Idees sobre estimació. Estimació d'una proporció  
 

Al mòdul 1 es comentava el marc general de treball de l'estadística i es deia que l'ajustament d'unes dades a un model teòric per poder inferir conclusions és una tasca habitual.

Hem vist al mòdul anterior uns exemples de contrastos d'hipòtesis, amb la idea concreta de confrontar la validesa d'un model. En alguns d'aquests casos, les característiques del model s'han deduït de les pròpies dades: hem fet una inferència.

L'objectiu d'aquest document és presentar, des d'un punt de vista intuïtiu, els aspectes més importants relacionats amb l'estimació de paràmetres i estudiar més a fons l'estimació d'una proporció.

 
Convé comentar, abans que res, la terminologia que s'empra.

Paràmetre: és una característica numèrica de la població. És un nombre fix, però habitualment no en coneixem el valor.

La determinació d'un paràmetre és una de les fites que habitualment es marca el procés estadístic. Tanmateix, la determinació exacta d'un paràmetre només es pot fer a partir de l'anàlisi exhaustiva de tota la població, moltes vegades fora de l'abast de l'investigador (per raons de temps, de despeses...).

Llavors és quan la inferència es fa imprescindible: s'escull una mostra que sigui representativa de la població i que es pugui analitzar amb detall i a partir d'aquesta selecció i anàlisi s'estima un valor per al paràmetre que interessa.

Estadístic: és una característica numèrica de la mostra. El valor d'un estadístic es pot calcular després que haguem pres una mostra i haguem mesurat sobre les seves unitats el valor de la variable que ens interessa.

Estimador: és qualsevol estadístic que calculem amb la finalitat d'estimar el valor d'un paràmetre.

Vegeu l'exemple següent:

• Observem un bombo destinat a fer un sorteig en el qual ens diuen que les boles estan numerades amb nombres enters a partir de l'1, però no ens diuen quantes boles hi ha al bombo. Tanmateix, veiem que n'hi ha moltes.

• Tenim temps de fer 50 extraccions independents de boles d'aquesta bossa i anotar-ne el número. Ordenem les observacions i veiem que la mostra és aquesta:

  	  36  	  45	  95  	 107  	 149  	
  	 222  	 258  	 400  	 423 	 489
  	 509	 549  	 566  	 638  	 849
  	 892  	 918  	 947  	 962  	 989	  
  	1063	1078 	1087 	1090 	1102 	
  	1116  	1150 	1172 	1214 	1246
  	1406  	1479 	1606 	1609 	1626
  	1642  	1700 	1702 	1764 	1895	  
  	1964  	2018 	2056 	2089 	2090
  	2298  	2311 	2414 	2435 	2457

• Què podríem fer per estimar, únicament a partir d'aquesta llista de números, quantes boles hi ha al bombo (és a dir, quin és el nombre màxim que hi podríem trobar)?

• Aquesta qüestió l'hem proposada diverses vegades en cursos presencials. Heus ací alguns dels estadístics que han inventat els assistents:
  • El màxim nombre observat a la mostra.
  • El doble de la mitjana dels nombres observats a la mostra (mitjana mostral), arrodonida a un valor enter.
  • La mediana de la mostra més el rang interquartíl·lic (segurament pensant en el diagrama de caixa i el fet que hi hauria d'haver quatre parts de la mateixa longitud).
  • ...

• Ara podeu omplir els punts suspensius i inventar altres estadístics com a estimadors de la quantitat de boles que hi ha en un bombo a partir de l'anàlisi de la numeració d'una mostra de 50 boles de la bossa. I quan ja tinguem moltes idees... com sabrem què és el millor per estimar realment el paràmetre que ens interessa?

Per poder arribar a una estimació a partir de l'estadístic escollit, ens caldria conèixer el model teòric que explica la seva variabilitat, calculada suposant la població coneguda. Això es pot fer amb raonaments teòrics (que escapen de la finalitat d'aquest curs) o bé amb procediments empírics, amb l'ajut d'un ordinador que ens permeti fer simulacions i prendre moltes mostres.

