Càlcul de la dimensió fraccionària de la costa de Mallorca
El 1967, Mandelbrot va rebre l'encarreg de calcular la longitud de la costa de Gran Bretanya.
Mandelbrot es va valdre d'un compàs i un mapa i va realitzar varies mesures amb diferents angles d'obertura del compàs. Es va trobar amb que al variar l'angle d'obertura del compàs, també variava la mesura obtinguda de la longitud de la costa. Quan més petit era l'angle més gran era la longitud de la costa. La línia de la costa va resultar impossible de mesurar ja que té longitud infinita.
Mandelbrot va publicar el mateix 1967 un article titulat: "Quan mesura la costa de Gran Bretanya? Auto similitud estadística i dimensió fraccionària" en el qual parlava del seu intent de mesurar la costa de Gran Bretanya.
Aquest va ser el principi de la recerca de Mandelbrot i el que el va introduir dins el món dels fractals, va impulsar-lo a estudiar-los per trobar una geometria per a les formes naturals.
Al principi dels anys setanta, Mandelbrot va publicar un llibre anomenat "Els objectes fractals: Forma, atzar i dimensió" on conclou que la dimensió de costa de la Gran Bretanya és 1, 25.
Igual que va fer Mandelbrot amb l'illa de Gran Bretanya intentarem mesurar la dimensió fractal de la línia de la costa de l'illa de Mallorca. Es tracta d'un fractal natural i per tant un nou repte per a la nostre recerca ja que, degut al seu origen natural, no té auto semblança estricte sinó estadística.
Per a fer aquesta pràctica, cal comparar la mesura feta del perímetre de la costa en una escala i la mateixa mesura però feta en una altre escala. És a dir la variació de la longitud de la costa en variació de la escala. (quant més exacte sigui l'escala més detalls es veuran i més llarga ens resultarà ser la línia de la costa.)
Per tal de obtenir un resultat el més ajustat a la realitat possible, en lloc de fer l'operació comparant dos escales diferents, ho farem comparant quatre escales diferents, cada una amb totes les altres, i així, després, podrem trobar la mitjana aritmètica de tots els resultats.
S'ha utilitzat una eina disponible a la xarxa, el programa Google Earth versió 4.2
< http://earth.google.com/> Aquest disposa d'una opció especial dissenyada per a mesurar camins, rutes o carreteres que nosaltres hem utilitzat per mesurar la línia de la costa.
En aquesta captura de pantalla del programa, veiem com a la part inferior esquerra hi ha un segment representant l'escala gràfica visual. Tot el seguit de punts vermells que envolten una part de l'illa, són els "clics" que he anat fent amb ratolí resseguint la costa. Un cop completat el perímetre, el programa ens dóna la suma de tots els segments entre clics.
Repetint aquesta mesura quatre vegades, una per cada escala visual, s'ha obtingut:
Escala visual |
Perímetre |
|---|---|
30 Km |
390,46 Km |
| 15 Km |
430,35 Km |
10 Km |
442,92 Km |
5 Km |
492,90 Km |
L'escala visual és un segment de longitud fixe que apareix a la part inferior de la pantalla, sobre del qual s'indica la longitud en quilòmetres del segment, valor que varia segons l'escala.
Per tal de poder treballar, es necessiten totes les dades en una mateixa unitat. Es pot considerar el segment com a unitat o regle de mesura.
Escala |
Mesura en km |
Mesura en unitats |
|---|---|---|
1 unitat :30 Km |
390,46 Km |
13,02 u |
|
1 unitat :15 Km |
430,35 Km |
28,69 u |
1 unitat :10 Km |
442,92 Km |
44,29 u |
1 unitat :5 Km |
492,90 Km |
98,58 u |
Ara comparant les 4 escales per parelles obtenim la dimensió fractal
L |
l |
N=1/L |
M |
m |
S=M/m |
Dimensió |
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
30-15 |
13,02 |
28,69 |
2,2 |
30 |
15 |
2 |
1,14 |
30-10 |
13,02 |
44,29 |
3,4 |
30 |
10 |
3 |
1,11 |
30-5 |
13,02 |
98,58 |
7,57 |
30 |
5 |
6 |
1,13 |
15-10 |
28,69 |
44,29 |
1,54 |
15 |
10 |
1,5 |
1,07 |
15-5 |
28,69 |
98,58 |
3,44 |
15 |
5 |
3 |
1,12 |
10-5 |
44,29 |
98,58 |
2,23 |
15 |
5 |
2 |
1,15 |
Mitjana aritmètica |
1,12 |
||||||
Així, segons els nostres càlculs, la dimensió fractal de la línia de la costa de Mallorca és 1,12.
Aquest és un resultat raonable, supera una mica la dimensió 1 d'una línia i és una mica menor del valor d'1,25 que va calcular Mandelbrot per la línia de la costa de Gran Bretanya que segons aquests càlculs és doncs una mica més fraccionada que la de Mallorca.