer una estimació del valor de la mitjana de la variable estudiada en la població global.

 (##)

• L'interval de confiança amb un nivell de confiança del 95,5 % per a l'estimació de la mitjana µ d'una variable estadística en una població, en la qual hem seleccionat una mostra de mida (n 30), és l'interval on representa la mitjana mostral i s la desviació estàndard de la variable en la població.

   

• Nota: La idea de nivell de confiança és anàloga a la de probabilitat d'encert. El seu contrari seria, doncs, risc d'error (equivocació en l'estimació) i aquest és el valor que en els con trastos d'hipòtesis rep el nom de nivell de significació del test.
  El radi de l'interval de confiança ens dóna el marge d'error o variabilitat amb què cal expressar l'estimació. Alerta, doncs, com ja hem comentat diverses vegades, a no confondre el vocabulari.
  
  
• Nota: Tal com es va comentar en l'apartat de l'estimació d'una proporció, si volem treballar amb d'altres nivells de confiança, hem de canviar el 2 per d'altres valors crítics corresponents a la distribució normal. Així, per al nivell de confiança del 95 %, l'interval de confiança de la mitjana està donat per una expressió anàloga a (##) substituint-hi el 2 per 1,96. Si el nivell de confiança fos del 90 % en lloc del 2 o de l'1,96, caldria posar 1,64.

Per tant, en cas que vulguem estimar la mitjana µ d'una variable estadística en una població sense conèixer el valor exacte de la desviació estàndard s d'aquesta variable en la població, seleccionarem una mostra aleatòria de mida (n 30) i calcularem , la mitjana mostral, i s, la desviació estàndard mostral, i llavors podrem prendre l'interval

• Càlcul pràctic: en podeu veure exemples a la pràctica 6, on veureu que l'Excel té molt en compte la primera de les dues observacions que s'exposen seguidament.

Primera precisió: Amb rigor cal fer servir la t de Student. Fins ara hem treballat amb mostres grans i així podem, per una banda, aplicar el teorema del límit central, i per una altra, substituir el valor de la desviació estàndard de la població que apareix al teorema per la desviació estàndard corregida mesurada sobre la mostra sense que això representi cap canvi substancial.

Tanmateix, en moltes circumstàncies no és possible treballar amb mostres grans per fer l'estimació de la mitjana. Tot i que no donarem la formulació teòrica d'aquests casos, sí que comentarem, com ja es va fer per a l'estimació d'una proporció, que el fet d'emprar la desviació estàndard corregida de la mostra en lloc de la desviació estàndard de la població (desconeguda en general en situacions pràctiques) ens porta a una situació en què cal aplicar la distribució t de Student.

I llavors, quin valor caldria posar en lloc del 2 (que vol dir 2,00) que assenyala el radi que dóna l'interval del 95,5 %? Semblantment, si no volem treballar amb un nivell de confiança del
95,5 %, sinó amb un altre, quin nombre hem de posar?

La taula següent mostra alguns valors dels que poden interessar. En trobareu més al llibre TAULES.XLS que forma part dels materials del curs.

En aquesta taula, tn representa la distribució t de Student amb 10, 15, 20... graus de llibertat corresponents a mostres de mida una unitat més.

Un exemple d'aplicació del teorema del límit central a un cas discret

Si llancem 100 daus enlaire de manera independent, quina previsió podem fer amb una probabilitat d'encert del 95,5 % pel que fa a la mitjana de la suma dels punts? I pel que fa a la suma dels punts?

• En aquest cas, la població de partida (resultats possibles de les tirades d'un dau) respon a una distribució uniforme discreta amb valors extrems 1 i 6. La mitjana i la variància de la distribució uniforme discreta amb valors {1..., n} són, respectivament,
  (1 + n)/2 i (n² – 1)/12. En aquest cas, doncs, la mitjana és 3,5 i la variància 35/12. Podem calcular la desviació estàndard i resulta 1,71.

• La mitjana mostral estarà, amb probabilitat del 95,5 %, en l'interval centrat en el valor 3,5 i de radi 0,342, que és el resultat de substituir
  s = 1,71 i n = 100 en l'expressió 2 ·
• L'interval és, doncs, (3,158; 3,842).

• Si sabem la mitjana d'un conjunt de 100 valors, podem conèixer la suma simplement multiplicant per 100. Podem dir, doncs, que quan tirem 100 daus enlaire i sumem el nombre de punts, l'interval en el qual podem predir, amb una probabilitat d'encert del 95,5 %, que hi haurà la suma de punts és l'interval (315,8; 384,2), però com que la suma ha de ser un nombre enter, la resposta serà l'interval [315, 385] i, per a aquest interval, la probabilitat serà una mica superior a 95,5 %.