En aquest cas, per fonamentar la inferència (pas de l'estadístic mesurat sobre la mostra al paràmetre desconegut de la població), abans es fa una simulació, a manera de treball de laboratori: es parteix d'una població coneguda, es prenen moltes i moltes mostres i s'observa com varia l'estadístic escollit. Així es pot veure si servirà com a estimador i quin tipus de garanties tindrem quan fem una estimació a partir d'una mostra.

• Exemple: Per valorar quin de tots els estadístics ja inventats o els que es puguin inventar en el cas del bombo d'una rifa és el millor, hauríem d'enfocar el cas des d'un punt de vista invers. Prendríem un bombo amb 3.000 boles, per exemple, i faríem moltes vegades l'experiència de treure una mostra de 50 boles (si pot ser amb una simulació ràpida amb ordinador, millor). Analitzaríem llavors quina és la distribució estadística que ha resultat pel que fa als valors observats de l'estimador, i si hi podem reconèixer un model teòric, millor. Dels models observats per la variació de cadascun dels estadístics considerats, decidiríem quin s'ajusta millor al valor 3.000 del qual, amb aquest enfocament, hem partit. I una vegada decidit el millor estimador, l'aplicaríem a la nostra mostra.
  

Aquesta opció empírica és la que adoptarem, amb l'ajut de les simulacions que podem fer amb l'Excel, per a la presentació dels dos problemes fonamentals d'estimació de paràmetres. Podeu veure a la pràctica 1 un estudi del problema del bombo que s'acaba de comentar. Convé que esmentem dos conceptes importants que ajuden en la decisió de quin és el millor estimador.

Biaix d'un estimador: es diu que un estimador no té biaix si la mitjana de la distribució que dóna la variabilitat mostral coincideix amb el veritable valor del paràmetre que volem estimar. Si, en canvi, la mitjana dels valors que donaria l'estimador si realitzéssim totes les mostres possibles s'allunya del veritable valor del paràmetre, es diu que l'estimador és esbiaixat.

• Podem esmentar, com a exemples fonamentals, que la mitjana d'una mostra és un estimador sense biaix de la mitjana de la població, i que, en canvi, la desviació estàndard (dita de vegades no corregida, és a dir, calculada dividint per N) d'una mostra és un estimador esbiaixat de la desviació estàndard de la població (vegeu quin és el
  millor estimador de ). També ens podem fixar en l'exemple del bombo: l'estimador màxim de la mostra és esbiaixat. Si fem moltes mostres i calculem la mitjana dels màxims nombres obtinguts en cada mostra, ben segur que obtenim un valor menor que el nombre més gran que hi ha al bombo.

Precisió d'un estimador: es diu que un estimador és més precís com més petita sigui la variància de la distribució mostral de l'estadístic que ha de servir per estimar el paràmetre que interessa. Com a norma general, la precisió d'un mateix estimador augmenta a mesura que augmenta la mida de la mostra considerada.

Entre diversos estimadors, la consideració de l'existència de biaix o no i la comparació de la precisió és el que ens fa decidir per un o altre.

Els diagrames següents il·lustren la idea de biaix i precisió aplicats a unes persones que es dediquen a llançar dards cap a una diana.

Quin d'aquests jugadors diríem que és un millor llançador? Sense cap dubte, el primer. I el segon millor? Potser ja dubtaríem entre el segon o el tercer. Ben segur que tots ens posaríem d'acord que el pitjor és el quart.

I, una vegada decidit quin és el millor estimador, com anunciarem el resultat de la nostra estimació?

Es diu que el valor de l'estadístic dissenyat per a l'estimació d'un paràmetre dóna una estimació puntual d'aquest paràmetre.

Ara bé, la lectora o el lector, que ja estan a aquestes altures força familiaritzats amb la tasca estadística, pensaran que aquesta estimació ha d'anar acompanyada de la informació del marge d'error (o grau de variabilitat) que pot tenir aquesta estimació. I així és, en efecte.

