En aquesta pràctica, veureu com podeu calcular el marge d'error, o error mostral, per una proporció obtinguda a partir d'una mostra.

Aquest és un tema habitual a l'hora de fer una consulta popular sobre un tema. S'escull una mostra aleatòria de persones i se'ls fa una pregunta. La proporció de persones que contesten afirmativament, per exemple, a la pregunta ens dóna una idea de quina és l'opinió de tota la població.

• Fins a quin punt ens podem fiar d'aplicar aquesta proporció a tota la població?
• Fins a quin punt el percentatge d'opinions favorables de la mostra serveix per conèixer la proporció de persones de tota la població que opinen igual?

En aquesta pràctica aprendreu a calcular el marge d'error previsible; aquest valor matisa la proporció mostral quan la volem aplicar a tota la població.

Per altra banda, sembla correcte pensar que com més gran és la mostra més s'apropa la proporció mostral a la vertadera proporció de la població. Però l'augment excessiu del nombre de persones consultades implica un augment important de les despeses i, per tant, a qui fa la consulta li interessa conèixer a quantes persones cal consultar per cometre un error màxim donat. Es tracta, doncs, de calcular la mida de la mostra en funció del marge d'error. Aquesta mida també la podeu calcular fent servir l'Excel. En definitiva, els objectius són:

• Calcular marge d'error de l'estimació d'una proporció.
• Calcular la mida de la mostra a partir d'un marge d'error donat.
• Fer servir una aplicació elaborada en l'Excel que facilita aquests càlculs.

Suposem que llegim al diari la informació següent:

"Una enquesta feta a 800 persones revela que el 73 % està a favor d'una nova llei."

Aquesta pràctica us ajudarà a calcular el marge d'error (variabilitat) de l'estimació de la proporció. Aquest càlcul el podeu fer amb l'Excel a partir de la fórmula vista en el document teòric corresponent.

Si es pot fer la hipòtesi que la població és molt gran (infinita) o bé sempre que es pugui pensar que l'elecció de la mostra es fa amb reemplaçament (MAS o mostra aleatòria simple) i suposant un nivell de confiança del 95,5 %, la fórmula és:

A la tercera part de la pràctica, podeu estudiar les modificacions que calen en aquesta fórmula si no es compleixen les condicions indicades.

Amb la pràctica que us proposem tot seguit podeu estudiar i relacionar aquests valors i arribareu a un full de càlcul semblant a:

• Entreu a A1 el títol que es veu a la figura. Feu que la mida de la lletra sigui 12 i en negreta.
• Entreu els rètols que es veuen al rang A3:A8, en negreta. Alineeu-los a la dreta.
• Entreu el 800 a B3 i el 73 a B4.
• Entreu a B5 la fórmula =2*RAIZ(B4/100*(1-B4/100)/B3) que calcula el marge d'error per a un nivell de confiança del 95,5 %.
• Entreu a B8 la fórmula =B4-B5*100 i a C8 la fórmula =B4+B5*100. Aquestes dues fórmules calculen els extrems de l'interval de confiança que es dedueix d'aquesta proporció mostral.

Si tornem a l'enunciat de l'exemple, podem dir que entre un 69,86 % i un 76,14 % de la població té una opinió favorable a la llei. És l'interval de confiança de la proporció.

• Entreu un valor diferent a B4 i fixeu-vos com varia el marge d'error i l'interval de confiança.

Ara bé, en una enquesta, sovint es fan preguntes diverses i seria molt enfarfegador anunciar cada resultat amb el seu propi marge d'error, com hauria de ser estrictament, perquè aquest marge d'error depèn de la p* observada i aquesta p* és diferent d'una pregunta a una altra.

Per aquesta raó, i perquè és important poder treballar amb un marge d'error a priori establert abans de la realització de l'enquesta, en les fitxes tècniques s'indica un únic marge d'error, el que es pot donar en el cas de màxima variabilitat, que correspon a p* = 0,5.

En aquesta situació de p* = 0,5, s'arriba al marge d'error màxim, que és:

Ara us proposem modificar el full de càlcul anterior per analitzar també l'error màxim:

• Entreu a A6 i a A9 els rètols.
• Entreu a B6 la fórmula =1/RAIZ(B3), que calcula el marge d'error màxim, suposant que
  p* = 0,5.
• Entreu a B9 la fórmula =B4-B6*100 i a C9 la fórmula =B4+B6*100.

Si ara varieu el valor de B4, veureu com el marge d'error canvia, però no ho fa el marge d'error màxim que no depèn de p*.

Si varieu el valor de B3, podeu observar com van canviant els altres valors.

El marge màxim d'error surt a les fitxes tècniques, perquè és la cota més alta d'error que podem admetre, independentment de la proporció mostral.

La fitxa tècnica d'aquesta enquesta hauria de dir, com a mínim:

"Enquesta feta a 800 persones, amb un marge d'error màxim (per a p = 0,5) del 3,54 % i amb un nivell de confiança del 95,5 %."

Si en la mateixa enquesta s'han fet més preguntes, ha resultat, per exemple, que el 42 % és favorable a l'acció del govern; aquest mateix marge d'error màxim serveix per mesurar la variabilitat d'aquest resultat.

Recordeu que si el nivell de confiança és diferent al 95,5 %, s'ha de variar lleugerament la fórmula del marge d'error. El número 2 s'ha de canviar per 1,96 (nivell de confiança del 95 %) o per 1,64 (nivell de confiança del 90 %). Per a més informació, repasseu el document teòric.

Si aneu variant la mida de la mostra en el full anterior, podeu fer un aproximació de quin ha de ser per tenir un marge d'error màxim determinat. Per exemple, si volem una enquesta amb un marge d'error màxim del 2 %, entrant diferents valors a B3 segurament arribaríeu a l'error desitjat.

Tot i així, també podeu entrar en un full de càlcul una fórmula que calcula directament la mida de la mostra a partir d'un marge d'error màxim, simplement aïllant n de la fórmula del marge d'error màxim.

• En un full nou entreu a B3 el nombre 2 i a E3 la fórmula =1/(B3/100)^2.
• Completeu el full fins a arribar a:

Si aneu canviant el contingut de B3, podeu observar les diferents mides necessàries per a aconseguir el marge d'error escollit.