GEOMETRIA -(2023-juny-1-6) Siguin els plans `pi_1` i `pi_2`, determinats respectivament per les equacions `pi_1: x + y = 3` i `pi_2: x – z = –2`.
b)Sigui `r` la recta d’intersecció de `pi_1` i `pi_2`. Calculeu l’equació vectorial de la recta `r`. [0,75 punts] c)Calculeu el punt `Q` de la recta `r` que és més a prop del punt `P`. [1 punt] -(2023-setembre-2-5) Siguin `r_1` i `r_2` les rectes definides per `r_1: x – 1 = y = –z` i per `r_2: x = y = z`, respectivament.
b) Calculeu la distància entre `r_1` i `r_2`. [0,75 punts] -(2020-juny-1-3) a) Calculeu l'equació general del pla `pi` que passa pel punt `(8, 8, 8)` i té com a vectors directors `u = (1, 2, -3)` i `v = (-1, 0, 3)`. b) Determineu el valor del paràmetre `a` perquè el punt `(1, -5, a)` pertanyi al pla `pi` i calculeu l'equació paramètrica de la recta que passa per aquest punt i és perpendicular al pla `pi`. -(2020-juny-3-5) Considereu la recta `r` d'equació `(x-1)/2=(y-3)/(-2)=z/1` i la recta `s` que passa pel punt `P = (2, -5, 1)` i que té per vector director `(-1, 0, -1)`.
b) Calculeu l'equació general del pla que és paral·lel a la recta `r` i conté la recta `s`. -(2020-setembre-4-2) Un avió es desplaça des d'un punt `A = (0, 3, 1)` cap a una plataforma plana d'equació `pi: x - 2y + z = 1` seguint una recta `r` paral·lela al vector `v = (1, -1, 0)`.
b) Calculeu l'equació general del pla perpendicular a la plataforma i que conté la recta `r` seguida per l'avió des del punt `A`. -(2020-setembre-4-6) Siguin les rectes `r` i `s`, expressades per `(x-3)/2= y = z - 1` i `(mu, -mu, mu)`, respectivament.
b) Calculeu la distància entre la recta `r` i la recta `s`. -(2019-juny-1-3)Un dron es troba en el punt `P = (2, -3, 1)` i volem dirigir-lo en línia recta fins al punt més proper del pla d'equació `pi : 3x + 4z + 15 = 0`.
b) Trobeu les coordenades del punt del pla on arribarà el dron. Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d'un punt de coordenades `(x_0, y_0, z_0)` al pla d'equació `Ax + By + Cz + D = 0` amb l'expressió `|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)` -(2019-juny-4-2) Siguin la recta: $$ r:\begin{cases} x=2\\ y-z=1 \end{cases} $$ i el pla `pi:x-z=3`
b) Trobeu els punts de `r` que estan a una distància de `sqrt(8)` unitats del pla `pi` Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d'un punt de coordenades `(x_0, y_0, z_0)` al pla d'equació `Ax + By + Cz + D = 0` amb l'expressió `|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)` -(2019-juny-4-5) Considereu els plans `pi_1: 2x + ay + z = 5`, `pi_2: x + ay + z = 1` i `pi_3: 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0`, en què `a` és un paràmetre real.
b) Comproveu que per al cas `a = 1` la interpretació geomètrica del sistema format per les equacions dels tres plans és la que es mostra en la imatge següent: -(2019-setembre-5-5) Siguin `P`, `Q` i` R` els punts d'intersecció del pla d'equació `x + 4y + 2z = 4` amb els tres eixos de coordenades `OX`, `OY` i `OZ`, respectivament.
b) Calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs `P`, `Q` i `R`. |