Error estàndard d'un estimador: és la desviació estàndard de la distribució que dóna la variabilitat mostral de l'estadístic corresponent. Com més precís és un estimador, més petit és el seu error estàndard. Qualsevol estimació puntual d'un paràmetre ha d'anar sempre acompanyada de l'error estàndard d'aquest estimador.

• Exemples:
  • L'error estàndard per a l'estimació de la mitjana és l'error estàndard de l'estimació puntual de la mitjana d'una població de la qual se suposa que la variable que estudiem n'és una mostra seleccionada aleatòriament. El valor que cal estimar per a la mitjana de la població és el mateix que la mitjana de la mostra.

  • El millor estimador de la desviació estàndard d'una població és el valor que resulta de fer la desviació estàndard corregida (dividint per N – 1), que és el nombre que ens dóna la funció de l'Excel DESVEST (o la calculadora estadística amb la tecla adient). Si es decidís emprar la desviació estàndard no corregida, és a dir, dividint per N, s'obtindria un estimador amb biaix. Vegeu la pràctica 5.

  • La manera més usual de fer l'estimació d'un paràmetre és la de donar un interval (dit interval de confiança) al qual és plausible (amb el nivell de confiança amb què es vulgui treballar) que pertanyi el veritable valor del paràmetre que es vol estimar. Més endavant, es defineix correctament aquest concepte.

Acabem aquest apartat introductori recordant el que dèiem al mòdul anterior: l'estudi de la plausibilitat d'un model mitjançant un contrast d'hipòtesis (per exemple, el test de khi quadrat) ja és una forma d'inferència. Donem com a exemple el tipus de resposta (sense parar atenció en els números) que caldria donar per a cadascun dels tres models d'inferència que hem comentat per a l'estimació del nombre de boles que hi ha al bombo:

• Podem estimar que al bombo hi ha 3.000 boles. L'error estàndard per aquesta estimació és igual a 100.
• Amb un nivell de confiança del 95 % podem estimar que el nombre de boles que hi ha al bombo està entre 2.890 i 3.110.
• O bé, si sospitéssim que al bombo hi ha 3.000 boles, podríem dissenyar un contrast d'hipòtesi a la vista dels valors obtinguts en la mostra per veure si aquest model és plausible o no. Per exemple, podríem pensar en les freqüències observades als intervals [1,600], [601,1200], [1200,1800], [1801,2400] i [2401,3000] i les freqüències esperades si realment la mostra hagués estat una mostra aleatòria extreta d'un bombo amb
  3.000 boles i aplicar el test de khi quadrat.

  Fet així, la conclusió seria:

  • Podem acceptar el que ens han dit i creure'ns que hi ha 3.000 boles.
  • Tenim criteris per rebutjar l'afirmació que al bombo hi ha 3.000 boles.

Per avançar en el camí que porta a l'estimació d'una proporció, us recomanem que feu la pràctica 3 en el marc de la qual es defineixen intuïtivament i de manera empírica, mitjançant simulacions, els conceptes següents, referits a l'estimació d'una proporció:

Tot seguit, revisarem un exemple que ja hem treballat anteriorment al mòdul 4 per a mostres petites i, posteriorment, al mòdul 5 per a mostres grans. Podeu veure la pràctica 2 del mòdul 4 on s'han calculat probabilitats i valors crítics i la pràctica 3 del mòdul 5 on s'ha reprès l'exemple fent servir l'aproximació de la distribució binomial mitjançant la normal.

Allà hem fet problemes de probabilitats a partir de models coneguts i hem fet prediccions de possibles resultats, acompanyades de la probabilitat d'encert que teníem amb aquestes prediccions. Ara reescriurem l'exemple esmentat des d'un punt de vista més formal.

Exemple: En una població, el 47 % de les persones són favorables a la gestió de l'ajuntament. Si s'encarrega una enquesta que s'ha de fer a una mostra de 2.000 persones, quina és la predicció que podem fer, amb una probabilitat d'encert del 95 %, respecte a la proporció mostral?

