Un joc amb tres daus
El que explicarem ara pot ser tranquil·lament un joc de fira. L'explicarem tal com ho fa l'autor Martin Gardner al seu llibre Ajá! Paradojas.
La propera vegada que vagis al parc d'atraccions, no t'acostis a l'Empassa-sorts! Són molts els innocents que hi juguen pensant que no perdran mai.
El bombo de l'Empassasorts conté tres daus, que s'agiten girant repetidament la gàbia. Els jugadors aposten per qual-sevol número d'1 a 6, i reben de premi la mateixa quantitat que aposten per cada dau que surti amb el seu número, a més de recuperar l'aposta. Els juga-dors acostumen a pensar així:
Senyor Pàmfil: Si el joc tingués un sol dau, el meu número sortiria una vegada de cada sis jocs. Si el bombo tingués dos daus, sortiria dues vegades de cada sis. Com que en té tres, haurà de sortir tres vegades de cada sis. Així estarem a la par.
Senyor Pàmfil: Però en realitat, sóc jo qui té avantatge, perquè si jugo, per exemple, 1 € al 5, i el 5 surt en dos daus, guanyaré 2 € extres. I si sortís en els tres, llavors serien 3 €! Segur que el joc va al meu favor!
Amb espavilats així, no és un miracle que els amos dels casinos sigui milionaris. Per què l'Empassasorts li dóna, en realitat, un fort percentatge a la casa?
  • Té en realitat avantatge el jugador?
  • D'on treu els guanys el que organitza el joc?

 
Juguem una mica
El millor que podem fer és jugar una mica.

Començaràs amb 5 € i triaràs un número de l'1 al 6. Cada vegada que encertis recuperaràs l'euro apostat i cobraràs 1 € per cada cara que mostri el teu número

 
Estudiem el joc

Potser quan has jugat has tingut ratxes de bona sort, però el més freqüent és estar per sota dels 5 € inicials fins que, si jugues prou temps, els acabes perdent.

És impossible que tots els jugadors tinguin avantatge. Perquè uns guanyin uns altres han de perdre i, qui acaba guanyant sempre, és "la casa", la que organitza el joc.

Hi errors en el raonament del Senyor Pàmfil. Un d'ells és el de que amb tres daus té la meitat de possibilitats d'obtenir el seu nombre. Seguint el fil que ens proposava, en sis tirades tindria la certesa (probabilitat 1) de treure'l.

Sabem, perfectament, que aquesta certesa és falsa. Hi ha una manera clara de comprovar-ho. Deixa jugar a l'ordinador i veuràs com sempre t'arruïnes. Pots optar entre jugar a un número fix totes les partides o anar canviant aleatòriament. És indiferent, més tard o més d'hora acabaràs sense diners.



 
Com guanya la casa
La casa, encara que sembli el contrari, guanya cada vegada que hi ha un doble o un triple als daus.

Observem les tres possibilitats.

Surten tres cares diferents

Exemple: 3, 4 i 6
Nombres 1 2 3 4 5 6  
Aposta 1 1 1 1 1 1 Total recollit: 6 €
Cobren 0 0 1+1 1+1 0 1+1 Total pagat: 6 €
  Saldo per la casa: 0 €

 

Surten dues cares iguals i una diferent

Exemple: 2, 4 i 2
Nombres 1 2 3 4 5 6  
Aposta 1 1 1 1 1 1 Total recollit: 6 €
Cobren 0 1+2 0 1+1 0 0 Total pagat: 5 €
  Saldo per la casa: 1 €

 

Surten tres cares iguals

Exemple: 5, 5 i 5
Nombres 1 2 3 4 5 6  
Aposta 1 1 1 1 1 1 Total recollit: 6 €
Cobren 0 0 0 0 1+3 0 Total pagat: 4 €
  Saldo per la casa: 2 €

Com pots veure el que l'interessa a la casa és que surtin dobles i triples. Però surten amb prou freqüència com perquè guanyi molt?

 
Quines són les probabilitats reals de guanyar?
El càlcul de probabilitats és, en aquest cas, una mica més pesat de fer que amb dos daus ja que amb tres hi ha 216 combinacions diferents.

Comencem per recomptar els dobles i triples possibles.

