L'objectiu d'aquesta pràctica és fer simulacions amb el programa Excel a partir de diverses poblacions teòriques i analitzar la distribució de les mitjanes mostrals per constatar empíricament el teorema del límit central.

Treballareu els aspectes següents:

• Generació de nombres aleatoris. Comentari d'un funcionament anòmal en la versió 97.
• Revisió del càlcul de paràmetres estadístics i de l'elaboració de gràfics.
• Constatació empírica del teorema del límit central que permet l'estimació de la mitjana que treballareu també a la pràctica 5.

En aquesta primera part de la pràctica, fareu simulacions de la selecció de mostres a partir d'una població que segueixi el model normal per constatar empíricament la versemblança del teorema del límit central. Posteriorment, es proposarà que repetiu uns procediments semblants, però a partir d'una població que correspongui al model uniforme continu per copsar la idea que les característiques de la població de partida no són transcendentals per a l'estimació d'una mitjana.

Plantejament: Si suposem que en una població teòrica els valors d'una variable X es distribueixen d'acord amb un model normal de mitjana = 5 i desviació estàndard = 1,25, el teorema del límit central ens diu que si recollim mostres de mida 100 d'aquesta població, llavors la mitjana mostral de la variable X es pot modelitzar mitjançant una distribució normal de mitjana = 5 i desviació estàndard = 0,125.    (Indicarem amb # aquest model)

En aquesta pràctica:

• Farem 200 simulacions d'una recollida de dades com la que s'acaba de comentar.
• Per cada simulació, calcularem la mitjana mostral.
• Tot seguit obtindrem la mitjana i la desviació estàndard de la distribució de mitjanes mostrals i les compararem amb les que estableix el teorema del límit central.
• Finalment, farem un esbòs de l'histograma de la distribució de mitjanes mostrals i el compararem visualment amb les freqüències que corresponen al model normal (#) que estableix el teorema del límit central.

Tot seguit, s'explica com es pot portar a terme aquesta activitat:

I si voleu fer altres proves numèriques i constatar l'extraordinària precisió del teorema del límit central (cosa que us recomanem), accediu al full on heu fet les simulacions i torneu a activar Herramientas | Análisis de datos | Generación de números aleatorios | Normal, deixeu els mateixos paràmetres definidors de la població (la distribució normal a partir de la qual es genera una mostra) i el mateix rang de sortida. Canvieu el nombre enter de Iniciar con... (o deixeu-ho sense cap nombre, i llavors cada simulació donarà valors diferents) i observeu l'evolució dels valors a les files 104 i 106 que l'Excel actualitza automàticament en cada nova simulació.

Si la població de partida segueix el model normal, el teorema del límit central és, estrictament, un teorema, demostrable per formulacions matemàtiques que s'escapen dels objectius d'aquest curs.

Tanmateix, encara que la població de partida segueixi un altre model (o no coneixem quin és el possible model que li podem aplicar), llavors hi ha una aproximació empírica que ens diu que si la mida de la mostra és suficientment gran (n 30), també podem aplicar les conclusions de l'esmentat teorema. Recordeu-lo:

Enunciat: Si recollim mostres de mida 100 d'una població i analitzem els valors d'una variable X, llavors la mitjana mostral de la variable X es pot modelitzar amb un altíssim grau d'aproximació mitjançant una distribució normal de mitjana i desviació estàndard . (##)

En aquesta segona part de la pràctica, ho constatarem amb un exemple, a partir de la distribució uniforme.

• Podeu fer servir el mateix full on treballàveu. Com abans, prendreu 200 mostres aleatòries. Ara ho fareu prenent com a punt de partida una població que segueix una distribució uniforme en l'interval [0, 10]. No modifiqueu el rang de sortida i, si voleu, poseu un nombre enter a Iniciar con (amb el benentès que si llavors voleu fer diverses proves, cada vegada l'haureu de canviar; si no hi poseu cap número, llavors s'aniran generant simulacions diferents si feu proves diverses).

• Si no heu esborrat res del que heu fet a la primera part de la pràctica per cada mostra, és a dir, per cada columna, es calcularà la mitjana mostral a la fila 102.
• També automàticament la mitjana i la desviació estàndard de la distribució de mitjanes mostrals a les cel·les A104 i A106.
• Si les voleu comparar amb les que estableix el teorema del límit central, heu de posar aquests valors a les cel·les E104 i E106. Segur que sabeu que la mitjana de la distribució uniforme amb dades a l'interval [a, b] és (a+b)/2. La desviació estàndard és (escrita com una fórmula de l'Excel), (b-a)/RAÍZ(12).
• Poseu, doncs, a E104 el número 5 i a E106 podeu posar-hi el valor , que ens indica l'enunciat (##) i que és =10/RAÍZ(12*100), atenent al fet que preneu mostres de mida 100.

Aneu fent diverses proves, cada vegada amb la simulació de 200 mostres de mida 100, i comprovareu que, efectivament, encara que la població de partida no sigui normal, l'ajust que estableix el teorema del límit central és excel·lent.

• Si voleu comprovar també l'ajust global del model, i comparar visualment l'histograma que dóna la distribució de mitjanes mostrals amb el gràfic que ens dóna les probabilitats de cada classe corresponents al model normal que estableix el teorema del límit central, heu de tornar a activar ...|Histograma.
• Ho podeu fer amb les mateixes classes, que també us serveixen encara que la variabilitat en aquest cas sigui més gran.

Com a exercici opcional d'aquest mòdul, podeu enviar un comentari i resultats d'aquesta part de la pràctica.

En els tractats d'estadística, hi ha moltes i diverses proves de normalitat, però, com ja s'ha comentat al mòdul 6, no estan incorporades a l'Excel.

Tanmateix, ara que teniu unes freqüències observades i unes freqüències esperades, podríeu fer servir la prova de khi quadrat? A la pràctica 5 del mòdul 6 ja hem comentat aquest procediment com una possibilitat ben certa.

En aquest cas, podeu provar d'aplicar khi quadrat i veureu que tant amb les classes que ja teniu definides com amb d'altres que pugueu definir, el valor p sempre és molt alt: hi ha criteris estadístics molt sòlids per admetre la consistència del model normal per a la distribució de les mitjanes mostrals.

Per tant, podeu veure que en aquest cas, el fet que la tria de les classes aporti una càrrega subjectiva que pot condicionar molt el resultat de la prova no és del tot cert: el model normal està molt i molt ajustat a les dades.

I si algú dubta, encara pot provar d'aplicar el test de Kolmogorov-Smirnov!