• La distribució que representa la variable aleatòria X (nombre de persones de la mostra favorables a la gestió municipal) és una distribució binomial
  B(n = 2000, p= 0,47) que pot ser aproximada per una distribució normal amb mitjana
  n · p = 940 i = (aproximadament 22,32).
• Aquesta consideració ja ha permès fer (vegeu mòdul 5) una previsió: "A la mostra sortiran entre 896 i 984 persones favorables", que té una probabilitat d'encert (nivell de confiança) superior al 95 %.

• Però si el que ens interessa és estudiar la proporció mostral, que és el tema que ara ens ocupa, podem veure que el resultat anterior es pot enunciar dient, amb un nivell de confiança del 95 %, que:
  • La proporció mostral estarà entre 897/2000 = 0,4485 i 983/2000 = 0,4915.
    
    
  • La proporció mostral estarà entre el 44,85 % i el 49,15 %.

• Podeu observar que això defineix un interval centrat en el veritable valor de la proporció, que és 0,47 (o sigui, el 47 %), i que d'aquest valor a cada extrem de l'interval hi ha una distància (radi) de 0,0215. Podem formular, doncs, la conclusió d'una tercera manera:
  • La proporció mostral està a l'interval [0,47–r, 0,47+r] per un valor de r=0,0215.

• Aquest interval rep el nom d'interval de tolerància (o, actualment, també interval de confiança) en la predicció de la proporció mostral corresponent a un nivell de confiança del 95 %.

• També podem enunciar amb percentatges quin és aquest interval:
  • Amb un nivell de confiança del 95 %, podem dir que la proporció mostral pertanyerà a l'interval centrat en el 47 % que té d'extrems 47 % - 2,15 % i 47 % + 2,15 %. Aquest interval s'enuncia sovint a la premsa com 47 % més menys 2,15 %.

• El radi d'aquest interval rep moltes vegades la denominació de marge d'error de la predicció i ens dóna una mesura del grau de variabilitat amb què cal expressar l'estimació.

Si s'estudia formalment una situació anàloga a la que es planteja a l'exemple, s'arriba al resultat que s'enuncia a continuació. Podeu consultar la deducció i hi veureu per què és habitual, actualment, prendre un nivell de confiança del 95,5 %.

L'interval de tolerància (també anomenat interval de confiança) del 95,5 % de la proporció mostral en la selecció d'una mostra aleatòria de mida n a partir d'una població en la qual un determinat caràcter es manifesta amb proporció p és l'interval [p–r, p+r] centrat en el valor real de la proporció, p, i de radi .

Exemple: En una empresa en què els estudis previs demostren que el 4 % de la producció resulta defectuosa, se selecciona una mostra de 1.000 unitats. Quina previsió podem fer d'unitats defectuoses en la mostra seleccionada amb un nivell de confiança del 95,5 %?

• El model seria la distribució binomial B(n=1000, p=0.04). Com que n · p = 40 i també
  n · q = 960 són més grans que 15, podem aplicar sense cap dubte l'aproximació normal i és vàlid el resultat anterior.

• L'interval de tolerància del 95,5 % estarà centrat, doncs, en la proporció real p = 0,04 i tindrà un radi igual (segons la fórmula donada) a 0,012.

• L'interval és [0,028; 0,052]

• La previsió que podem fer és que sortiran entre el 2,8 % i el 5,2 % de peces defectuoses (és a dir, en nombres absoluts, entre 28 i 52 peces).

• I si féssim un control de qualitat i resultés que l'observació no concorda amb aquesta previsió? Si ens ho mirem com un contrast d'hipòtesi, tindríem criteris per rebutjar (amb un nivell de significació del 4,5 %, que és el risc d'error de la predicció) la hipòtesi que el 4 % de la producció és defectuosa. Caldria revisar, llavors, les condicions de treball de l'empresa.

• L'estimació d'una proporció es fa per interval (l'anomenat interval de confiança de l'estimació).