 

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6
1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6
1 5 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 6 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6
2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6
2 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 4 1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6
2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 6 1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6
3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6
3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6
3 5 1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 6 1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6
4 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6
4 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6
4 5 1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 6 1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6
5 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6
5 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 4 1 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6
5 5 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 6 1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6
6 1 1 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6
6 3 1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 4 1 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6
6 5 1 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 6 1 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6

Podem comptar que hi ha 90 jugades dobles i 6 de triples. Això implica un guany de 102 € (90+12) per cada 216 jugades. Gairebé la meitat  de les jugades (un 47,22 %) donen benefici. No està pas malament!

Comptem ara les possibilitats de guanyar per un jugador. Podem mirar què passa si juguem sempre a l'1. Mirant la taula podrem veure que hi ha 91 casos en els que surt l'1

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6
1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 4 1 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6
1 5 1 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 6 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6
2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6
2 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 4 1 2 4 2 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6
2 5 1 2 5 2 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 6 1 2 6 2 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6
3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 1 4 3 1 5 3 1 6 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 6
3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 3 4 5 3 4 6
3 5 1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 6 1 3 6 2 3 6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 6
4 1 1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1 5 4 1 6 4 2 1 4 2 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6
4 3 1 4 3 2 4 3 3 4 3 4 4 3 5 4 3 6 4 4 1 4 4 2 4 4 3 4 4 4 4 4 5 4 4 6
4 5 1 4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 6 1 4 6 2 4 6 3 4 6 4 4 6 5 4 6 6
5 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 5 5 1 6 5 2 1 5 2 2 5 2 3 5 2 4 5 2 5 5 2 6
5 3 1 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 6 5 4 1 5 4 2 5 4 3 5 4 4 5 4 5 5 4 6
5 5 1 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 5 5 5 6 5 6 1 5 6 2 5 6 3 5 6 4 5 6 5 5 6 6
6 1 1 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 1 5 6 1 6 6 2 1 6 2 2 6 2 3 6 2 4 6 2 5 6 2 6
6 3 1 6 3 2 6 3 3 6 3 4 6 3 5 6 3 6 6 4 1 6 4 2 6 4 3 6 4 4 6 4 5 6 4 6
6 5 1 6 5 2 6 5 3 6 5 4 6 5 5 6 5 6 6 6 1 6 6 2 6 6 3 6 6 4 6 6 5 6 6 6

Quina és la probabilitat de treure al menys un 1?

Com podem veure és menys de la meitat de possibilitats. No sembla que portem les de guanyar.

Estudiem ara les probabilitats relacionades amb els guanys. Tenim 1 jugada triple (recolliríem 4 €: la recuperació de l'aposta i 3 de premi), 15 dobles (recolliríem 3 €) i 75 simples (recolliríem 2 €).

Imaginem que juguem 216 vegades i van sortint les jugades possibles una per una. Començaríem amb 216 € i acabaríem amb

1·4 + 15·3 + 75·2 = 4 + 45 + 150 = 199 €

Malament! Si no ens retirem a temps perdríem 17 €

A quina butxaca hi seran? Pot trobar, a partir d'aquests 17 € d'on surten els 102 € que guanya la casa?

 
Una manera de comptar més ràpida

Quan calculem probabilitats de vegades és més fàcil fer servir truquets, dreceres. Vegem un exemple seguint el problema anterior.

En comptes de calcular les probabilitats de treure un 1 (el que ens exigeix fer la llarga taula de la secció anterior) calcularem les probabilitats de no treure un 1.

  • amb un dau les probabilitats de que surti una cara diferent a 1 és de 5/6
  • per cadascun dels casos en que no treiem un 1 amb el primer dau hi ha 5 de no treure'l tampoc amb el 2n dau. Per tant la probabilitat de no treure un 1 amb dos daus és de

  • Per cadascun dels 25 casos en els que no trèiem un 1 amb dos daus hi haurà 5 més de no treure'l amb un tercer dau. Per tant la probabilitat de no treure un 1 amb 3 daus és de

Ara ho comencem a tenir clar. Si de 216 casos possibles en 125 no hi cap 1, en quants hi haurà com a mínim un 1?

216-125 = 91

Ja ho tenim! La probabilitat de treure com a mínim un 1 amb tres daus és de:

I no hem fet la taula!