• L'interval de confiança es dóna centrat en la proporció mostral p* observada i té per radi el mateix que tindria l'interval de tolerància si la p* observada fos, realment, la proporció mostral, p, de la població.

• La proporció mostral observada és del 47 % (940 respecte a 2.000). Hem vist abans, en la simulació ja comentada, que si el veritable valor de la p de la població fos p = 0,47, l'interval de tolerància del 95,5 % s'ha de donar amb un marge d'error (radi de l'interval) del 2,15 %.

• L'estimació que farem serà la següent:
  

  Amb un nivell de confiança del 95,5 % podem estimar que la proporció de persones de la població favorables a la gestió municipal està entre el 44,85 % i el 49,15 %.

• Quan els mitjans de comunicació publiquen resultats d'enquestes, presenten habitualment les estimacions de proporcions com si fossin estimacions puntuals. El resultat anterior seria publicat, segurament, d'aquesta manera:

  Titular: EL 47 % DE LA POBLACIÓ FAVORABLE A L'AJUNTAMENT!

  A la lletra petita, inclòs en la fitxa tècnica de l'enquesta (si hi és):
  marge d'error: 2,15 %.

Per a una justificació del procediment que acabem de comentar, que es concreta en l'enunciat que es dóna seguidament, podeu consultar la part d'ampliació, on veureu les precisions que cal fer, la principal de les quals és que es tracta d'una excel·lent aproximació i no d'un resultat exacte.

• L'interval de confiança del 95,5 % en l'estimació de la proporció amb què es mostra un determinat caràcter en una població, feta a partir de la selecció d'una mostra aleatòria simple de mida n és l'interval centrat en la proporció mostral observada,  p*, i de radi .
• Habitualment, l'estimació es dóna en percentatge i el radi de l'interval de confiança s'anomena marge d'error de l'estimació.

Hi ha un altre aspecte que és important precisar pel que fa a la validesa del resultat que acabem d'enunciar. S'ha indicat que la selecció es feia amb una mostra aleatòria simple. Aquesta suposició és equivalent a la de l'experiment de treure boles d'una bossa a l'atzar i amb reemplaçament.

Tanmateix, a la pràctica, aquest no és el costum més habitual, sinó que per raons de l'eficàcia del procés de selecció es fan altres tipus de procediments de mostreig (mostres sistemàtiques, mostres per conglomerats...) i llavors el procediment cal modelitzar-lo més aviat mitjançant la distribució hipergeomètrica, que regula les experiències d'extraccions sense reemplaçament. Si es fa així, cal tenir en compte la mida de la mostra, però, si la mostra és relativament gran, les diferències no són substancials.

Podeu veure les fórmules si cliqueu a la icona d'ampliació i podeu treballar el tema, a bastament, a la pràctica 4 d'aquest mòdul.

Exemple: En una enquesta feta a 1.200 persones, 333 s'han mostrat partidàries d'una determinada opció. Quina estimació podem fer amb un nivell de confiança del 95,5 %?

• Proporció mostral observada: 333/1200 = 0,2775 = p*
• Radi de l'interval de confiança:
  Posant-hi n = 1200 i p* = 0,2775, resulta 0,0259

• Estimació: la proporció és a l'interval [0,2516; 0,3034] o bé, en percentatges,
  [25,16 %, 30,34 %]

• Una altra manera d'enunciar-la: proporció del 27,75 % amb un marge d'error del 2,59 %.

• Observem en primer lloc que 333 és el 27,75% de 1200.
• Si apliquem la fórmula corregida que podeu veure a l'ampliació per k = 2 (valor corresponent al 95,5 %) en la població de 10.000 habitants el radi de l'interval de confiança resulta 0,0243, o si ho volem expressar en tant per cent, el 2,43 %. Vist això, l'estimació és que la proporció és a l'interval [25,32 %, 30,18 %], és a dir, que és del 27,75 % amb un marge d'error de 2,43 %.
• En la de 30.000 habitants, el resultat és que el marge d'error és de 2,53 % per un interval de confiança de [25,22 %, 30,28 %].
• I si ho fem de manera semblant en el cas de la població de 80.000 habitants, resulta un marge d'error del 2,57 %.
• En tots tres casos, la diferència és ben petita, però si enunciéssim el resultat de l'enquesta sense tenir en compte la correcció, ens curaríem en salut, perquè diríem un marge d'error més gran que el que tenim en realitat.

Hem vist com es dóna l'interval de confiança d'una estimació, amb el seu valor central (proporció observada a la mostra) i el radi de l'interval (també anomenat marge d'error). Tanmateix, escau moltes vegades que un estudi estadístic (com és ara una enquesta) no es limiti a l'estimació d'una única proporció. Llavors, com que el radi de l'interval de confiança tal com l'hem vist depèn del valor observat, cadascuna de les estimacions (enunciada com a puntual per comoditat encara que això no sigui correcte conceptualment) tindria un marge d'error diferent. Això faria que la publicació de resultats fos molt enfarfegadora i també faria imprevisibles a priori els marges d'error amb què es treballaria.

• Si s'estudien els valors de l'expressió , es veu que assoleix el seu màxim valor en el cas de màxima indeterminació, que correspon a
  p* = q* = 1/2. Aquest valor és
• Per tant, el radi r de l'interval de confiança en l'estimació d'una proporció (és a dir, el marge d'error) amb un nivell de confiança del 95,5 % compleix, en tots els casos,

• En el cas d'una enquesta feta a 1.200 persones, independentment del valor (o valors) observats per a la proporció mostral, quin serà el marge màxim d'error per a les previsions que puguem fer amb un nivell de confiança del 95,5 %?

  El màxim radi de l'interval de confiança és .
  Per n = 1200 resulta r = 0,0289; l'error màxim és del 2,89 %.

• Si volem fer una enquesta amb diversos apartats, volem treballar amb un nivell de confiança del 95,5 %, i volem que el marge màxim d'error de les estimacions sigui del
  3 %, quina ha de ser la mida de la mostra?

  Si ha de ser 0,03, resulta n = 1111 (aproximadament).

• La Vanguardia, maig de 1988. "Encuesta ante las presidenciales norteamericanas. En la encuesta se consultó a 1.056 votantes y existe un margen de error del 3 %."
• El País, setembre de 1989. "La mayoría del electorado prevé otra victoria socialista. Muestra aleatoria de 800 personas. Para un nivel de confianza del 95,5 % el error en la hipòtesis más desfavorable seria del 3,5 % en más o en menos."
• El País, juny de 1989. "El 43 % de los barceloneses cree que... El sondeo pulsó la opinión de 1.200 ciudadanos y el margen de error és de más menos 2,9 %."

Ara bé, allò que estimem és una proporció; en aquesta estimació, el marge d'error és el mateix (en percentatge!) en els tres casos, però heu de tenir ben present que un error relatiu del 3 % sobre la població dels Estats Units o un error relatiu del 3 % sobre la població de Barcelona donen errors absoluts ben diferents!

Podeu veure que els càlculs relatius a la mida de la mostra, l'interval de confiança i el marge d'error en l'estimació d'una proporció es fan ràpidament amb l'aplicació d'una fórmula.

Si es pren una mostra aleatòria de mida n a partir d'una població en què un determinat caràcter es manifesta amb una proporció p, la distribució que representa la variable aleatòria X (nombre d'elements de la mostra que manifesten el caràcter estudiat) és una distribució binomial B(n, p) que pot ser aproximada per la distribució normal de mitjana n · p, i desviació estàndard

Ara bé, la proporció mostral és p* = X/n.

Si en la fórmula que ens dóna la variable estandarditzada Z substituïm la mitjana i la desviació estàndard pels seus valors i dividim numerador i denominador per n queda:

p[– 2 Z 2] = 0.955 = 95,5%

És a dir, que, en el nostre experiment, l'interval de tolerància (o de confiança) del 95,5 %, això és, el conjunt C de valors més plausibles de p* de manera que la probabilitat p[ p* pertany a C] = 0.955 = 95,5 %, són els que compleixen:

Observació
Si en lloc de treballar amb un nivell de confiança del 95,5 % haguéssim decidit fer-ho amb un altre, el número 2 seria substituït pel corresponent valor de la distribució normal. Així, per exemple, si volem intervals de tolerància per un nivell del 90 %, el valor seria 1,64, i si el nivell de confiança és del 95 %, a la fórmula apareixeria 1,96.

Tanmateix, es demostra que si la mostra és prou gran, es pot prendre com a negligible la diferència entre prendre el radi de l'interval amb la veritable desviació estàndard de la distribució, és a dir, , o bé substituir-hi p i q pels valors observats,
p* i q* = 1 – p*, que serveixen com a estimadors.

La diferència conceptual ve, llavors, del fet que si en el procés d'estimació fem servir p* en lloc de la p desconeguda, la proporció mostral no segueix una distribució binomial (que si n és prou gran, es pot aproximar per una normal), sinó una distribució anomenada t de Student amb n – 1 graus de llibertat, en què n és la mida de la mostra. I llavors, quin valor caldria posar en lloc del 2 (que vol dir 2,00) que assenyala el radi que dóna l'interval del 95,5 %?

La taula següent, on t10, t30..., t1600 representen les distribucions t de Student amb 10, 30... 1600 graus de llibertat, ho mostra:

Vegeu que per les mides de les mostres aconsellables en una enquesta adreçada a estimar una proporció la diferència és ben minsa.

Podem prendre, doncs, com una excel·lent aproximació del radi de l'interval de confiança (si el nivell de confiança és del 95,5 % i la mida de la mostra és la usual en enquestes) el valor de

Així, s'arriba a l'enunciat sobre l'interval de confiança d'una estimació que s'ha donat al text.

Si es considera l'experiència de treure boles d'una bossa amb reemplaçament i amb independència d'una extracció a l'altra, el model teòric és la distribució binomial i en cada extracció la probabilitat d'èxit és la mateixa.

En canvi, si traiem boles sense reemplaçament, les extraccions no són independents i la probabilitat d'èxit va variant. Així, per exemple, si a la bossa hi ha N boles (mida de la població) i en la primera extracció la probabilitat de treure bola blanca és b/N, si la primera bola és blanca a la segona extracció la probabilitat serà (b-1)/(N-1), però si la primera no ha estat blanca la probabilitat que ho sigui la segona és b/(N-1), etc. Si el valor de N és molt gran, sovint les diferències són inapreciables, però si no ho és tant, llavors cal tenir-ho en compte.

Per això, si es fa una enquesta sense reemplaçament, en aquest cas s'ha de considerar un factor de correcció en el radi de l'interval de confiança de l'estimació d'una proporció. En aquest factor intervé la mida de la població i les fórmules que s'han de considerar són les següents:

• Interval de confiança per a l'estimació d'una proporció
  
• Error màxim d'estimació
  

En aquestes fórmules k representa el valor crític segons el nivell de confiança i la distribució amb què vulguem treballar. Habitualment, és k = 2 si considerem el nivell de confiança del 95,5 % i l'aproximació donada per la distribució normal. Altrament, podeu consultar la taula corresponent una mica més amunt.

Adoneu-vos d'alguns valors d'aquest factor de correcció:

• En una població de mida 100.000, si es fa una enquesta amb mida de la mostra igual a 1.000, el valor d'aquest factor és 0,995. Per aquesta raó, s'acostuma a considerar en aquest cas que la població és infinita.
• En una població de 1.000 persones, amb una enquesta feta a 200 persones, el factor indicat té un valor de 0,895.
• I, en tot cas, el factor de correcció fa que els intervals resultants siguin més petits que si no el considerem. Per aquesta raó, si en lloc d'aplicar aquestes fórmules corregides donem el valor resultant de les fórmules sense corregir, en realitat el nivell de confiança és més gran que el que en realitat anunciem.